Ответы на экзаменационные вопросы 1. Аксиомы статики

Система сил, приложенная к телу или материальной точке, называется уравновешенной или эквивалентной нулю, если тело под действием этой системы находится в состоянии покоя или движения по инерции.

Не нарушая механического состояния тела, к нему можно приложить или отбросить уравновешенную систему сил.

О действии и противодействии. При всяком действии одного тела на другое со стороны другого тела имеется равное противодействие, такое же по величине, но противоположное по направлению.

О двух силах. Две силы, приложенные к одному и тому же телу, взаимно уравновешены (их действие эквивалентно нулю) тогда и только тогда, когда они равны по величине и действуют по одной прямой в противоположные стороны.

О равнодействующей. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена к той же точке и равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как сторонах.

Аксиома затвердевания. Если деформируемое тело находилось в равновесии, то оно будет находиться в равновесии и после его затвердевания[3].

Аксиома о связях. Механическое состояние системы не изменится, если освободить её от связей и приложить к точкам системы силы, равные действовавшим на них силам реакций связей.

2.Связи и их реакции  Тела в природе бывают свободными и несвободными. Тела, свобода перемещения которых ничем не ограничена, называются свободными. Тела, ограничивающие свободу перемещения других тел, называются по отношению к ним связями. 

    Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей, согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.

    Очень важно правильно расставить реакции связей, иначе написанные уравнения окажутся неверными. Ниже приведены примеры замены связей их реакциями. На рисунках 1.1–1.8 показаны примеры замены реакциями сил, расположенных в плоскости.

а – тело весом G на гладкой поверхности;

б – действие поверхности заменено реакцией – силой R;

в – в точке А связь «опорная точка» или ребро;

г – реакции направлены перпендикулярно 

опираемой или опирающейся плоскостям

Рисунок 1.1

    Реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности (рисунок 1.1). Реакция «невесомого» троса (нити, цепи, стержня) всегда направлена вдоль троса (нити, цепи, стержня) (рисунок 1.2).

а – балка висит на двух тросах;

б – действие тросов заменено силами Т1 и Т2;

в – связь «идеальный стержень»;

г – связь «идеальная нить»

Рисунок 1.2

    Шарнирно-неподвижная опора может изображаться по-разному (рисунок 1.3, а или 1.3, б). Она может быть заменена либо силой  R с углом  α  (рисунок 1.3, в), либо двумя силами, например, X_A  и  Y_A (рисунок 1.3, г).

Рисунок 1.3

    Всегда можно перейти от R  и α  к X_A  и Y_A  (и наоборот):

X_A= Rcosα;    Y_A= Rsinα;

    Шарнирно-подвижная опора (рисунок 1.4, а) допускает (в данном случае) горизонтальное перемещение и не допускает вертикальное. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности (рисунок 1.4, б).

Рисунок 1.4

    Связи шарнирно-неподвижной опоры в точке A  и шарнирно-подвижной опоры в точке B  отброшены (рисунок 1.5, б), их действие заменено силами X_A , Y_A  и R_B .

Рисунок 1.5

    Соединение стержня и втулки в плоскости (рисунок 1.6) – скользящая заделка. Отбросим втулку – получим действие на стержень силы R_D  и M_D момента.

Рисунок 1.6

    На рисунке 1.7, а изображена бискользящая заделка. В плоскости данная опора допускает поступательное перемещение стержня как по горизонтали, так и по вертикали, но препятствует повороту (в плоскости). Реакцией такой опоры будет момент M_C  (рисунок 1.7, б).

Рисунок 1.7

    Консоль (глухая или жесткая заделка) не допускает никакого перемещения детали. Реакцией такой опоры являются неизвестная по величине и направлению сила R_A  с углом  α (или X_A  и Y_A ) и момент Μ_A   (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8

    На рисунках 1.9 – 1.15 показаны примеры замены сил, расположенных в пространстве, их реакциями.

Шарнирно-неподвижная опора, или сферический шарнир (рисунок 1.9, а), заменена системой сил (рисунок 1.9, б) X_A , Y_A  и Z_A , т.е. силой, неизвестной по величине и направлению.

Рисунок 1.9

    На рисунке 1.10, а показан вал, закрепленный в опорах: в точке A  – подпятник или стакан, в точке B  – втулка или подшипник. Действие опор заменено силами  X_A , Y_A , Z_A   и  X_B , Z_B  (рисунок 1.10, б).

Рисунок 1.10

    На рисунках 1.11 и 1.12 приведены примеры замены различных связей их реакциями.

Рисунок 1.11

 

3.Сложение сходящих сил, условия равновесия Сложение сходящихся сил. Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке,

называется системой с х о д я щ и х с я с и л.

Сложить две или несколько сил - это значит заменить эти силы одной силой, им эквивалентной, т.е.

найти их равнодействующую (рис. 1.16).

ИзADC:т.к.

Найти равнодействующую можно также, построив половину параллело-грамма - треугольник сил, в котором равнодействующая является замыкающей стороной (рис. 1.17). 

