Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kalney_Limits_Continuos

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Как и в случае последовательностей справедлива следующая простая, но важ-

ная теорема, устанавливающая связь между существованием предела функции в

точке и бесконечно малыми функциями.

Теорема 1.20. Для того чтобы число A являлось пределом функции f (x) в

точке a необходимо и достаточно, чтобы функцию f (x) в некоторой проколотой окрестности точки a можно было представить в виде

f (x) = A + α(x) ,

где α(x) – бесконечно малая функция при x → a .

Определение. Функция β( x) называется бесконечно большой при x → a , если

для любого, сколь угодно большого числа M найдётся окрестность U (a) , что

β( x) > M для всех x U (a) , x ≠ a .

В терминах последовательностей определение бесконечно большой функции формулируется так: функция β( x) называется бесконечно большой при x → a , если для любой последовательности xn → a , xn ≠ a , последовательность значений функции β( xn ) → ∞ .

Если функция β( x) бесконечно большая при x → a (говорят также, что стре-

мится к бесконечности при x → a ), то пишут lim β(x) = ∞ .

x→a

y
O	x

Рис.1.17. График функции .

Бесконечно большой будет функция 1 x

при x → 0 , но, заметим, эта же функция будет бесконечно малой при x → ∞ (см.рис. 1.17).

Если функция β( x) стремится к беско-

нечности при x → a и при приближении к a

начинает принимать только положительные или только отрицательные значения, то пишут

lim β( x) = +∞ и, соответственно,	lim β( x) = −∞ .
x→a	x→a

Если функция α(x) бесконечно малая при x → a ,			то функция	1	беско-

				α(x)
нечно большая при	x → a . Верно и обратное, если β( x)		бесконечно большая при
x → a , то функция	1	бесконечно малая при x → a .

	β( x)

Используя определение бесконечно большой функции в терминах последова-

тельностей и свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательно-

стей, заключаем, что верны следующие утверждения.
Теорема 1.21. Если функция α(x) бесконечно малая при x → a и f ( x)					огра-
ничена в некоторой проколотой окрестности точки a , то lim			f ( x)α( x) = 0 .
		x→a
				≥ c > 0 в некото-
Теорема 1.22. Если функция β( x) → ∞ при x → a , а			f ( x)	≥ c > 0 в некото-
рой проколотой окрестности точки a ( c не зависит от x) , то			lim f ( x)β( x) = ∞ .
			x→a
Из теоремы 1.18	и	теоремы 1.22 следует, что lim f ( x)β( x) = ∞ ,			если
		x→a
β( x) → ∞ при x → a , а	lim	f (x) = A, A ≠ 0 .

x→a

Теоремы 1.21 и 1.22 применяются при раскрытии неопределенностей.

Пример 1.19. Вычислить

lim

x→∞ 5x3

− 3x3 sin x

◄ Здесь числитель

и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при

x → ∞ . Поэтому теорему

1.16

применить нельзя. Преобразуем дробь, вынося в

знаменателе степень x3

5x3 − 3x3 sin x x3

(5 − 3sin x )

x2 (5 − 3sin x)

Функция x2 бесконечно большая при x → ∞ , а 5 − 3sin x ≥ 2 для любых x . Следо-

вательно, в силу теоремы 1.22, функция x2 (5 − 3sin x) → ∞ при x → ∞ . Величина,

обратная	бесконечно большой, является бесконечно малой. Таким образом,
lim	2x	= 0 .►

	− 3x3 sin x
x→∞ 5x3

1.11.Замечательные пределы

Вэтом пункте будут рассмотрены два важных предела. При этом будет ис-

пользоваться непрерывность основных элементарных функций (см. п.1.13).

1. Первый замечательный предел

Теорема 1.23. lim sin x = 1.

x→0 x

◄ Числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при x → 0 . Поэтому

lim	sin x		есть неопределенность вида	0	. Раскроем её. Сначала докажем, что для
lim			есть неопределенность вида		. Раскроем её. Сначала докажем, что для
x→0 x			0
0 < x <		π
0 < x <
2
			sin x < x < tg x .			(1.6)

На декартовой плоскости Ouy рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке O . Пусть A точка с координатами (1, 0), точка M лежит на окруж-

