Kalney_Limits_Continuos

Определение ограниченной последовательности можно сформулировать также следующим образом: последовательность xn называется ограниченной, если суще-

ствует такое число C , что для любого номера n выполняется xn ≤ C .

21

которым могут соответствовать нулевые значения xn ). Более того, для n , больших

1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

1. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности

Последовательность αn называется бесконечно малой, если её предел равен

нулю, т.е. для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N (ε) ,

что для всех номеров n > N (ε) выполняется неравенство αn < ε .

Если xn стремится к числу a , то для любого ε > 0 найдется N (ε) такое, что

n→∞

место следующая теорема.

22

Теорема 1.6. Последовательность xn стремится к числу a тогда и только то-

гда, когда xn = a + αn , где αn – бесконечно малая последовательность.

Последовательность βn называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M > 0 найдется такой номер N (M ) , что для всех но-

меров n > N (M ) выполняется неравенство βn > M . При этом пишут

lim βn = ∞ , или βn → ∞ .

n→∞

Если βn → ∞ , то любой отрезок [−M ; M ] может содержать лишь конечное

число членов последовательности.

Если бесконечно большая последовательность, начиная с некоторого номера,

принимает только положительные (отрицательные) значения, то пи-

βn = n2 → +∞ , βn = −n3 → −∞ , βn = (−1)n n2 → ∞ .

Отметим, что всякая бесконечно большая последовательность является неог-

раниченной последовательностью. Вместе с тем, не всякая неограниченная последо-

бесконечно большая. Действительно, с одной стороны, последовательность неогра-

ниченная, так как не существует отрезка, который бы содержал все члены этой по-

следовательности. С другой стороны, последовательность не бесконечно большая,

так как отрезок [−1;1] содержит все члены последовательности с нечётными номе-

рами, что противоречит определению бесконечно большой величины.

Из определений бесконечно малой и бесконечно большой последовательно-

стей следует, что 1 будет бесконечно большой последовательностью, если αn

αn

23

2. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

Теорема 1.7. Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно

малая последовательность.

◄Пусть αn → 0 и γn → 0 . Нужно доказать, что для всякого ε > 0 существует

N0 (ε) = max {N1(ε), N2 (ε)}. Так как модуль суммы действительных чисел не боль-

ше суммы модулей этих чисел, то для всех n > N0 (ε) будет выполняться неравенст-

во

Теорема 1.8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограни-

ченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

◄Пусть αn → 0 , а последовательность xn ограничена. Нужно доказать, что для всякого ε > 0 существует такой номер N (ε) , что всех n > N (ε) выполняется не-

24

из теоремы 1.8 как следствие заключаем, что произведение бесконечно малых по-

следовательностей также есть бесконечно малая последовательность. Впрочем, это легко доказать и без обращения к теореме 1.8.

Аналогично теореме 1.8 доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.9. Если βn → ∞ и существует число c > 0 такое, что xn ≥ c для

всех n , больших некоторого номера k , то произведение βn xn → ∞ .

Коротко теорему 1.9 можно сформулировать так: произведение бесконечно большой последовательности на последовательность, отделённую от нуля, есть бес-

конечно большая последовательность.

Приведём два примера на использование доказанных теорем для вычисления

пределов последовательностей.

Пример 1.8. Последовательность sin n → 0 , так как 1 → 0 (см. пример 1.6), а

Пример 1.9. lim (2 + cos 3n) n2 → ∞ , так как n2 → ∞ , а 2 + cos 3n ≥ 1 для n→∞

любых n , т.е. последовательность 2 + cos 3n отделена от нуля.

1.6. Арифметические действия над сходящимися последовательностями.

Выше (см. пример 1.6), используя определение предела последовательности,

было доказано, что предел x = 1 равен 0. Однако для последовательности, задан-

ной более сложной формулой, доказательство на основе определения предела по-

следовательности, что какое-то число есть предел последовательности, является не-

25

простой задачей. Например, попробуйте доказать, пользуясь определением предела,

Поэтому естественно попытаться обосновать некоторые правила, позволяю-

щие свести задачу вычисления предела последовательности к фактам существова-

ния и знания значений предела лишь нескольких последовательностей.

