Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Физика

.pdf
Скачиваний:
76
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
993.48 Кб
Скачать
☆

41

 

 

m

 

 

 

1

 

exp{

 

mvx

2

 

}.

f ( vx ) = (

 

 

)

 

2

−

 

 

 

2π kT

 

2kT

11. Функция распределения Максвелла по модулю скорости:

f (v) = 4π (

 

m

 

)

3

2

v

2

exp{

−

mv2

 

}.

2π kT

 

 

2kT

 

12. Скорость молекул:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

средняя квадратичная

vc =

 

 

 

3RT ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

средняя арифметическая

v

=

 

 

 

8RT

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πµ

 

 

 

 

 

 

 

наиболее вероятная

v d

=

 

 

 

 

2 R T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

13. Функция распределения кинетической энергии поступательного движения для равновесного идеального газа:

f (ε) =

2π

 

 

ε

( )

3 ε exp −

.

 

 

 

kT

 

πkT

2

 

 

 

 

14. Зависимость концентрации молекул в равновесном идеальном газе от коэффициента (Распределение Больцмана):

n(x, y, z) = no

 

WΠ (x, y, z)

exp −

kT

,

 

 

 

где no - концентрация молекул в точке, в которой потенциальная энергия равна нулю,

WП(х,y,z) - потенциальная энергия молекул в точке с координатами x, y, z.

15. Барометрическая формула:

P(h) = Po

 

mgh

exp −

 

,

kT

 

 

 

где Ро - давление у поверхности Земли,

42

P(h) - давление на высоте h.

Термодинамика

1.Первое начало термодинамики. Работа. Теплоемкость.

16.Теплоемкость системы:

C = δdQT ,

где δQ- количество тепла, подведенное к системе, dT - увеличение температуры системы.

17. Удельная теплоемкость системы:

c = mC ,

где С - теплоемкость системы,

m- масса системы.

18.Молярная теплоемкость системы:

cµ = Cv ,

где v - число молей, содержащихся в системе.

19. Удельные теплоемкости газа при постоянном давлении (cp) и при постоянном объеме (cv) :

cp

=

i +2

 

R

,

cv

=

i

 

R

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2 µ

 

 

2 µ

20. Уравнение Майера, связывающее молярные теплоемкости:

cµp −cµV =R .

21. Первое начало термодинамики:

43

δQ = dU +δA,

где δQ - количество теплоты, сообщенное системе,

δА - работа, совершаемая системой против внешних сил, dU - изменение внутренней энергии системы.

22. Внутренняя энергия системы:

U = 2i vRT .

23. Работа системы в ходе произвольного процесса:

2

V 2

A = ∫δA =

∫ PdV ,

1

V 1

 

где Р - давление газа,

dV - изменение объема

при изотермическом процессе:

A =

m

RT lnV 2

;

 

µ

V 1

 

при изобарическом процессе:

A = p(V 2 −V 1)

при адиабатическом процессе:

 

A = −∆U = −

m

cµV ∆T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

или A =

RT1

 

m

 

1

− V1

γ−1

 

,

 

γ −1 µ

 

 

 

 

V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С µV - молярная теплоемкость при постоянном объеме,

γ = cµP

- показатель адиабаты.

 

 

 

 

 

 

 

cµV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Уравнение Пуассона, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе:

44

PV γ = const ; TVγ −1 = const ; T P

γ−1

=const,

γ

 

где γ - показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости при постоянном давлении и объеме.

2.Второе начало термодинамики. Энтропия. Циклы.

25.Статистический вес равновесного идеального одноатомного газа:

Γ= (β V T3/ 2 )N ,

где V- объем газа,

Т- его температура, β - постоянная,

N - число молекул газа.

26. Связь между энтропией и статистическим весом:

S =klnΓ,

где k - постоянная Больцмана.

27. Изменение энтропии в произвольном процессе:

 

V2

 

i

 

T2

 

∆S = Nk ln

+

ln

.

