Физика

Решение. Из закона превращения механической энергии следует, что убыль энергии системы равна работе сторонних сил, т.е. на вопрос о работе A сразу получен количественный ответ:

А = ∆К = К - 0 = 1000 Дж.

Для определения момента силы, действующего на маховик, достаточно записать основное уравнение динамики вращательного движения и основное уравнение кинематики вращательного движения

Время торможения t определяется из условия ω ( t ) = 0, следовательно,

t = ωβ0 .

Подставляя время t в (2), получаем:

Подставляя (3) и (4) в (1), получим выражение для момента сил торможе-

Проверим размерность Mz:

[M z ]= [[NK ]] = Дж = Н м .

После подстановки данных получаем ответ: M=3,18 Н м.

Правильный ответ под номером 3.

62

Задача 6. Что является условием постоянства момента импульса механической системы?

Ответы: 1) консервативность внутренних сил; 2) равенство нулю суммарного момента внешних сил, дейст-

вующих на систему;

3)равенство нулю равнодействующей внешних сил, действующих на систему;

4)отсутствие сил трения;

5)равенство нулю равнодействующей внутренних сил, действующих между телами механической системы.

Решение. Закон сохранения момента импульса системы можно рассматривать, исходя из основного уравнения вращательного движения тела относительно неподвижной точки:

правильный ответ на поставленный в задаче вопрос - 3.

Задача 7. Вспышка молнии на Земле длилась 3,6 с. Чему равна длительность этой вспышки для космонавта, летящего со скоростью 240000 км/с относительно Земли? Ответ дать в единицах СИ.

Ответы: 1) 3,6; 2) 1,8; 3) 6,0; 4) 0,5.

Решение. Свяжем с Землей систему отсчета K, а с космонавтом - систему K′, движущуюся относительно системы K со скоростью V. Используя преобразования Лоренца, найдем связь между временными интервалами, измеренными по часам системы K ( ∆t0 ) и по часам системы

K′ ( ∆t ):

Подставляя числовые данные, получаем

Правильный ответ - 3.

Задача 8. Период колебаний подвешенного на пружине груза составляет 0,5 с. При добавлении добавочного груза период увеличивается до 0,6 с. На

63

сколько сантиметров при этом удлинилась пружина? Ответ дать в единицах СИ.

Ответы: 1) 0; 2) 2,8; 3) 5,6; 4) 1,4.

Решение. При колебании груза на пружине период колебаний равен

где m - масса груза;

k - коэффициент упругости пружины.

После добавления перегрузка массой ∆m период колебаний стал T2:

По закону Гука коэффициент упругости пружины

где F - сила, вызывающая удлинение пружины на ∆l. Используя (1), (2), (3), получаем выражение для ∆l :

Вычисления дают

Ответ помещен под номером 2 в меню ответов.

Задача 9. Определить логарифмический декремент затухания математического маятника длиной 50 см, у которого за 8 мин. произошла потеря 99 % энергии.

Ответы: 1) 0,007; 2) 0,208; 3) 0,470;

Решение. Начальная энергия математического маятника равна

где m - масса,

A0 - амплитуда,

ω - циклическая частота.

Через время t энергия уменьшится до величины

Амплитуда затухающих колебаний меняется по экспоненте:

Подставляя (3) в (2) и учитывая, что в момент времени t энергия E(t) составляет всего 0,01 от E0, получаем формулу для определения коэффициента затухания:

E(t) = 21 mA02 e−2δt ω2 = 0,012 mA02 ω2 ,

Логарифмический декремент затухания математического маятника θ оп-

Период колебаний математического маятника при слабом затухании можно считать равным периоду собственных колебаний и рассчитывать по формуле

Если заранее не оговорено, что затухание слабое, следует период вычис-

В условиях данной задачи затухание мало, поскольку коэффициент затухания, рассчитанный по формуле (4), равен 0.005. Следовательно, при вычислении периода можно пренебречь затуханием , то есть использовать формулу

(6). Полученное значение Т = 1,418 с следует подставить в формулу (5) и вычислить значение логарифмического декремента, равное 0.007. Это значение соответствует ответу 1 в меню ответов.

