Kalney_Limits_Continuos

Определение. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a , если

lim f ( x) = f (a) .

x→a

Таким образом, функция, непрерывная в точке, не только имеет предел в точ-

т.е. для непрерывной функции можно переставлять местами знак предела и знак функции.

Вспоминая определения предела функции в точке, легко сформулировать оп-

ределения непрерывности функции на « ε − δ языке» и в терминах последовательно-

стей. Например, на « ε − δ языке» определение непрерывности записывается так:

функция f ( x) называется непрерывной в точке a , если для любого сколь угодно

малого числа ε > 0 найдётся зависящее от него число δ > 0 такое, что для всех x ,

удовлетворяющих условию x − a < δ , выполняется неравенство f ( x) − f (a) < ε .

Понятие непрерывности функции в точке может быть сформулировано в тер-

минах приращений аргумента и функции.

Разность x = x − a называют приращением аргумента в точке a . Разность y = f = f (a + x) − f (a) = f (x) − f (a)

называют приращением функции y = f ( x) в точке a (соответствующим прираще-

нию аргумента x ).

Так как условия y = f → 0 и f (x) → f (a) при x → 0 (т.е. x → a ) равно-

сильны, то определение непрерывности функции может быть сформулировано так:

функция y = f ( x) называется непрерывной в точке a , если

51

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция f ( x) называется непрерывной справа (слева) в точке

Рис.1.20. Графики функций с односторонней непрерывностью в точке.

Функция, заданная на интервале (a, b) и непрерывная в каждой точке интер-

вала, называется непрерывной на интервале (a, b) . Если функция задана на отрезке

[a, b], непрерывна на интервале (a, b) , а в точках a и b непрерывна справа и, соот-

ветственно, слева, то функция называется непрерывной на отрезке [a, b].

2. Свойства непрерывных функций

Из определения непрерывности и свойств предела функции легко следуют

свойства непрерывных в точке функций.

Теорема 1.26. Если функции f ( x) и g ( x) непрерывны в точке a , то их сум-

ма, разность, произведение и частное ( g (a) ≠ 0 ) также непрерывны в точке a .

Теорема 1.27. Если функция непрерывна в точке a , то существует окрест-

ность точки a в которой функция ограничена.

Теорема 1.28. Если функция f ( x) непрерывна в точке a и f (a) ≠ 0 , то суще-

ствует окрестность U (a) такая, что для всех x U (a) выполняется неравенство

Докажем, для примера, теорему 1.26 в случае суммы функций.

52

всей числовой прямой, а рациональная функция, то есть отношение двух многочле-

нов, будет непрерывной во всех точках, в которых знаменатель не обращается в нуль.

Докажем, что функция y = sin x непрерывна для любого x . В самом деле,

53

Если 0 ≤ α < π , то неравенство (1.17) следует из неравенства (1.6), полученного при

2

доказательстве теоремы 1.23. Так как sin α ≤ 1, то для α ≥ π > 1 неравенство (1.17)

2

также верно. Если α < 0 , то −α > 0 и, в силу нечетности функции синус, также по-

лучаем sin α = sin(−α) ≤ −α = α .

2

обоснована.

Записывая функцию cos x как сложную ( cos x = sin u , u = π − x ), из доказан-

2

ного выше и теоремы 1.29 заключаем, что функция косинус непрерывна.

Функции tg x , x ≠ π + πk , k Z , и ctg x , x ≠ πk , k Z , есть частное двух не-

2

прерывных функций со знаменателем не равным нулю и поэтому непрерывны для указанных x .

Непрерывными на всей области определения будут и другие основные эле-

ментарные функции: y = xa ( a R ), y = a x , y = loga x , y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x .

Напомним, что элементарной называется функция, которая может быть полу-

чена из основных элементарных с помощью применения конечного числа арифме-

тических действий и суперпозиций. Поэтому из непрерывности основных элемен-

тарных функций и теорем 1.27, 1.29 следует, что всякая элементарная функция не-

прерывна в каждой точке, в которой она определена.

54

4. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками

разрыва функции. Функция f ( x) непрерывна в точке a , если lim f ( x) = f (a) . Та-

x→a

ким образом, в точке разрыва должно нарушаться это равенство. Рассмотрим под-

робнее все возможные случаи нарушения равенства.