ности, причем радианная мера угла MOA равна x ,

y		C		точка B основание перпендикуляра, опущенного из
y	M			точка B основание перпендикуляра, опущенного из
	M			точки M на отрезок OA , а точка C – точка пересе-
				чения перпендикуляра к отрезку OA с основанием
			x	A с продолжением отрезка OM (рис.1.18). Из ри-
O	B A		x	A с продолжением отрезка OM (рис.1.18). Из ри-
O	B A
				сунка следует, что S MOA < SсектораMOA < S COA .
				Отрезок BM является высотой треугольника MOA ,
				длина его равна sin x , отрезок BC , имеющий длину
Рис.1.18. Геометрическое				длина его равна sin x , отрезок BC , имеющий длину
Рис.1.18. Геометрическое
обоснование неравенств (1.6)				tg x , есть высота треугольника COA , а длина от-

резка OA равна 1. Поэтому из формул площади треугольника и кругового сектора

получаем, S COA =

tg x ,

SсектораMOA =

x и, тем самым, неравенства (1.6) для

0 < x <

доказаны.

Разделим неравенства (1.6) на sin x > 0 . Получим

1 <

или cos x <

sin x

< 1.

(1.7)

sin x

cos x

Функции cos x и sin x чётные. Поэтому неравенства (1.7) верны и для − π < x < 0 .

		x	2
В силу непрерывности функции косинус (см.п.1.13) имеем			lim cos x = cos 0 = 1.
			x→0
Очевидно, lim 1 = 1. Тогда, по теореме 1.15 о пределе			«зажатой функции»,
		x→0
lim	sin x	существует и также равен 1.►
lim		существует и также равен 1.►
x→0 x

При вычислении пределов тригонометрических выражений первый замеча-

тельный предел часто используется в следующей формулировке:

lim

sin α(x)

= 1,

x→ x0

α( x)

если α( x) → 0

при

x → x0 , α( x) ≠ 0 в некоторой проколотой окрестности точки

x0 .

sin (

− 2)

Пример 1.20. Вычислить lim

x→4

x − 4

sin (

− 2)

x − 2 → 0 при x → 4 , то lim

◄ Так как

= 1. Поэтому

x→4

x − 2

sin (

− 2)

sin (

− 2)

sin (

− 2)

lim

= lim

lim

.►

x→4

x − 4

x→4 (

x − 2)(

x + 2)

x→4

(

x − 2)

x→4 x + 2 4

2. Второй замечательный предел

Теорема 1.24.

lim 1

= e .

x→∞

◄ Если использовать определение предела функции по Гейне, то нужно дока-

зать, что для любой последовательности xn → ∞
	+	1	xn	= e .
lim 1					(1.8)
lim 1					(1.8)
n→∞		xn
Для доказательства равенства (1.8) достаточно			его	доказать в двух	случаях:
xn → +∞ и xn → −∞ .

Случай 1. Если xn = n , то равенство (1.8) справедливо (см. п.1.9). Оно также будет верным, если xn последовательность натуральных чисел, стремящаяся к +∞,

но не обязательно возрастающая.

Пусть теперь xn произвольная последовательность действительных чисел,

стремящаяся к +∞. Считая xn ≥ 1, сопоставим последовательности xn последова-
тельность натуральных чисел kn = [xn ] – целой части	xn . По определению целой
части справедливо двойное неравенство kn ≤ xn < kn + 1.	Тогда

1 +

< 1 +

≤ 1 +

kn + 1

и из свойств степеней с основаниями большими единицы

1 xn

1 kn +1

< 1

(1.9)

kn +1

Так как для любой последовательности натуральных чисел, стремящейся к +∞ ра-

венство (1.8) верно, то

kn +1

−1

lim 1

= e

kn + 1

n→∞

kn +1

= e .

lim 1

kn + 1

n→∞

Поэтому, по теореме 1.3 о пределе «зажатой» последовательности, из (1.9) следует справедливость (1.8) в первом случае.

Случай 2. Пусть xn → −∞ . Положим tn = − xn → +∞ . Следовательно,

1 xn

1 −tn

1 tn

1 tn −1

1 +

= 1 −

= 1 +

1 +

tn −1

−1

tn −1

Так как 1 +

→ e при tn → +∞ , то заключаем, что равенство (1.8) верно и

tn −1

во втором случае.►

Если выполнить замену t =

→ 0 , x → ∞ , то второй замечательный предел

можно записать в виде

(

1/t

)

= e .

