Методичка_Кратные_инт

стр.

Введение

4

1. Двойные и тройные интегралы

4

1.1

Двойной интеграл

4

1.1.1 Двойной интеграл и его приложения

4

1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле

8

1.1.3 Примеры решения задач

10

1.2

Тройной интеграл

12

1.2.1 Тройной интеграл и его приложения

12

1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле

15

1.2.3 Примеры решения задач

18

2. Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода

20

2.1

Криволинейные интегралы первого рода

20

2.2

Примеры решения задач

22

2.3

Поверхностные интегралы первого рода

23

2.4

Примеры решения задач

25

3. Варианты заданий

27

каждой части Dk возьмем произвольную точку

Mk xk , yk , вычислим значение

f xk , yk , k 1,..,n и составим сумму

n

f xk , yk sk ,

(1.1)

k 1

где sk ― площадь Dk .

точек Mk .

Диаметром ограниченного множества

D назовем точную верхнюю грань

расстояний

между

двумя

произвольными

точками

этого

множества:

sup M , M .

M , M D

Пусть d k ― диаметр Dk ,

k 1,..., n,

d max dk .

1 k n

Если существует предел интегральной суммы (1.1) при d 0

n , не

зависящий от способа дробления области

D на части

Dk и выбора точек

Mk xk , yk

в них, то он называется двойным интегралом от функции

f (x, y)

по

области D и обозначается

f (x, y) dx dy,

D

n

т. е.

lim

f xk , yk sk f

x, y dxdy,

d 0

k 1

D

(n )

а функция f (x, y) называется интегрируемой в области D .

Если

функция

f (x, y)

непрерывна

в

замкнутой

области

D , то

она

f (x, y) dx dy

(1.2)

D

численно равен объему цилиндрического тела Q с основанием D и образующей,

параллельной оси Oz, которое ограничено сверху поверхностью

z f (x, y)

(рисунок 1.1).

5

Рисунок 1.1

В частности, когда f (x, y) 1, двойной

интеграл (1.2) равен площади

S(D)

области D, т. е.

S(D) dx dy .

(1.3)

D

Физический смысл двойного интеграла: если область D ― плоская

пластинка, лежащая в плоскости xOy,

с поверхностной плотностью

(x, y)

распределения вещества, то массу пластинки находят по формуле

m (x, y) dx dy;

(1.4)

D

Mx y (x, y) dx dy,

M y x (x, y) dx dy;

(1.5)

D

D

координаты центра масс пластинки:

x

M y

, y

M

x

;

(1.6)

c

c

m

m

моменты инерции

пластинки

D

относительно осей координат и

начала

координат:

Ix

y 2 (x, y) dx dy,

I y x 2 (x, y) dx dy,

(1.7)

D

D

6

D

Область

D,

которая

определяется

неравенствами

a x b,

y1 (x) y y2 (x),

где

y y1 (x)

и y y2 (x) ― однозначные

непрерывные

функции на отрезке

a; b , называется стандартной относительно оси Oy.

Рисунок 1.2

Рисунок 1.3

Если D ― область интегрирования, стандартная относительно оси Oy,

двойной интеграл вычисляется по формуле

b

y

( x)

f (x, y) dx dy dx

2 f (x, y) dy.

(1.8)

D

a

y1 ( x)

d

x

( y)

f (x, y) dx dy dy

2 f (x, y) dx.

(1.9)

D

c

x1 ( y)

Процесс расстановки

пределов

интегрирования

для внутреннего и

x x(u, v),

y y(u, v).

(1.10)

Если между областями

D и D , лежащими в плоскостях

xOy и uOv

(рисунок 1.4), установлено

соотношениями (1.10) взаимно

однозначное

8

первого порядка в области

D и якобиан отображения в области

D не

обращается в нуль, т.е.

x

x

J (u, v)

u

v

0,

y

y

u

v

f (x, y) dx dy f x(u, v), y(u, v)

J (u, v)

du dv.