Задача 10. В однородной среде распространяется плоская упругая волна. Длина волны равна 23 см, а коэффициент затухания волны 0,15 1/м. Найти разность фаз волны в точках, для которых отношение амплитуд смещения частиц среды равно 1,8. Ответ дать в единицах СИ.

Ответы: 1) 107; 2) 4; 3) 0; 4) 17.

65

Решение. Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в среде, обладающей сопротивлением, записывается в виде:

Правильный ответ имеет номер 1 в меню ответов.

6.2. Контрольная работа 2

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Задача 1. В сосуде, объем которого 1 л, содержится 5 г идеального газа под давлением 50 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа. Ответ дать в единицах СИ.

Ответы: 1) 387; 2) 246; 3) 305: 4) 173.

66

Решение. Средняя квадратичная скорость Vc соответствует средней кинетической энергии и определяется формулой:

где Т - температура газа, µ- молярная масса.

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, найдем температуру газа. mµ RT = PV ,

T = PVmRµ,

где m - масса газа, P- давление, V - объем.

Подставив выражение для Т в формулу (1), определим среднеквадратичную скорость Vc:

Для вычисления скорости все величины подставляются в (2) в единицах СИ. Полученное значение, равное 173 м/с соответствует ответу 4 в меню ответов.

Задача 2. Сколько степеней свободы имеет молекула, обладающая средней кинетической энергией теплового движения, равной 10-20 Дж при температуре 7°С?

Решение. На каждую степень свободы приходится энергия, равная 1/2 kT, где k - постоянная Больцмана, а Т - абсолютная температура.

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы определяется числом степеней свободы;

Следовательно, число степеней свободы i можно определить по формуле;

Подставляя числовые данные, находим, что i = 5.176, но поскольку число степеней свободы может быть только целым, следовательно, i = 5.

В качестве ответа к этой задаче следует ввести 5.

67

Задача 3. Какое утверждение, касающееся равновесного состояния земной атмосферы, не согласуется с распределением Больцмана по потенциальным энергиям:

1)на малых высотах относительная вероятность встретить легкую частицу меньше, чем тяжелую;

2)на больших высотах вероятность встретить легкую частицу меньше, чем тяжелую;

3)при температуре Т ≈ 0 К все молекулы расположились бы плотным слоем на поверхности Земли;

4)при исчезновении поля гравитации Земля потеряла бы свою атмосфе-

ру?

Решение. Распределением Больцмана называется зависимость концентрации молекул в равновесном идеальном газе от координат:

где Wn - потенциальная энергия в точке с координатами X,Y,Z. Потенциальная энергия частицы в поле силы тяжести определяется ло формуле:

Wn = mgh, (2)

где h отсчитывается от поверхности Земли.

На малых высотах вероятность встретить легкую частицу меньше, чем тяжелую, поскольку потенциальная энергия такой частицы меньше, а число таких частиц больше. Следовательно, из четырех предложенных ответов следует отметить 1, как не соответствующий распределению Больцмана, остальные ответы согласуются с распределением Больцмана.

Ответ - 1.

Задача 4. Температура водорода равна 550 К. Определить отношение числа молекул этого газа, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 1500 до 1510 м/с.

Ответы: 1) 0.15; 2) 0.09; 3) 0.81.

Решение. Число молекул dN, компоненты скоростей которых лежат в заданном интервале dvx, определяется формулой:

где f(vx) - функция распределения Максвелла проекций скорости, N - общее число частиц в газе.

Если выполняется условие ∆vx << vx, то для нахождения числа частиц ∆N можно использовать следующую упрощенную формулу:

где f(vx) равна

где m - масса частицы, Т - температура газа.

Поскольку по условию задачи интервалы скоростей одинаковы, отношение числа частиц со скоростями, принадлежащими первому интервалу, к числу частиц, скорости которых принадлежат ко второму интервалу, равно отношению соответствующих функций распределения.