(1.10)

lim 1 + t

t →0

3. Следствия из второго замечательного предела

Следствие 1.1. lim

ln(1 + x)

= 1,

lim

loga (1 + x)

x→0

ln a

◄ Докажем сначала первое равенство. Используя свойства логарифмов, непрерыв-

ность логарифмической функции и равенство (1.10), получим

lim ln(1 + x) = lim 1 ln(1 + x) = lim ln(1 + x)1/ x = ln lim (1 + x)1/ x = ln e = 1.

x→0 x x→0 x x→0 x→0

Для доказательства второго равенства перейдём в числителе дроби к натуральным логарифмам

lim

loga (1 + x)

= lim

ln(1 + x)

lim

ln(1 + x)

.►

x→0

x→0 x ln a

ln a x→0

ln a

Следствие 1.2. lim

a x −1

= ln a

> 0)

, lim

ex −1

= 1.

x→0

◄ Положим t = a x −1.	Так как показательная функция непрерывна и a0 = 1, то
t → 0 , если x → 0 .	Далее, логарифмируя равенство a x = 1 + t , найдём

x = loga (1 + t) . Следовательно, в силу следствия 1.1,

lim	a x −1	= lim	t	= ln a .

x→0 x		t →0 loga (1 + t)

Второе соотношение следует из первого, если взять a = e .►

Второй замечательный предел и следствия из него используются для раскры-

тия неопределенностей вида 1∞ , ∞0 , 00 . При этом часто применяется соотношение

lim g ( x)

lim

f ( x)

g ( x)

x→a

= A

(1.11)

= lim

f ( x)

x→a

если

lim

f ( x) = A , lim g (x) = B

lim g ( x) ln f ( x) не является неопределенно-

x→a

стью.

Равенство (1.11)

следует

из основного

логарифмического тождества

f (x)g ( x) = eg ( x) ln f ( x) и непрерывности показательной функции.

Пример 1.21. Вычислить lim (1 + sin x )2/ x .

x→0

◄ Заданный предел есть неопределенность вида 1∞ . Запишем его в виде

lim (1 + sin x )2 sin x /( x sin x) = lim

((1 + sin x )1/sin x )2 sin x/ x . Теперь, используя первый

x→0

и второй замечательные пределы и равенство (1.11), вычисляем

lim 2 sin x/ x

lim (1 + sin x )

2/ x

1/sin x x→0

= e

.►

lim (1

+ sin x )

x→0

1.12. Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть функции α(x) и β( x) стремятся к нулю при x → a . Здесь a может быть и бесконечностью. Однако скорость стремления функций к нулю может быть различная. Например, ясно, что при x → 0 функция α( x) = x2 стремится к нулю быстрее, чем β( x) = sin x (см. рис. 1.19). Вместе с тем, при решении многих задач важно знать оценку скорости убывания к нулю некоторого выражения. Такую оценку можно получить, вычисляя предел отношения функций.

Определение. Если lim

α( x)

= 0 , то говорят, что

y = x2

x→a β( x)

y = sinx

функция α(x) есть

o-малое от β( x) при x → a и пи-

шут α( x) = o(β(x)) ,

x → a .

Функцию α(x) называют также бесконечно ма-

лой более высокого

порядка малости, чем β( x) при

Рис.1.19. Сравнение скоро-

сти стремления

нулю

x → a .

функций

α( x) = x2

Таким образом, x2 = o(sin x) , x → 0 . Также, на-

β( x) = sin x при x → 0 .

пример,

= o

→ ∞ .

Определение. Если

lim

α( x)

= 1, то функции α(x) и β( x) называют эквива-

x→a β( x)

лентными (асимптотически равными) при x → a и пишут α( x) ≈ β( x) , x → a .

Важные примеры эквивалентных функций получаются из замечательных пре-

делов и следствий из них:

sin x ≈ x, x → 0 ;

ex −1 ≈ x, x → 0 ; a x −1 ≈ x ln a, x → 0 ;

(1.12)

ln(1 + x) ≈ x, x → 0 ;

loga (1 + x) ≈

, x → 0 .

(1.13)

ln a

Докажем теорему о возможности замены функций на эквивалентные функции

при вычислении пределов частного и произведения функций.