V1

 

 

 

2

 

T1

28. Термодинамический смысл энтропии: dS = δTQ ,

где δQ - количество теплоты, подводимой к системе при температуре Т;

dS - изменение энтропии в результате этого процесса. 29. Изменение энтропии в равновесных процессах:

∆S = ∫

dS = ∫

δQ ;

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

T

 

 

изотермический процесс: ∆S = νR ln

V2

 

;

 

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изохорический процесс: ∆S =

 

i

νR ln

 

T2

 

;

 

 

2

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

T2

 

изобарический процесс: ∆S =

i + 2

 

νR ln

.

 

 

 

 

 

 

2

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

30. Изменение энтропии в процессах смены агрегатного состояния:

твердое тело ↔ жидкость: ∆S = ± λm ;

Tn

45

жидкость ↔ газ: ∆S = ± rm ,

Tk

где λ - удельная теплота плавления, m - масса вещества,

Tn - температура плавления,

r - удельная теплота испарения, Tk - температура испарения,

знак “+” относится к плавлению и испарению, знак “−” - к отвердеванию и конденсации.

31. Коэффициент полезного действия тепловой машины:

η = A = Q1 − Q2 ,

Q1 Q1

где А - работа совершаемая машиной за цикл,

Q1 - количество тепла передаваемое нагревателем рабочему телу за цикл.

31. Максимальный (термический) коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины:

ηmax = T1 T− T2 , 1

где T1 и T2 - абсолютные температуры нагревателя и холодильника.

5.2.2. Примеры решения задач.

Пример 1. Баллон содержит m1=80г кислорода и m2=320г аргона. Давление смеси р=1МПа, температура Т=300К. Принимая данные смеси за идеальные, определить объем V баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальные давления кислорода p1 и аргона p2 выражаются формулами:

P =

m1

 

RT

; P =

m2

 

RT

.

µ1

 

V

µ2

 

V

1

 

2

 

 

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

 

 

m1

 

m2

 

RT

 

P = P + P ,

P =

 

+

 

 

 

,

µ1

µ2

V

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда объем баллона

46

m1

 

m2

 

RT

 

 

V =

 

+

 

 

 

.

(1)

µ1

µ2

P

 

 

 

 

 

Подставим числовые значения в формулу (1) и произведем вычисления:

 

0.08

 

 

0.32

 

 

 

8.31

300

 

3

 

3

 

V =

 

 

+

 

 

 

 

 

 

m

 

= 0.0262m

 

= 26.2 л.

 

 

40 10

 

10

 

 

 

32 10

−3

 

−3

 

 

6

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти среднюю кинетическую энергию

wвращ вращатель-

ного движения молекулы кислорода при температуре T=350 K, а также кинетическую энергию Ек вращательного движения всех молекул кислорода массой m=4г.

Решение. Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа

приходится одинаковая средняя энергия w1

=

1 kT , где k- постоянная

 

 

2

Больцмана; Т - абсолютная температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода выразится формулой

wвращ

= 2

1 kT .

 

 

2

Подставим в формулу значение k= 1,38. 10-23 Дж/К и Т=350 К, получим

wвращ = 1,38 10−23 350Дж = 4,83 10-21 Дж .

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством

Eк = wвращ N .

Число всех молекул можно вычислить по формуле

N = N A v ,

где NA - число Авогадро;

v - количество вещества.

Если учесть, что количество вещества v = mµ, где m - масса газа; µ - молярная масса газа, то

N = N A mµ .

47

Подставим N в Е к, получим

 

 

 

 

Eк

 

µ

 

 

 

 

 

 

= N A m wвращ .

 

Подставим числовые значения , найдем

 

 

 

 

23

 

4 10−3

−21

 

Eк = 6

,02 10

 

 

 

 

 

4,83 10

 

Дж = 364 Дж .

 

32

10

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Кислород массой m=2 кг занимает объем V1= 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 =3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3 = 0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутренней энергии газа и теплоту Q, переданную газу.

Решение. Изменение внутренней энергии газа выражается формулой

∆U = cV m∆T =

i

 

R

m∆T ,

2 µ

 

 

где i - число степеней свободы молекул газа ( для двухатомных молекул кислорода i=5); µ - молярная масса.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделее-

ва-Клапейрона PV = mµ RT :

T = PVmRµ .