Отсюда:

Все необходимые для расчета данные заданы в условии, кроме массы молекулы, которую можно определить, поделив молярную массу на число Авогадро. После проведения расчетов и получения числового ответа, равного 0,086, убеждаемся, что ближе всего полученный ответ подходит к числу 0,09, приведенному в меню ответов под номером 2.

Задача 5. Используя функцию распределения Максвелла для абсолютных значений скоростей, ответьте на вопрос: какому из перечисленных ниже интервалов скоростей соответствует большее число молекул, находящихся в условиях термодинамического равновесия.

Ответы: 1) в интервале ∆v вблизи вероятной скорости;

2)в интервале ∆v вблизи среднеквадратичной скорости;

3)в интервале ∆v вблизи среднеарифметической скорости;

4)правильный ответ не указан.

Решение. По определению вероятная скорость - это скорость, которую имеет наибольшее число молекул газа, следовательно, если интервалы скоростей одинаковы, то на поставленный вопрос правильным является ответ, приведенный в меню ответов под номером 1.

Задача 6. Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что температура газа стала равна первоначальной. Определить изменение внутренней энергии в результате этих двух процессов.

Решение. Внутренняя энергия идеального газа является однозначной функцией температуры, следовательно, изменение внутренней энергии происходит, если газ нагревается, либо охлаждается. В данной задаче начальная и конечная температуры газа одинаковы, поэтому внутренняя энергия не изменяется. Ответ: 0.

Задача 7. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении кислорода массой 10 г от объема 25 л до объема 100 л. Ответ дать в единицах СИ.

Ответы: 1) 0; 2) 8.7; 3) 3.6; 4) 0.8.

69

Решение. При изотермическом расширении газа изменение энтропии обусловлено увеличением объема. Для того, чтобы убедиться в этом, следует записать выражение для изменения энтропии в результате любого равновесного процесса:

где Q - количество теплоты, подведенного к газу, при температуре Т. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, передан-

ное газу, идет на совершение работы:

Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона и выразим давление через параметры, заданные в задаче:

Подставляя (3) в (2) и (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии:

Расчет дает величину 3.6 Дж/К, что соответствует ответу под номером 3. Задача 8. Найти изменение энтропии при плавлении 1 кг льда, находяще-

гося при нуле Цельсия. Ответ дать в единицах СИ.

Решение. Изменение энтропии при равновесном процессе определяется формулой:

Поскольку процесс таяния льда изотермический, следовательно, изменение энтропии определяется как частное от деления количества подведенной теплоты на температуру.

Количество теплоты можно найти, если известна удельная теплота плавления льда:

Итоговая формула для подсчета изменения энтропии следующая:

Подставляя в (3) данные задачи, получаем S = 1230 Дж/К. Это и есть ответ данной задачи: 1230.

Задача 9. Какое утверждение может служить формулировкой второго начала термодинамики:

70

1) энтропия системы, состоящей из невзаимодействующих частей, равна сумме энтропий отдельных частей;

2)энтропия лропорциональна натуральному логарифму статистического веса S = k ln Г ;

3)при любом процессе количество теплоты, подведенной к системе, не может быть больше ее внутренней энергии и совершенной ею работы;

4)нельзя передать тепло от холодного тела к горячему без изменений в окружающих телах.

Решение. Первое утверждение касается свойства аддитивности энтропии. Второе указывает на связь энтропии со статистическим весом. Третье - формулировка первого начала термодинамики. И лишь четвертое можно считать образной формулировкой второго начала термодинамики.

Ответ: 4.

Задача 10. Объем некоторого газа может возрасти при изотермическом (а), адиабатическом (б) и изобарическом процессах. При каком из этих процессов изменение энтропии минимально?

Решение. Адиабатический процесс - по определению - это процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой, то есть Q = 0 и, соответственно, dS = 0. Следовательно, ответ: б.