венно, суммой, разностью, произведением и частным заданных последовательно-

стей. В случае частного предполагается, что yn ≠ 0 для всех n = 1, 2, 3,...

Теорема 1.10. Пусть xn и yn сходящиеся последовательности. Тогда их сум-

ма, разность, произведение и частное также являются сходящимися последователь-

ностями и верны равенства

◄Докажем теорему для случая частного последовательностей. Для случаев

суммы, разности и произведения рассуждения аналогичны и даже проще. Пусть

В силу теорем 1.7 и 1.8 последовательность αnb − βn a → 0 . Так как lim yn = b ≠ 0 , n→∞

то последовательность 1 ограничена (см. замечание к теореме 1.5). Поэтому про- ynb

26

изведение (αnb − βna ) 1 есть бесконечно малая последовательность и, значит, ynb

xn → a . ► yn b

◄ Последовательности 2n3 + 4n + 7 и n3 + n2 + 1не являются сходящимися.

Поэтому сразу применить свойство о пределе частного нельзя. Преобразуем дробь,

Так как ранее было доказано, что 1 → 0 , то, применив свойства бесконечно малых, n

без всякой дополнительной информации о поведении xn и yn . Если b = 0 , a ≠ 0 , то

27

из свойств бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей также

сразу получаем xn → ∞ . yn

Если же a = b = 0 , то невозможно сразу, как выше, сделать вывод о существо-

вании предела частного последовательностей и его значении. Например,

выражения (или доказать, что он не существует), используя сведения о характере изменения последовательностей, входящих в выражение (например, знание формул общих членов последовательностей). Часто это не просто и требует большой изо-

бретательности.

Пример 1.11. Вычислить lim (n + 4 − n ).

при n → +∞ . Значит, lim (n + 4 − n )= 0 .►

n→∞

1.8. Существование предела последовательности.

Пусть задана произвольная последовательность. Рассмотрим следующий важ-

ный вопрос: при каких условиях на поведение членов последовательности она будет иметь конечный предел?

Из теоремы 1.6 следует, что если заданную последовательность zn «зажать» между двумя последовательностями xn и yn , сходящимися к одному и тому же числу, то последовательность zn будет также сходящейся.

Сформулируем еще два утверждения о существовании предела последова-

тельности. Доказательство этих утверждений можно изучить в более полных курсах математического анализа.

1. Предел монотонной последовательности

Определение. Последовательность xn называется возрастающей (неубы-

вающей), если xn < xn+1 ( xn ≤ xn+1 ) для любого n = 1, 2, 3,...

Определение. Последовательность xn называется убывающей (невозрас-

тающей), если xn > xn+1 ( xn ≥ xn+1 ) для любого n = 1, 2, 3,...

Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последователь-

ности называются монотонными.

1 Например, последовательность убывающая, последовательность

n

{[log2 n]} = {0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3,...} – неубывающая (напомним, [x] обозначает целую часть числа x , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x ).

Теорема 1.11. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ог-

раничена сверху (снизу), то она имеет предел.

29

Из данной теоремы и теоремы 1.4 следует, что для монотонных последова-

тельностей ограниченность является необходимым и достаточным условием её сходимости.

Хотя теорема 1.11 только утверждает существование предела у монотонной ограниченной последовательности, в ряде случаев зная, что предел последователь-

ности существует, легко его и вычислить.

для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдётся такой номер N (ε) , что для всех номеров n, m > N (ε) выполняется неравенство

xn − xm < ε .

Фундаментальную последовательность называют также последовательностью,

удовлетворяющей условию Коши.

Теорема 1.12. (Критерий Коши существования предела). Для того чтобы по-

следовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она бы-

ла фундаментальной.

Таким образом, всякая сходящаяся последовательность является примером фундаментальной последовательности, а всякая расходящаяся – нефундаменталь-

ной.

30