- •Введение
- •Пзс устройства функциональной электроники
- •Лазерные и световые диоды
- •Оптические волокна
- •Датчики физических величин
- •Уравнения Максвелла
- •Темп генерации электронно-дырочных пар в объеме полупроводника
- •Интерференция света в тонких пленках
- •Интерференционные слои
- •Электрические функциональные свойства материалов
- •Теория Друде-Зоммерфельда
Электрические функциональные свойства материалов
Теоретический подход для объяснения высокой электропроводности металлов впервые рассмотрел П. Друде в 1900 г. через три года после открытия электрона Дж. Дж. Томпсоном. Друде применил кинетическую теорию газов пытаясь электрические и тепловые свойства металлов. Основными предположениями его теории служили:
-
Приближение независимых и свободных электронов. Между столкновениями электронов друг с другом или ионами металла электроны не взаимодействуют между собой, двигаясь в соответствии с законами Ньютона при наличии электрического поля внутри металла. Это приближение удивительным образом очень хорошо выполняется на практике при объяснении большинства электрических или тепловых эффектов, связанных с электро- или теплопроводностью металлических образцов.
-
Рассеяние электронов является единственной причиной, вызывающей отклонение электронной подсистемы от равновесного распределения Максвелла-Больцмана. К сожалению, это предположение является ложным, особенно при рассмотрении эффектов теплопроводности металлов. Согласно модели вклад каждого электрона в теплопередачу должен быть равным (3/2)kB, что не наблюдается в эксперименте. Коррекция теории была произведена через 25 лет, после рассмотрения явления с использованием квантово-механической теории.
Теория Друде-Зоммерфельда
В этой полуклассической теории вводится принцип исключения Паули для определения распределения скоростей электронов в металле; затем это распределение применяется к классической теории Друде.
Гамильтониан свободных электронов записывается в виде
, (64)
.
Решением (64) являются плоские волны Ψk соответствующие каждому собственному значению оператора импульса:
. (65)
Для ограниченного кристалла накладываются периодические граничные условия, так что
,
т.е. в k-пространстве одному состоянию соответствует объем (2π/L)3. Волновую функцию можно нормировать на этот объем
. (66)
При этом, применяются статистики Ферми, которые учитывают принцип Паули, который исключает существование двух электронов в одном квантовом состоянии. Электроны обладают спином ½ (в ћ-терминах) и антисимметричны, поэтому каждое k-состояние соответствует двум частицам с противоположными спинами. Состояния заполняются по мере увеличения энергии, так что при T=0 вплоть до уровня Ферми. Можно подсчитать объем в k-пространстве, который соответствует
. (67)
Обратная величина
дает типичное расстояние между электронами (kF-1≈ несколько Å). Зная kF, можно найти энергию Ферми, EF
. (68)
Можно подсчитать также скорость электронов, соответствующей энергии Ферми:
. (69)
Здесь предполагается, что все электронные состояния вплоть до энергии Ферми заполнены электронами. При конечных температурах электроны из более низких по отношению к энергии Ферми состояний могут переходить в более высокие состояния. Вероятность того, что состояние k заполнено электроном определяется функцией распределения Ферми, т.е. дает вероятность того, сколько электронов находится в состоянии k
, (69)
где μ=EF.
В случае конечных температур μ определяется из соотношения
. (70)
Энергетические состояния электронов в разрешенных зонах кристалла
В идеальном кристалле атомы периодически расположены в пространстве. Такое расположение означает, что при смещении кристалла на вектор
, (71)
где a1, a2, a3 – векторы периодов идентичности решетки по трем произвольным направлениям, а n1, n2, n3 – произвольные целые числа, кристалл совмещается сам с собой. Из этого следует, что точка, имеющая радиус-вектор r и точка, имеющая радиус-вектор r+an физически эквивалентны между собой, поэтому потенциальное поле кристалла
(72)
также периодически повторяется в кристаллической решетке.
Соотношение (П2) выражает условие периодичности потенциального поля кристалла. В кристаллическом поле волновая функция электрона Ψ(r) (если она не вырождена) может отличаться от волновой функции в Ψ(r+an) только постоянным множителем
. (73)
Но из условия нормировки волновой функции следует, что
, (74)
поэтому можно положить, что
, (75)
т.к.
, (76)
откуда
, (77)
где
(78)
также периодическая функция.
Т.о., стационарная волновая функция электрона в периодическом поле кристалла зависит от волнового вектора k и имеет вид:
, (79)
где множитель eikr представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении вектора k, а Uk(r) – некая периодическая координатная функция в выделенном направлении волнового числа.
Соответственно, решением уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла является бегущая плоская волна в выделенном направлении, модулированная с периодичностью решетки, а энергия электрона зависит от волнового вектора k.
Граничные условия задачи накладывают дополнительные ограничения на возможные значения вектора k. Можно предполагать, что условия на границах кристалла с размерами, существенно превышающими размер элементарной ячейки, не отразятся на его физических свойствах. Наиболее удобным представлением в этом случае являются циклические условия Борна-Кармана.
Пусть кристалл имеет форму параллелепипеда с размерами по осям x, y, z соответствующими Lx, Ly, Lz. Для кубической решетки с параметром a соответствующие размеры равняются
, (80)
где Nx, Ny, Nz – число атомов, укладывающихся на соответствующих ребрах кристалла.
Потребуем, чтобы волновая функция Ψ имела на противоположных гранях параллелепипеда одно и то же значение
. (81)
Учитывая вид волновой функции для кристаллов, получаем:
. (82)
Для выполнения условия (П12) необходимо принять
. (83)
Это равенство выполняется, если показатель экспоненты есть целое число, умноженное на 2πi, т.е.
, (84)
где n1=0, ±1, ±2, …; n2=0, ±1, ±2, …; n3=0, ±1, ±2 ….
Т.о. компоненты волнового вектора k изменяется не непрерывно, а принимают ряд дискретных значений. В соответствии с этим оказывается квантованной и энергия электронов в разрешенной зоне.
С учетом значений волнового вектора k можно записать волновую функцию электрона в периодическом потенциальном поле кристалла. В одномерном случае волновую функцию электрона можно записать в виде линейной комбинации атомных волновых функций Ψg
, (85)
где применяется теорема Блоха и ag=R, где R – радиус-вектор, g – номер атомного узла, т.е. целое число, а Lx=aNx.
Из (П15) видно, что волновая функция при n1=±Nx будет Ψg и совпадает с волновой функцией при n1=±1 и т.д. Это означает, что компоненты kx имеют Nx значений, соответствующие различным n1. При этом n1 могут принимать 0, 1, 2 … (Nx-1), т.к. E(k)=-E(k), т.е. n1 меняется только в пределах
или . (86)
Аналогично
, (87)
где kx, ky, kz принимают соответственно Nx, Ny, Nz различных значений.
Следовательно, в разрешенной зоне кристалла имеется всего N=NxNyNz=(LxLyLz)/a3 различных энергетических состояний (энергетических уровней), соответствующих различным k, равное числу элементарных ячеек в кристалле.
Состояние электрона в атоме характеризуется главным квантовым числом, азимутальным квантовым числом l, магнитным квантовым числом m и спиновой ориентацией sz. Состояние электрона в кристалле согласно принципу Паули также должно описываться четырьмя квантовыми числами. Как следует из (П17), тремя квантовыми числами являются проекции волнового вектора kx, ky, kz, а четвертым квантовым числом должно быть sz, которое принимает только два значения: +1/2 и -1/2. Это означает, что в состоянии (kx,ky,kz) может быть не более двух электронов. Но набор (kx,ky,kz) определяет энергию электрона E(k) для рассматриваемой зоны. Следовательно, на каждом энергетическом уровне зоны, который определяется волновым вектором k в соответствии с принципом Паули может находится не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Т.о., в простой энергетической зоне, возникшей из невырожденного атомного уровня, имеется 2N квантовых состояний, соответствующих N энергетическим уровням и в зоне может быть не более 2N электронов. Если зона g-кратно вырождена, то в ней может быть 2gN электронов. Число квантовых состояний в зоне равно общему числу мест на уровнях изолированных атомов, из которых образовались эти зоны, т.е. имеет место сохранение числа состояний при образовании кристалла из атомов.
Поэтому в энергетической зоне кристалла имеется N энергетических состояний, которым соответствуют значения компонент волнового вектора
(88)
и компонент квазиимпульса
, (89)
где i=x, y, z, а j=1, 2, 3.
Для кристалла с простой кубической решеткой изменение компонент волнового числа и импульса лежит в пределах
. (90)
Этим значениям квазиимпульса в системе координат (px, py, pz) , будет соответствовать некоторая область, построенная вокруг начала координат и содержащая все возможные состояния электронов. Эта область называется первой, или основной, зоной Бриллюэна.
Для кристалла с простой кубической решеткой первая зона Бриллюэна для кристалла с кубической решеткой также является кубом, объем которого
. (91)
В k-пространстве первая зона Бриллюэна для кристалла с кубической решеткой также является кубом, объем которого
. (92)
Первую зону Бриллюэна можно разбить на элементарные кубические ячейки объемом
, (93)
где V=L3=a3NxNyNz=a3N – объем кристалла, а N=NxNyNz – полное число элементарных ячеек в кристалле.
Аоскольку объеи первой зоны Бриллюэнадля кристаллов с простой кубической решетки равен (h/a)3, а объем элементарной ячейки равен h3/a3N, то число элементарных ячеек в ней составляет N, т.е. равно количеству энергетических состояний в зоне. Но в энергетической зоне могут располагаться 2N электронов, а в ее каждой ячейке может находиться только два электрона с противоположно направленными спинами.
Пусть в кристалле единичного объема в интервале энергий от E до E+dE имеется dz квантовых состояний (с учетом спина). Можно обозначить через N(E) плотность состояний, т.е. число квантовых состояний в единичном интервале энергии для единичного объема кристалла как
. (94)
Если вероятность заполнения состояний с энергией E равна f(E,T), то число электронов dn, находящихся в состояниях dz составляет величину
. (95)
Соответственно полное число электронов, для которых возможный интервал энергии лежит в пределах от E1 до E2, будет равно:
. (96)
Энергия электронов у дна зоны проводимости может быть записана в виде
, (97)
где Ec=E(p0) – энергия электронов у дна зоны проводимости, m* - эффективная масса электрона.
Если выделить шаровой, заключенный между двумя изоэнергетическими поверхностями, соответствующими E(p)=const и E(p)+dE=const, то объем этого слоя составит величину
, (98)
где p=IpI – модуль импульса электрона.
Объем элементарной ячейки зоны Бриллюэна кристалла единичного объема в p-пространстве равен h3. В каждой ячейке могут находиться два электрона с противоположно направленными спинами. Поэтому число состояний в объеме dVp равно:
. (99)
Используя равенство (П26) имеем:
(100)
и
. (101)
Подставив равенства (П27), (П29) и (П30) в (П23) получается выражение для плотности квантовых состояний у дна зоны проводимости, обладающей сферической симметрией:
. (102)
Совершенно аналогично, зависимость энергии дырок от их импульса вблизи потолка валентной зоны имеет вид
, (103)
где Ev – энергия дырки у потолка валентной зоны, mp* - эффективная масса дырок.
Совершенно аналогично, плотность энергетических состояний дырок вблизи потолка валентной зоны имеет вид:
. (104)
Поглощение света в полупроводниках
рис.9. Представление энергетических зон в k-пространстве и координатном пространстве.