Случай 1 (устранимая точка разрыва). Пусть существует lim f ( x) . В этом

x→a

случае точка a будет точкой разрыва, если функция не определена в самой точке

(рис. 1.21 а)), либо функция определена в точке, но f (a) ≠ lim f ( x) = A (рис. 1.21

x→a

б)). Такая точка разрыва называется устранимой точкой разрыва. Разрыв устраня-

ется, если функцию доопределить (рис. 1.21 а)) или переопределить (рис. 1.21 б)) в

ворят, доопределим в точке разрыва по непрерывности), то получим функцию, не-

прерывную на всей числовой прямой.

Рис.1.21. Графики функций с устранимой точкой разрыва.

Случай 2 (точка разрыва 1-го рода). Точка a называется точкой разрыва 1-го

значения f (a − 0) к значению f (a + 0) (см. рис. 1.22 а))). Разрыв 1-го рода в нуле имеет функция sign x (см. рис. 1.13). Изменяя или доопределяя значение функции в точке разрыва 1-го рода, разрыв устранить нельзя, но можно добиться непрерывно-

сти функции в точке либо справа, либо слева.

f(a + 0)

f(a - 0)

Случай 3 (точка разрыва 2-го рода). Точка a называется точкой разрыва 2-го

рода, если хотя бы один из односторонних пределов в точке a не существует или

(см. рис. 1.22 б)): f (1 − 0) = −∞ , f (1 + 0) = +∞ . Точка нуль является точкой разрыва

2-го рода функции sin 1 (см. пример 1.15): односторонние пределы не существуют. x

5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойства функции зависят как от характера зависимости, так и от множества,

чена на отрезке [2, 3] и неограниченна на интервале (1, 2) . Оказывается, что любая функция, непрерывная на отрезке, обладает рядом замечательных свойств. Сформу-

лируем их.

Теорема 1.30. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на

нём.

56

торой функция равна нулю, либо получим бесконечную последовательность вло-

женных друг в друга отрезков σn , длины которых стремятся к нулю и на концах ко-

торых функция имеет значения разных знаков. По принципу вложенных отрезков

(см. п.1.1) в последнем случае существует единственная точка γ , принадлежащая всем отрезкам σn . В точке γ функция будет равна нулю. Действительно, если пред-

положить, например, что f (γ) > 0 , то по свойству непрерывных функций (теорема

стремятся к нулю, и на концах отрезков σn функция имеет значения разных зна-

ков.►

Теорема 1.32 обосновывает известный со школы метод интервалов решения

неравенств f (x) ≥ 0 (или > 0 ): если функция определена на интервале и непрерыв-

на на нём, то между двумя соседними нулями функции, принадлежащими интерва-

лу, она сохраняет знак. Знак на каждом промежутке, образованном соседними нуля-

ми, можно определить, вычислив значение функции лишь в одной точке промежут-

ка.

Теорема 1.33. Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] , то на этом

отрезке она принимает все промежуточные значения между f (a) и f (b) .

◄ Пусть, для определённости, f (a) < f (b) и f (a) < C < f (b) . Тогда функ-

ция F ( x) = f ( x) − C непрерывна и имеет на концах отрезка значения разных зна-

ков. Значит, существует точка c (a, b) такая, что F (c) = f (c) − C = 0 , т.е.

f (c) = C .►

Из теоремы 1.32 следует, например, что существует положительное число,

квадрат которого равен 2. Действительно, рассмотрим функцию f (x) = x2 на от-

резке [0, 2]. Она непрерывна на этом отрезке и поэтому принимает на нём все зна-

чения между числом 0 = f (0) и числом 4 = f (2) . В частности, существует на ин-

тервале (0, 2) такое число, которое обозначим 2 , что f (2 )= 2 .

58

становиться всё меньше и меньше. В первом случая говорят, что функция равно-

мерно непрерывна на [a, b], во втором – не является равномерно непрерывной на

[a, c) .

Определение. Функция f ( x) называется равномерно непрерывной на мно-

жестве T , если для заданного ε > 0 найдётся число δ > 0 , зависящее только от

ε > 0 , такое, что f ( x′) − f ( x′′) < ε для любых x′, x′′ T , удовлетворяющих нера-

венству x′ − x′′ < δ .

Если одну из точек x′, x′′ , например, x′ зафиксировать, то получим определе-

ние непрерывности функции в точке x′ . Следовательно, равномерно непрерывная на промежутке функция является непрерывной в каждой точке промежутка. Обрат-

ное, в общем случае, неверно. Например, функция f (x) = 1 , имеющая вертикаль- x

ную асимптоту x = 0 , непрерывна на интервале (0, 1) , но не является равномерно непрерывной на нём.

Справедлива следующая замечательная теорема.

Теорема 1.34. Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно не-

прерывна на нём.

60