Физика
.pdf
21
aτ
ab
.o a
Так как векторы aϑ и an взаимно перпендикулярны, то абсолютное значение ускорения
a = 
a2τ + a2 n .
Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражаются формулами:
a = ε r, |
a |
n |
=ω2 r, |
τ |
|
|
где ω-угловая скорость тела; ε - угловое ускорение. Подставляя выражения для aτ и an в формулу, находим
a = 
ε2 r2 +ω4 r2 = r
ε2 +ω4 .
Угловую скорость ω найдем, взяв производную угла поворота по време-
ни:
ω= ddtϕ = B + 2Ct .
Вмомент времени t=4 с угловая скорость
ω=[20 + 2( −2 )4]рад/ с =4 рад/ с.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
ε = ddtω = 2C = −4 рад/ c2
22
Это выражение не содержит времени; следовательно, угловое ускорение заданного движения постоянно . Подставляя найденные значения ω и ε и заданное значение r в формулу, получим
a = 0,1
( −4) 2 + 44 м/ c2 =1.65 м/ c2 .
Пример 3. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля m=20 г поднялась на высоту h=5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на x=10 см. Массой пружины пренебречь.
Р е ш е н и е. Воспользуемся законом сохранения энергии в механике. Но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел. При зарядке пистолета сжимается пружина и совершается работа А1 , в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию П1. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию T2 пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию П2 пули.
Если пренебречь потерями энергии в этой “цепочке” энергетических превращений , то на основе закона сохранения энергии можно записать
А1=П2. (1)
Найдем работу А1. Сила F1, сжимающая пружину, является переменной : в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука: F=kx, где x - абсолютная деформация пружины.
Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой
dA=F1dx, или dA1=kxdx. Интегрируя в пределах от 0 до x, получим
A1 = k ∫0x xdx = |
|
1 |
kx 2 |
|
x |
1 |
kx 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
. (2) |
||||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле
P2 = mgh, (3)
где g - ускорение свободного падения.
Подставив в (1) выражение А1 из (2) и П2 из (3), найдем
12 kx 2 = mgh,
23
откуда
k = 2mghx 2 . (4)
Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k.
Для этого в правую часть формулы (4) вместо величин подставим их единицы:
[k ]= |
[m][g][h] |
= |
1к г1м с-2 1м |
= |
1к гм с-2 |
= 1H / м. |
||
[x ] |
|
|
|
|
||||
2 |
1м |
2 |
1м |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим в формулу (4) значения величин и произведем вычисления:
k = |
2 0,02 9,81 5 |
Н / м= 196 Н / м. |
|
1 |
|||
|
|
Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m=80 г. перекинута тонкая, гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1 = 100г. и m2 = 200г. С каким ускорением будут двигаться грузы,
если их предоставить самим себе ? Трением и массой нити пренебречь.
. |
r |
|||||
|
Т1 ` |
|
Т2 ` |
|||
|
Т |
1 |
|
Т |
|
2 |
|
|
|||||
|
m 1 |
m 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
x m 1 g |
m 2 g |
|||||
Р е ш е н и е. Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести m 1 g и сила упругости T 1 ( сила натяжения).
Спроектируем эти силы на ось x , которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения ( второй закон Ньютона) в координатной форме:
24 |
|
m1 g − T1 = −m1 a . |
(1) |
Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:
m2g − T2 = m2a . |
(2) |
Под действием двух моментов сил T1`r и T2 `r относительно оси, пер-
пендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение ε (ε =а/r). Согласно основному уравнению динамики вращательного движения
|
|
|
T ` r − T ` r = J |
z |
ε , |
(3) |
||
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
||
где Jz = |
mr 2 |
- момент инерции блока ( сплошного диска) относитель- |
||||||
2 |
||||||||
но оси z . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Сила T` |
согласно третьему закону Ньютона по абсолютному значению |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
равна силеT1 . Соответственно сила T2` по абсолютному значению равна силе
T2 . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо T1` и T2` вы-
ражения для T1 и T2 , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):
( m2 g −m2a ) r-( m1g +m1a ) r= 21 m r2 ar .
После сокращения на r и перегруппировки членов найдем интересующее нас ускорение:
|
a = |
|
|
m2 −m1 |
g . |
(4) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
m +m |
+ |
m |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = |
( 200 −100 )г |
9,81 м / с2 = 2,88 м / с2 |
|||||||||
|
|||||||||||
( 200 + 100 + |
|
80 |
)г |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом R= 0,2 м и массой m= 50 кг. раскручен до частоты вращения n1 =480 мин-1 и предоставлен са-
мому себе. Под действием сил трения маховик остановился через t= 50 c. Найти момент М сил трения.