Теорема 1.25. Если α( x) ≈ α1( x) , β( x) ≈ β1( x) ,

x → a , то

lim

α1(x)

= lim

α(x)

и lim α1( x)β1

( x) = lim α( x)β( x) .

x→a β1( x) x→a β( x)

x→a

◄ Докажем теорему для случая частного функций. Пусть, например, сущест-

вует lim

α( x)

. Выполняя очевидные преобразования, получаем

x→a β( x)

α ( x)

α( x)

β( x)

lim

= lim

x→a β1( x)

x→a

α( x)

β(x) β1( x)

= lim

α1( x)

lim

α( x)

lim

β(x)

= lim

α( x)

x→a α( x) x→a β( x) x→a β1( x)

x→a β(x)

т.е. предел lim

α1(x)

существует и равен lim

α( x)

x→a β1( x)

x→a β( x)

Аналогичными рассуждениями теорема доказывается для предела произведе-

ния функций.►

Пример 1.22. Вычислить lim		sin2 x (e4 x −1)
				.

	x→0 ln(1 + 2x3 )
◄ Если x → 0 , то	(см.(1.12) и		(1.13))			sin2 x ≈ x2 , e4 x −1 ≈ 4x и
ln(1 + 2x3 ) ≈ 2x3 . Поэтому
lim	sin2 x (e4 x −1)		= lim		x	2 4x	= 2 .►
	ln(1 + 2x3 )					2x3
x→0			x→0

Отметим, что замена функций на эквивалентные в сумме, разности может привести к неверному результату.

Пример 1.23. Вычислить lim 2 sin x − sin 2x . x→0 ln(1 + x3 )

◄ 2 sin x ≈ 2x и sin 2x ≈ 2x при x → 0 . Если выполнить эти замены в числи-

теле дроби, то получим, что искомый предел равен нулю. Но это неверно. В самом деле,

2 sin x 2 sin

2 x

lim

2 sin x − sin 2x

= lim

2 sin x (1 − cos x)

= lim

x→0

Теперь, выполняя замены sin x ≈ x и sin

2 x

≈

x → 0 , получаем

2x 2

lim

2 sin x − sin 2x

= lim

= 1.►

x→0

Определение. Бесконечно малая α(x) называется бесконечно малой k -го по-

рядка малости относительно бесконечно малой β( x) , x → a , если

lim α( x) = c ≠ 0 .

x→a βk ( x)

Пусть a ≠ ∞ и β( x) = x − a . Если порядок малости функции α(x) относи-

тельно x − a равен k , то α( x) ≈ c( x − a)k , x → a . Отсюда заключаем, что в окрест-

ности точки a значения и график функции α(x) хорошо приближаются значениями

и графиком степенной функции c( x − a)k .

Например, 2 sin x − sin 2x ≈ x3 , x → 0 (см. пример 1.23), то есть в окрестно-

сти нуля график функции α( x) = 2 sin x − sin 2x может быть заменен графиком ку-

бической функции x3 . Если x = 0,1 радиана ( ≈ 5, 7°) ¸ то без применения калькуля-

тора «устно» получаем 2 sin 0,1 − sin 0, 2 ≈ 0,13 = 0, 001 с погрешностью вычисления


менее 0,00001.
	Понятие эквивалентности можно ввести не только для бесконечно малых
функций.		Например,		можно	писать	2x2 + 3x + 1 ≈ 2x2 , x → ∞ , так как
lim	2x2	+ 3x + 1	= 1,	f (x) ≈ A ,	x → a ,	если lim f ( x) = A .
lim	2x2		= 1,	f (x) ≈ A ,	x → a ,	если lim f ( x) = A .
x→∞	2x2					x→a

1.13. Непрерывность функций

Рассматривая зависимость некоторой величины от другой, независимой пере-

менной, мы часто предполагаем, что малым изменениям аргумента соответствуют малые изменения функции. В таких случаях говорят, что зависимость непрерывная.

Дадим этому интуитивному представлению строгое определение.

1. Понятие непрерывности функции

Пусть функция f ( x) определена на некотором интервале, содержащем точку a , включая саму точку a .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015139.26 Кб9Java4.doc
#
05.06.20151.19 Mб12Java4.pdf
#
05.06.2015886.5 Кб13Java6.pdf
#
05.06.2015823.84 Кб11Java7.pdf
#
20.11.2018235.01 Кб4k1.doc
#
05.06.20152.02 Mб8Kalney_Limits_Continuos.pdf
#
22.09.2019273.41 Кб1keys_1_A.doc
#
21.09.2019243.71 Кб3khimia_otvety.doc
#
05.06.20152.29 Mб538KOLDAEV - Информатика Лабораторный Практикум.pdf
#
05.06.20151.22 Mб5Koll-1s-2013.doc
#
05.06.20151.15 Mб4Koll.doc