- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •1.2 Распространение ошибок округления в арифметических операциях.
- •1.7.2. Простейшие свойства многочленов Чебышева.
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурные формулы на основе интерполяции. Формулы для коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формулы теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеций и Симпсона
- •15. Теоретические оценки погрешности обобщенных формул трапеций и Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов Лежандра на каноническом отрезке [-1,1].
- •2. Покажем, что - неподвижная точка. Из сходимостиследует, т.Е.
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы – общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Определение числа обусловленности.
- •28. Метод итераций для слау второго рода. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости (теорема о необх. И достат. Условиях сходимости).
- •30. Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау первого рода к системе второго рода.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Организация алгоритма.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теоремы об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановки задачи в одномерном случае для первой и второй производной. Сведение к системе уравнений с первой производной.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод “предиктор – корректор” и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для оду 2-го порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод “стрельбы” решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду 2-го порядка.
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •10. Среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов в регрессионном анализе. Вывод уравнения прямой регрессии.
26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
Пусть - вектор-столбец,. Приведем некоторые известные нормы векторов:
1. - эклидова норма вектора;
2. - так называемая-норма, или норма Гильберта-Шмидта (при совпадает с эвклидовой нормой, а присовпадает с так называемой 1-нормой).
3. -чебышевская норма.
Все эти нормы в эквивалентны: сходимость в одной из этих норм влечет за собой сходимость в другой (следствие конечности).
Перейдем к понятию матричной нормы. Пусть - множество квадратных вещественных матриц порядка. Пусть каждой матрицепоставлено в соответствие число. Это число называетсянормой матрицы A, если выполняются следующие аксиомы:
1. ;
2. ;
3. - неравенство треугольника;
4. - кольцевое свойство.
Определение 1. Норма называетсямультипликативной, если выполняются все четыре аксиомы, и аддитивной, если выполняются только первые три аксиомы.
Определение 2. Если матричная норма удовлетворяет условию
, где , |
(1) |
то такая норма называется согласованной с нормой вектора.
Большинство используемых в численном анализе матричных норм согласованы с той или иной векторной нормой.
Определим некоторые наиболее употребительные на практике матричные нормы.
-
- евклидова норма или норма Фробениуса
-
- спектральная норма
где - собственные значения симметричной матрицы(сингулярные числа матрицыА). Обе указанные нормы согласованы с эвклидовой нормой вектора .
-
- столбцовая норма (norm(a,1)). (Согласована с векторной нормой ).
-
- строчная норма (norm(a,inf)). (Согласована с ).
Замечание. Из всех приведенных матричных норм, согласованных с евклидовой нормой вектора, спектральная норма принимает минимальное значение.
Определение 3. Число (вообще говоря, комплексное) называется собственным значением матрицы А, соответствующим собственному вектору x, если выполняется условие:
. |
(20) |
Определение 4. Множество всех собственных чисел матрицы А , записанных с учетом их кратности, называетсяспектром матрицы А и обозначается S(A).
Определение 5. Спектральным радиусом r(A) квадратной матрицы А называется максимальное по модулю собственное значение матрицы A.
Определение 6. Сингулярным числом матрицыА называется собственное значение матрицы .
Определение 7. Матрица А называется положительно (неотрицательно) определенной (пишут: или ), если соответствующая квадратичная форма
.
Простейшие следствия из определений.
Следствие 1. (Критерий Сильвестра). все ведущие угловые миноры матрицыА положительны. доказывается в курсе линейной алгебры
Следствие 2. , причем.
следует из критерия Сильвестра.
Следствие 3. все собственные значения. (Для).
Пусть - собственное значение, соответствующее собственному векторуv. По условию
.
Следствие 4. Пусть А – вещественная матрица матрица.
Имеем: {по свойству скалярного произведения}.
Следствие 5. Сингулярные числа вещественной матрицы А – неотрицательны.
Следует из С.3 и С.4.
Следствие 6. Пусть А – вещественная и симметрическая матрица .
Имеем: .
Следствие 7. Если А – невырожденная матрица собственные значения матрицА и A-1 взаимообратны.
Пусть результат.