Р е ш е н и е. Воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде
25
|
|
dLz = M zdt , |
(1) |
где dLz |
- |
изменение момента импульса маховика, |
вращающегося |
|
|
относительно оси Z , совпадающей с геометрической осью |
|
Mz |
|
маховика, за интервал времени dt ; |
|
- |
момент сил трения относительно оси Z. |
|
|
Считая Mz не изменяющимся со временем ( Mz =const), интегрируем (1):
dLz = M z ∆t . |
(2) |
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса
∆Lz = Jz ∆w , |
(3) |
где Jz - момент инерции маховика относительно оси Z; ∆w - изменение угловой скорости маховика.
Из равенства кривых частей (2) и (3) следует:
M z ∆t = J z ∆w ,
и |
∆w |
|
|
|
M z = Jz |
. |
(4) |
||
|
||||
|
∆t |
|
||
Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле:
Jz = 12 mR 2 .
Изменение угловой скорости выражается через изменение частоты вращения, пользуясь соотношением ω=2 πn:
∆ω =ω2 −ω1 =2π( n2 −n1).
Подставив в формулу (4) выражения для Jz и ∆ω , получим:
|
π ml2( n |
2 |
−n |
) |
|
M z = |
|
1 |
|
(5) |
|
∆t |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Найдем размерность левой и правой частей выражения (5) . Убедимся, что они совпадают.
Запишем величины, входящие в формулу (5) в СИ и вычислим M z .
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
480 |
|
|
−1 |
= 8c |
−1 |
|
|
m=50 кг.; |
R=0,2 м.; n =480 мин |
|
= |
|
|
l |
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
n2 = 0; |
∆t =50c.; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
M z |
= |
3,14 50 (0,2 )2 |
|
(0 − 8 ) |
H м=-1 H м . |
||||||
|
50 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак “ минус” показывает, что силы трения тормозят вращающийся маховик.
Пример 6. Точка совершает гармонические колебания с частотой v=10Гц. В начальный момент времени точка имела максимальное смещение xmax =10
см. Написать уравнение колебаний точки.
Р е ш е н и е. Уравнение колебаний точки можно записать в виде
|
|
или |
|
x=A sin(ω t+ϕ), |
(1) |
||
|
|
|
x=A cos(ω t+ϕ), |
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|||
где А |
- |
амплитуда колебаний; |
|
||||
w |
- |
циклическая частота; |
|
||||
t |
- |
время; |
|
|
|
|
|
ϕ1 и ϕ2 - начальные фазы. |
|
||||||
По определению |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
А= x max . |
(3) |
Циклическая частота ω=2πv. |
|
||||||
Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Для |
(1) начальную |
||||||
фазу определяем из условий в момент t=0 : |
|
||||||
|
|
|
|
xmax |
x max =А sin ϕ1 , |
|
|
откуда ϕ |
1 =arcsin |
|
=arcsin1, |
|
|||
|
A |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 =(2k+1) π2 (k=0, 1, 2...)
Изменение фазы на 2π не изменяет состояния колебательного движения, поэтому
ϕ1 = |
π . |
(4) |
|
2 |
|
Для случая (2) аналогичные рассуждения приводят к
27 |
|
ϕ2 =0 . |
(5) |
Отсюда уравнения колебаний примут вид: |
|
x = xmax sin( 2π vt + |
π ) |
|
2 |
или
x = xmax cos2π vt ,
где xmax =10 cм.=0,1м ; v=10 Гц.
Пример 7. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью v=20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x1=12 м. и
x2 =15 м. от источника волн, колеблются с разностью фаз ∆ϕ=0,75 π. Найти
длину волны λ , написать уравнение волны и найти смещения указанных точек в момент t=1,2 с., если амплитуда колебаний А=0,1 м.
Р е ш е н и е. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ, колеблются с разностью фаз, равной 2π ; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии ∆x , колеблются с разностью фаз, равной
∆ϕ = ∆λx 2π = x2 λ− x1 2π .
Решая это равенство относительно λ, получим
λ = ∆2πϕ ( x2 − x1 ).
Подставив числовые значения величин, входящих в выражение для λ, и выполнив арифметические действия, получим
λ = 02,75ππ (15 −12 )м=8м.