Подставляя числовые данные, получим:

Т1=385 К, Т2=1155 К, Т3=2887 К.

Отсюда изменение внутренней энергии равно:

∆U =

5 8 ,31

 

2(2887 − 385) = 3,24МДж .

 

 

 

 

2 32 10

−3

 

 

 

48

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы, совершенной газом.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю. Следовательно, полная работа, совершаемая газом, равна работе расширения газа при постоянном давлении:

A = R mµ ∆T = R mµ (T2 − T1),

Подставив числовые данные, получим

A = 0,4 106 Дж = 0,4 МДж .

Следовательно,

Q = A + ∆U = 0,4 106 + 3,24 106 = 3,64 106 Дж = 3,64 МДж .

Пример 4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре Т=300К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в n1=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 =5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах.

Решение. Температура и объем газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

T2

V1 γ−1

 

T2

=

1

 

T1

=

 

, или

T1

 

,

γ−1

V2

 

 

 

n

где γ - отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме: γ = 1,4 для водорода как для двухатомного газа.

Поскольку

n1

=

V 2

= 5 ,получим для конечной температуры Т2 следую-

V 1

щую формулу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

 

 

T2 =

.

 

 

 

 

γ −1

 

 

 

 

 

n1

Подставляя числовые данные, находим, что Т2=157К.

49

Работа А1 газа при адиабатическом расширении определяется по форму-

ле:

1 =

2

PdV = m µV (

1

−

 

2)= m i R( 1 −

2),

A

∫

 

 

c

T

 

T

 

 

 

 

 

T

T

 

µ

 

 

µ 2

 

1

 

 

 

 

 

 

где cµv - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Подставив числовые значения R, i, µ, m, T1 и T2 , получим

A1 = 2,98 104 Дж .

Работа А2 газа при изотермическом процессе вычисляется по формуле

 

 

 

A2

= ∫ PdV = mR T2 lnV 2

= m R T2 ln

1 ,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

µ

V 1

µ

 

n2

где n2

=

V 2

= 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив числовые значения, находим А2 = −2,1 104 Дж.

Знак “минус” показывает, что при сжатии работа над газом совершается внешними силами.

Пример 5. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1=500 К. Определить термический к. п. д. η цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А=350 Дж.

Решение. Термический к. п. д. тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический к. п. д. выражается формулой

η = AQ1 ,

где Q1 - теплота, полученная от нагревателя;

А - работа, совершенная рабочим телом машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

η = 1000350 = 0,35 .

Зная к. п. д. цикла, можно по формуле η= 1 − T2 T1 определить температуру охладителя Т2:

50

T2 = 500(1 − 0,35)K = 325 К.

5.2.3. Вопросы и задания для самостоятельного решения и самоконтроля

Молекулярная физика и термодинамика

1. Какое выражение определяет число частиц dN´ со скоростями, лежащими в интервале от v до v + dv ?

Ответы: 1) dN´=

1

dN

;

N

 

dv

 

2)dN´= f (v)dv ;

3)dN´= N f(v) dv ,

где N - число частиц в системе,

f (v) - функция распределения частиц по абсолютным значениям скоростей.

2. Имеются две равновесные системы, находящиеся во внешнем потенциальном поле и подчиняющиеся закону распределения Больцмана. Укажите номер рисунка, на котором приведены графики этих распределений, если масса молекулы первого газа больше массы молекулы второго газа. Газы считать идеальными.

n

n

n

 

 

n01

n01 - - - - - - - - -

n01

 

 

n02

n02 - - - - - - - - - - -

n02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

h

 

h

1)

2)

 

3)

 

3. На основании теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы среднюю кинетическую ε энергию молекулы, имеющей i степеней свободы, находят по формуле:

Ответы: 1)

ε =

1

kT

; 2) ε =

i

 

RT ; 3) ε =

i

R ;

 

2

 

 

2

 

 

 

 

i

2

 

4)

ε =

i+2

R ; 5) ε =

 

kT .

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности