Уравнения Максвелла

Как известно, теория распространения электромагнитных волн в среде основывается на уравнениях Максвелла, которые для случая, когда отсутствуют объемные заряды и сторонние источники электромагнитного поля, записываются в виде

(6)

(7)

(8)

. (9)

В этих уравнениях σ – удельная проводимость вещества при заданной частоте электромагнитных волн; μ, μ₀ – магнитная проницаемость среды и вакуума, а ε, ε₀ – диэлектрическая постоянная среды и вакуума соответственно (в системе SI).

Из уравнений (5)-(9) следует:

. (10)

С другой стороны, учитывая (7), имеем:

. (11)

Следовательно,

. (12)

Пусть электромагнитная волна, амплитуда которой меняется по гармоническому закону, распространяется в немагнитной среде (μ=1) вдоль направления x со скоростью v. В этом случая выражение (12) преобразуется к виду

, (13)

где k₀=ω/c=2π/λ – волновое число электромагнитной волны в вакууме, k=k₀n - волновое число электромагнитной волны в среде, λ – длина электромагнитной волны в вакууме.

В свою очередь комплексный показатель преломления среды n имеет вид:

. (14)

Для этого случая одним из решений уравнения (13) будет

, (15)

а другое решение представляет собой комплексно сопряженное выражение для уравнения (15).

В случае, когда σ=0, а μ=ε=1, n=1. Т.е., показатель преломления вакуума равен 1. Здесь предполагается, что проводимость вакуума равна 0.

В общем случае, при произвольном направлении распространении электромагнитной волны в направлении r, относительно выбранной неподвижной системы координат, выражение (15) преобразуется к виду

, (16)

где вектор к=k_xi+k_yj+k_zk представляет собой волновое число полностью анизотропной среды. При этом n_x=(μ_xε_x(1-iσ_x/ε_xε₀ω))^1/2 и т.д.

В случае изотропной среды (k_x=k_y=k_z=k) при распространении электромагнитной волны в произвольном направлении имеем изотропное волновое число k=ki+kj+kk, где

, (17)

где i, j, k – единичные орты выбранной прямоугольной системы координат.

Реально в процессе распространения электромагнитной волны происходит перенос электромагнитной энергии, которая, в конечном счете, и регистрируется тем или иным (в нашем случае полупроводниковым) устройством.

Представим показатель преломления n в виде

, (18)

где N – действительная часть показателя преломления, χ – мнимая часть.

Возводя (18) в квадрат, получаем

. (19)

Отделяя действительные и мнимые части, получаем два уравнения:

. (20)

С учетом соотношения (20), выражение (16) переписывается в виде:

. (21)

Электромагнитная энергия всегда пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического или магнитного поля. Комплексно сопряженная компонента выражения (21) имеет вид:

. (22)

Помножая (22) на (21), имеем

, (23)

где E₀² – по смыслу, квадрат амплитуды электрического поля при x=0. Поэтому отношение

, (24)

представляет собой ослабление потока электромагнитной энергии в объеме материала, где α=2k₀χ =4πχ/λ– коэффициент поглощения световой волны. Это означает, что электромагнитная волна затухает по мере ее распространения вглубь образца, при этом выражение (24) представляет собой не что иное, как закон Бугера-Ламберта-Бера, полученный теоретическим путем.

Совершенно аналогичные выражения имеют место для магнитной составляющей напряженности электромагнитного поля, распространяющегося в среде с комплексным показателем преломления n.

Вектор магнитного поля является соленоидальным и его дивергенция равна нулю. Поэтому всегда можно положить

, (25)

где вспомогательный вектор A получил название вектора-потенциала. Выражение будет автоматически выполняться, поскольку при любом A(r) имеет место

. (26)

Подстановка (25) в (7) дает

, (27)

или

. (28)

Последнее уравнение показывает, что вектор является потенциальным вектором, т.е. может быть представлен в виде

,

где ϕ – скалярная функция координат и времени, которая называется скалярным вектором-потенциалом.

В отличие от электростатики, вектор, имеющий вихревой характер не может быть представлен в градиента какого-либо потенциала, но его можно выразить в виде суммы скалярного и векторного потенциала по формуле

. (29)

100 лет назад Лоренц заметил, что электромагнитные поля остаются инвариантными (E’=E, H’=H) под действием, так называемых калибровочных преобразований

и . (30)

Поскольку ротор градиента любой функции тождественно обращается в нуль, то магнитное поле при калибровочном преобразовании не меняется. При этом и электрическое поле тоже не меняется

. (31)

Учитывая эту неопределенность, на потенциалы всегда можно наложить некоторые дополнительные условия. При исследовании электромагнитных волн одно из условий выбирается в виде (калибровка Вейля)

. (32)

Тогда

. (33)

Подставляя эти выражения в первое уравнения Максвелла (при σ=0), получаем

. (34)

Несмотря на то, что уже было наложено одно дополнительное условие на потенциалы, потенциал A все еще не вполне однозначен. К нему можно прибавить градиент любой не зависящей от времени функции. В частности, для исследования электромагнитных волн векторный потенциал A всегда можно выбрать таким образом, чтобы

. (35)

Выражение (35) называется кулоновской (или радиационной) калибровкой.

Используя (35), выражение (34) преобразуется в волновое уравнение, которое имеет специальное название уравнения Д’Аламбера.

. (36)