(1.11)

D

D

Рисунок 1.4

В полярных координатах формулы (1.10) имеют вид x r cos ,

y r sin .

координатами r, при условии, что полюс помещен в

начало координат и

r и формула (1.11)

полярная ось направлена вдоль оси Ox. В этом случае

J

принимает вид f (x, y) dx dy f r cos , r sin rdr d .

D

D

Рисунок 1.5

Рисунок 1.6

Для области D, ограниченной лучами, образующими с полярной осью углы

1

и 2

1 2 , и

кривыми r r1 ( )

и

r r2 ( ),

причем

r1 ( ) r2 ( ) 1; 2 (рисунок 1.5), получаем

r

( )

f (x, y) dx dy 2d

2

f r cos , r sin rdr.

(1.12)

D

1

r1 ( )

Если область D содержит начало координат (рисунок 1.6), то

2

r( )

f (x, y)dxdy d

f r cos , r sin rdr.

(1.13)

D

0

0

Формулы (1.12) и (1.13) удобно использовать при решении задач, когда

область D есть круг или часть круга.

Обобщенными полярными координатами называют переменные r и ,

связанные

с

прямоугольными

координатами

x

и

y

формулами

x ar cos ,

y br sin ,

где

r 0, 0 2 , a 0, b 0, a b.

В

этом случае

J

abr и формула (1.11) принимает вид

f (x, y)dxdy ab f ar cos , br sin rdrd .

D

D

1.1.3 Примеры решения задач

Задача 1.

Вычислить двойной интеграл (x y 2 ) dx dy

по области

D ,

D

ограниченной кривыми y x и y x 2 .

Решение.

Область

D

является

стандартной

относительно

оси

Oy

(рисунок 1.7)

10

Сводим

двойной

интеграл

к

повторному по формуле (1.8):

1

x

x y 2

dy.

(x y 2 ) dx dy dx

D

0

x2

x

1

x

2

1

x y 2 dy xy

y 3

x 2

x 3

x 6 .

x

2

3

x

2

3

3

Теперь вычисляем повторный интеграл:

1

2

2

3

1

6

x 3

x 4

x 7

1

5

x

x

x

dx

.

0

3

3

3

6

21

0

42

Задача

2.

Найти

объем

тела

Q,

ограниченного

поверхностями

z 0,

z x 2 y 2 ,

y x 2 ,

y 1.

Решение.

Данное

тело

можно

представить

в

виде

Q x, y, z : x, y D,

0 z x 2

y 2 ,

где

D ― область

на плоскости

xOy,

ограниченная кривыми y x 2

и y 1, т.е.

D x, y :

1 x 1,

x 2 y 1 .

Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела Q

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

6

88

V x

y

dx dy

dx

x

y

dy

x

1 x

1 x

dx

.

3

105

D

1

x2

1

Задача 3. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины

с плотностью (x, y) 1,

ограниченной кривыми xy 1,

xy 2,

y 2x,

x 2y

I y

x 2 dx dy.

D

Для вычисления этих интегралов удобнее

перейти к полярным координатам:

Рисунок 1.8

x r cos ,

y r sin .

Тогда изменяется от

arctg

1

до

arctg2 (рисунок 1.8), а при каждом

2

1

2

значении из отрезка 1 ; 2

переменная r изменяется от r1

( )

1

sin cos

(значение

r на кривой

xy 1,

уравнение которой в полярных координатах в

квадранте

имеет вид

r

1

)

до

r2

( )

2

( значение r на

sin cos

sin

cos

кривой xy 2). Следовательно, используя формулу (1.12), получим

2

r2

( )

1

2

r24 r14 d

I x d

r 3 sin 2

dr

sin 2

4

1

r1 ( )

1

3

2

d

3

2

arctg 2

9

tg

1 arctg

1

.

4

cos2

4

8

1

2

Аналогично получаем I

9

.

y

8