Лабораторная работа 1

Моделирование электростатических полей

в электролитической ванне

Цель работы. Исследование электростатического поля, создаваемого электродами различной формы методом моделирования полей в электролитической ванне.

Приборы и оборудование.Ванна с электродами, частично заполненная водой, источник питания, цифровой вольтметр.

Теоретическая часть

При конструировании электронных ламп, фокусирующих систем, конденсаторов и других приборов часто требуется знать распределение электрического поля в пространстве, заключенном между электродами сложной формы. Непосредственно измерить потенциалы точек электростатического поля, помещая в них зонды, довольно трудно, потому что на зондах индуцируются заряды, что приводит к искажению исследуемого поля. Кроме того, часто интерес представляют поля в электронных приборах малых размеров, где разместить зонды практически невозможно.

Метод моделирования электростатического поля в электролитической ванне позволяет решить указанную задачу. Измерения в электролитической ванне проводят с помощью электродов, форма которых воспроизводит объект (то есть электроды реального прибора) в некотором масштабе, чаще всего увеличенном. Электроды располагают друг относительно друга так же, как они расположены в моделируемом приборе. На них подают потенциалы равные или пропорциональные потенциалам соответствующих электродов объекта. При этом между электродами образуется электрическое поле, которое в каждой точке пространства отличается от исследуемого одним и тем же масштабным коэффициентом.

Заполним теперь пространство между электродами слабо проводящей жидкостью, например водой. Замена непроводящей среды на проводящую может, вообще говоря, изменить распределение электрического поля. Выясним условия, необходимые для того, чтобы такого изменения не произошло.

Распределение электрического поля в пространстве определяется дифференциальными уравнениями в частных производных (уравнениями Максвелла), решения которых зависят как от формы электродов, так и от граничных условий. Можно показать (см. Приложение 1), что форма уравнений от замены непроводящей среды на проводящую не меняется, так что главное внимание должно быть обращено на граничные условия.

Если проводимость среды значительно меньше проводимости материала, из которого изготовлены электроды, то, как и в электростатике, потенциалы в разных точках каждого электрода будут практически одинаковы. Поэтому граничные условия на электродах в случае, когда среда совсем не проводит тока, и в случае слабо проводящей среды совпадут: будут заданы потенциалы электродов.

При погружении электродов в жидкость кроме граничных условий на самих электродах необходимо задать граничные условия на поверхности жидкости, на стенках и на дне сосуда. Проще всего обстоит дело, когда стенки сосуда и поверхность жидкости настолько удалены от изучаемой области, что не оказывают влияния на распределение электрического потенциала. Тогда граничные условия в электролитической ванне полностью соответствуют условиям объекта, и распределение потенциала воспроизводится наилучшим образом.

Рассмотрим теперь случай, когда одна из поверхностей жидкости (например, верхняя) находится вблизи от электродов. Граничные условия на поверхности жидкости и воздуха определяются тем, что электрический ток не может идти перпендикулярно этой поверхности (из проводящей жидкости в непроводящий воздух). Так как плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля , то в жидкости установится такое распределение потенциала, при котором векторне имеет составляющих, перпендикулярных поверхности. В электролитической ванне, следовательно, можно без искажений моделировать только такие поля, которые не имеют составляющих, перпендикулярных той плоскости, где будет проходить поверхность жидкости. Это же требование в принципе должно выполняться на дне и на стенках ванны. Стенки , впрочем, обычно находятся достаточно далеко от исследуемого объема, так что их влияние можно не учитывать.

Рис. I. Электроды в проводящей среде.

Итак, среда должна быть слабо проводящей, стенки ванны должны быть далеко от исследуемого объема, поверхность жидкости и дно ванны должны совпадать с поверхностями вдоль которых направлен вектор исследуемого поля. Последнее условие легко выполнить для плоских полей, то есть полей, не зависящих от какой-нибудь декартовой координаты, напримерz. Такие поля создают, например, длинные электроды цилиндрической формы, вытянутые в направлении оси z (рис.1). При выполнении указанных выше условий распределение поля в электролитической ванне с достаточной точностью воспроизводит распределение поля в непроводящей среде при том же расположении электродов.

Измерить поле в проводящей среде существенно проще, чем в непроводящей. Для этого в жидкость вводят зонд – тонкую металлическую проволоку, и измеряют разность потенциалов между зондом и одним из электродов. Помещая зонд в различные точки исследуемого поля, получают распределение потенциалов в этом поле.

Введение в жидкость металлического зонда, вообще говоря, изменяет распределение поля в жидкости, так как вдоль зонда принудительно устанавливается одинаковый электрический потенциал. Измерительный зонд поэтому не вызывают искажений лишь в том случае, если он располагается вдоль линии, которая и до внесения зонда обладала одинаковым потенциалом. Особенно удобно исследовать с помощью зондов плоские поля: зонд, расположенный параллельно оси z (рис. 1), в этом случае заведомо не искажает распределения электрического поля.

Небольшие искажения поля всегда происходят из-за того, что зонд не может быть сделан бесконечно тонким. Влияние толщины зонда зависит от соотношения между его диаметром и шириной области, на протяжении которой происходит существенное изменение потенциала электрического поля. Обычно искажения, связанные с размерами зонда, оказываются незначительными.

Измерения в электролитической ванне лучше проводить, используя для питания источники переменного тока, так как при работе с постоянным током будет происходить электролиз, и пузырьки газа, осаждаясь на электродах, будут искажать исследуемое поле. Если частота переменного тока достаточно низкая (обычно 50 Гц), то распределение потенциала в каждый момент времени не отличается сколько-нибудь заметно от стационарного.

В работе используются две пары цилиндрических электродов. Рассмотрим поля, создаваемые ими.

Поле двух разноименно заряженных стержней.

Модуль напряженности электрического поля, созданного бесконечно длинным равномерно заряженным стержнем на расстоянии r > a от его оси (a - радиус стержня) в однородном диэлектрике, определяется формулой

, (1)

где  -линейная плотность заряда стержня, - электрическая постоянная,- диэлектрическая проницаемость (эту формулу можно получить, воспользовавшись теоремой Гаусса).

Найдем модуль напряженности поля, созданного двумя такими параллельными стержнями, расположенными на расстоянии 2l друг от друга, один из которых заряжен с линейной плотностью (+), а другой - (-). Проще всего это сделать для точек, расположенных на осях симметрии. Так для точек, расположенных на оси Оy (рис.2), получим

, (2)

где

(3)

- модуль напряженности электрического поля в начале координат.

Рис.2. Напряженность поля на оси симметрии двух разноименно заряженных стержней

Несколько сложнее найти модуль напряженности поля в произвольной точке. В этом случае поле удобно выразить через расстояния r₁, r₂ , задающие положение точки, в которой определяется поле:

. (4)

(см. рисунок и вывод этой формулы в Приложении 2). Нетрудно показать, что из этой формулы следует и частный результат (2). Заметим, что при выводе формул (2) - (4) предполагалось, что расстояние между стержнями 2l >> a и, следовательно, заряд по поверхностям стержней распределен практически равномерно.

Поле цилиндрического конденсатора

Поле в конденсаторе, образованном двумя коаксиальными (имеющими общую ось) цилиндрами, описывается выражением (1). Полагая потенциал внешнего цилиндра (радиуса b) равным нулю, найдем потенциал в точке, расположенной на расстоянии от оси:

. (5)