Для того, чтобы написать уравнение плоской волны, надо еще найти циклическую частоту ω. Так как ω= 2πv/T ( T - период колебаний) и Т=λ/v ,то
ω=2πv/λ .
Произведя вычисления, получим
ω = 2π8 20 c −1 = 5π c-1 .
28
Зная значение амплитуды А колебаний, циклической частоты ω и скорости v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:
y=A cos ω(t - vx ),
где А=0,1м.; ω=5π c −1 ; v=20 м/с.
Чтобы найти смещение y указанных точек, достаточно в это уравнение подставить заданные значения t и x:
y1 = 0,1cos 5π(1,2 − 1220 )м =0,1 cos 3π м=-0,1 м ;
y2 = 0,1cos 5π(1,2 − 1520 )м= 0,1 cos 2,25π м= 0,1 сos 0,25π м= 0,071 м= 7,1 см.
Пример 8. Определить импульс p и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью v =0,9 с., где с - скорость света в вакууме.
Р е ш е н и е. Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:
p=mv. (1)
Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле
|
m = |
m0 |
, |
(2) |
|
1 − β 2 |
|||
где m |
- масса движущейся частицы; |
|
|
|
m0 |
- масса покоящейся частицы; |
|
|
|
β =v/c - скорость частицы, выраженная в долях скорости света. Заменив в формуле (1) массу m ее выражением (2) и приняв во внима-
ние, что v=cβ , получим выражение для релятивистского импульса
p = m0 |
β c = |
m0 |
β c. |
(3) |
1 − β 2 |
|
1 −( v / c ) 2 |
|
|
Подставим числовые значения величин, входящих в формулу (3) :
29
p = 9,1 10−31 0,9 3 |
108 к гм |
/ с= 5,6 10-22 к гм / с . |
||
1 −0,81 |
|
|
||
В релятивистской механике кинетическая энергия T частицы определя- |
||||
ется как разность между полной энергией Е и энергией покоя E0 этой час- |
||||
тицы, т.е. T = E − E |
0 |
. Так как |
E = m c2 |
, то, учитывая зависимость массы |
от скорости, получим |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
T = |
m c2 |
−m c2 , |
|
|
0 |
|
|||
|
1 − β 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
T = m c2 ( |
1 |
−1) . |
(4) |
|
|
0 |
− β 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Подставив числовые данные, выраженные в единицах СИ, найдем
T = 9,110−31 ( 3 10 |
8 )2 ( |
1 |
−1)= |
|
−0,81 |
||||
|
1 |
|
=8,18 10−14 ( 2,29 −1)Дж = 1,06 10-13 Дж .
Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m0 c2 =0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (4), получим
Т=0,51 129, МэВ=0,66 МэВ.
5.1.3 Вопросы и задания для самостоятельного решения и самоконтроля по разделу “Физические основы механики|”
1. По какой из приведенных ниже формул можно определить модуль нормального ускорения аn?
Ответы: 1) an |
= |
dv |
; |
2) an |
= |
dω |
; |
3) an |
= v2 |
; |
4) an |
= R |
dω |
; |
|
dt |
dt |
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
30
|
|
|
dv 2 |
|
2 |
2 |
||||
5) |
a |
n = |
|
|
|
+ |
v |
|
|
, |
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
R |
|
||||||
где ω - угловая скорость, |
||||||||||
|
|
v - |
линейная скорость, |
|||||||
R- радиус кривизны траектории.
2.Диски вращаются в направлении, указанном стрелками.
Укажите номер рисунка, на котором векторы углового ускорения β и угловой скорости w направлены вниз.
dω |
>0 |
dω |
>0 |
dω |
<0 |
|
dt |
dt |
dt |
||||
|
|
|
1) 2) 3)
3. На рисунке изображен график зависимости координаты х броуновской частицы от времени t. Определите значение скорости v частицы в момент
времени t= 2 с. |
|
|
x |
Ответы: 1) |
v = 2 м/с; |
6 |
2) |
v = 1 м/с; |
4 |
3) |
v = 0; |
|
4) |
v = 3 м/с. |
2 |
|
|
|
|
t |
! |
! |
! |
! |
! |
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
4. Нормальное ускорение электрона, движущегося по окружности радиусом 4 м, изменяется по закону an = 1+3t + 2,25t2. Определить тангенциальное
ускорение aτ электрона, его угловую скорость ω и полное ускорение а в момент времени t = 2/3 с.
Ответы:
Номер |
|
|
|
ответа |
1 |
2 |
3 |
aτ |
1 |
3 |
2 |