Физика

11

v = dSdt .

5. Вектор среднего ускорения:

aс р = ∆∆vt .

6. Вектор мгновенного ускорения:

a = dvdt .

7. Тангенциальное ускорение:

aτ = dvdt τ(t),

где τ(t) - единичный вектор, направленный по касательной к траек-

тории.

8. Нормальное ускорение:

2

a n = vR ,

где R - радиус кривизны траектории в данной точке.

2. Вращательное движение

9.Кинематическое уравнение движения материальной точки по окруж-

ности:

ϕ=ϕ(t)

10.Мгновенная угловая скорость:

w= dϕdt(t) .

11.Мгновенное угловое ускорение:

12

β= dwdt(t) .

12.Связь между линейными и угловыми векторными величинами, характеризующими движение точки по окружности:

=[w ri ] , aτ =[β ri ] [w ri ]],vi an =[w

где ri - радиус-вектор i-ой точки.

13. Полное линейное ускорение:

где R - радиус окружности.

14.Угол между ускорением полным аи нормальным a :

α= arccos an .

a

Динамика

1, Поступательное движение

15. Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью v

:

p=mv

16. Основной закон динамики (второй закон Ньютона):

F = m dvdt = ma = dpdt ,

где F - сила, действующая на тело.

17. Силы, рассматриваемые в механике:

13

а) Сила упругости: F = −kx, где k - коэффициент упругости; б) Сила гравитационного взаимодействия:

F =γ m1 m2 , r2

где γ - гравитационная постоянная,

m1,m2 - массы взаимодействующих тел, r - расстояние между телами.

в) Сила тяжести:

F = mg .

г) Сила трения (скольжения):

F = µN ,

где µ - коэффициент трения,

N- сила нормального давления.

18.Закон сохранения импульса:

N

∑ pi =const ,

i =1

где Pi - импульс i-го тела системы.

19. Кинетическая энергия тела:

K = m2v2 .

20. Потенциальная энергия: а) сжатой пружины:

Π = 12 k x2 ,

где k - жесткость пружины,

х - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия:

Π = −γ m1rm2 ;

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

Π = mgh ,

где h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой.

21. Закон сохранения механической энергии:

E = T + Π = const .

14

22. Работа силы F на пути S :

∆A = ∫ F S ds ,

S

где FS - проекция силы на направление перемещения, ds - элемент пути.

23. Мощность:

N= dAdt =(F,v).

24.Работа ∆А, совершаемая внешними силами, определяет изменение энергии системы тел:

∆A = ∆E = E2 − E1 .

27. Теорема Штейнера:

J = Jo + ma2 ,

где Jo - момент инерции относительно оси, пройдет через центр инерции,

а- расстояние между осями.

28.Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной

оси:

L = Jw ,

где w - угловая скорость тела.

29. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся относительно неподвижной оси:

J1 w1 = J2 w2 .

30. Кинетическая энергия вращающегося тела:

Элементы специальной теории относительности

31. Длина тела, движущегося со скоростью v относительно системы отсчета К, связана с длиной lo тела, неподвижного в системе К:

32. Промежуток времени ∆t в системе, движущейся со скоростью v по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени∆tо в неподвижной для наблюдателя системе:

где mo - масса покоя тела.

34. Зависимость кинетической энергии тела от скорости v его движения:

35. Релятивистская энергия тела, движущегося со скоростью v:

Er = E0 + Ek = mc2 = m0 c2 + Ek ,

где E0 = m0 c2 - энергия покоя.

36. Связь релятивистской энергии Er и импульса тела Pr :

E = c P2 + m2 c2

r r o

37. Изменение массы системы на ∆m соответствует изменению энергии системы на ∆Er = ∆mc2 .

Колебательное движение

38. Кинетическое уравнение гармонических колебаний материальной точки:

x( t) = A sin(ω t +ϕ0 ),

где x - смещение, A - амплитуда колебаний, ω - циклическая или угловая частота, ϕ0 -начальная фаза.

18

где δ -коэффициент затухания, равный 2rm , где r - коэффициент трения,

m- масса колеблющегося тела, ω - круговая (циклическая) частота затухающих колебаний,

46.Логарифмический декремент:

θ= δT ,

47. Кинематическое уравнение вынужденных колебаний материальной точки:

x = X 0 sin( Ω t − Φ0 ) ,

где X 0 -амплитуда вынужденных колебаний, Ω- частота вынуждающей силы, Φ0 - установившейся сдвиг между x(t) и F

19

где А- амплитуда волны, ω - циклическая (круговая) частота, l - расстояние от источника до точки среды, Vв- скорость распространения колебаний в упругой среде.

50. Параметры волн:

λ = vb T kb = 2λπ

VΦ = W kb

где λ - длина волны, kb - волновое число, VΦ - фазовая скорость.

51. Связь разности фаз ∆ϕ колебаний с расстоянием ∆l между точками среды:

∆ϕ = 2λπ ∆l .

52. Объемная плотность энергии колебаний частиц среды:

ω = ρ A2ω2 ,

2

где ρ = mn -плотность вещества среды. 53. Вектор Умова:

j =ω Vb

где ω- объемная плотность энергии колебаний частиц среды. 54. Кинематическое уравнение стоячей волны:

где ξΣ - смещение колеблющейся точки, отстоящей от источника на рас-

5.1.2. Примеры решения задач

20

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3 , где А=2 м, В=1 м/c, С= -0,5 м/ c3 .

Найти координату x , скорость V и ускорение a точки в момент времени t=2 c.

Р е ш е н и е. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

x = ( 2 +1 2 −0,5 23 ) м =0.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по време-

ни:

V = dxdt = B + 3Ct2 ,

В момент времени t=2c

V = (1 − 3 0,5 22 ) м/с =-5 м/с.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

a = dVdt = 6Ct .

В момент времени t=2c

a = 6( −0,5 ) 2 м/ c2 = −6 м/ c2

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

ϕ = A + Bt + Ct2 , где А = 10 рад, В= 20 рад/с, С= -2 рад/ c2 . Найти пол-

ное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t= 4с.

Р е ш е н и е. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения aτ , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения

an , направленного к центру кривизны траектории.