Рис. 1.16 Рис. 1.17

Равнодействующая трех сил приложенных в одной точке и не лежащих в одной плоскости, равна по модулю и направлению диагонали параллелепипеда, построенного на этих трех силах (рис. 1.18). Так как , а , то получим

Равнодействующая нескольких сходящихся сил выражается по модулю и на-правлению вектором, соединяющим начальную и конечную точки ломаной ли-нии (правило силового многоугольника) (рис. 1.19).

или

Сходящиеся силы уравновешиваются в случае, если их равнодействую-щая равна нулю, т.е. многоугольник сил замкнут. Конец вектора последней си-лы совпадает с началом вектора первой силы, все силы направлены по контуру многоугольника в одну сторону 

Аналитическое условие равновесия. При R = 0 получим где- проекции сил на координатные оси. Следовательно,

Для равновесия тела при действии на него пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из координатных осей была равна нулю. 

Рис. 1.18 Рис. 1.19 Рис. 1.20

Теорема о равновесии трех непараллельных сил.

Линии действия трех непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке. К твердому телу в точках А1 , А2 , А3 приложены три непараллельные взаимно уравновешивающиеся силы , лежащие в одной плоскости. Перенесем силы и в точку О и найдем их равнодействующую. Сила будучи уравновешивающей системы сил и , равна по модулю их равнодействующей и направлена по линии ее действия в про-тивоположную сторону (рис. 1.20).  Сходящиеся силы, приложенные к самолету. Часто для качественной оценки сил, действующих на воздушное судно, их представляют в виде сходя-щихся сил. Равнодействующую сил давления воздушного потока на крыло и сил трения протекающего воздуха о его поверхность можно считать суммой двух сходящихся сил (рис. 1.21): 

где - аэродинамическая сила крыла;  - сила лобового сопротивления;  - аэродинамическая подъемная сила крыла. В виде сходящихся сил представляют часто и силы, действующие на ВС в полете. При наборе высоты, например, в упрощенную систему действующих на ВС сходящихся сил входят (рис. 1.22): - сила тяжести (вес самолета); - тяга винта (или газотурбинного двигателя); - сила лобового сопротивления самолета; - аэродинамическая подъемная сила.

Аналогичным образом упрощают систему сил, действующих на самолет и в других режимах полета.

Рис. 1.21

Рис. 1.22 Рис. 1.23

Пример 1.1. Ось колеса шасси легкого самолета крепится к фюзеляжу с помощью трех шарнирно закрепленных подкосов (рис. 1.23), оси которых пере-секаются в точке О. Ось подкоса 1 совпадает с осью колеса, подкос 2 располо-жен в горизонтальной плоскости под углом a=30 к оси первого подкоса, а подкос 3 - в вертикальной плоскости под углом b=60 На колесо действуют силы Р = 10 кН и F = 3 кН. Определить усилия в подкосах. Решение. Рассмотрим равновесие колеса. На колесо действуют две активные силы и и наложены связи - невесомые стержни 1, 2, 3. Используя аксиому освобождаемости от связей, мысленно отбрасываем связи, заменяя их действие реакциями. Выбираем оси координат так, чтобы решение задачи было наиболее простым. Составляем условия равновесия колеса, находящегося под действием пространственной системы сходящихся сил

Освобождая тело от связей, мы полагали все стержни растянутыми. Знак "минус" в полученных значениях реакций S2 и S3 означает, что в действительности они сжаты.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычисленииравнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю. 

Рисунок 1.14.1. Равновесие твердого тела под действием трех сил. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке C

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил и не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.

Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю: 

M1 + M2 + ... = 0.

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютон-метрах (Н∙м).

Рисунок 1.14.2. Силы, действующие на рычаг, и их моменты. M1 = F1 · d1 > 0;M2 = – F2 · d2 < 0. При равновесии M1 + M2 = 0

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил.

Модель. Равновесие брусков

Оба эти условия не являются достаточными для покоя.

Рисунок 1.14.3. Качение колеса по горизонтальной поверхности. Равнодействующая сила и момент сил равны нулю

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо – пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Рисунок 1.14.4. Различные виды равновесия шара на опоре. (1) – безразличное равновесие, (2) – неустойчивое равновесие, (3) – устойчивое равновесие

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Рисунок 1.14.5. Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного на осиO; точка C – центр массы диска; – сила тяжести; – упругая сила оси; d – плечо

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Рисунок 1.14.6. Падающая Пизанская башня. Точка C– центр масс, точка O – центр основания башни, CC' – вертикаль, проходящая через центр масс

4. Проекция силы на ось и плоскость Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. Рисунок 1.13):

 F_x= Fcosα;

P_x= Pcosβ= P⋅ cos90^o=0;

R_x= Rcosγ = -R⋅ cos(180^o-γ).   

Рисунок 1.13

    Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 1.13а (0 ≤ α < π/2), равной нулю, рис. 1.13б (β = π/2 ) и отрицательной, рис. 1.13в (π/2 < γ ≤ π).

    Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рисунок 1.14):

 P_z= P sinα;

P_x= (P cosα)cosβ;

Py= (P cosα)cosγ = P cosα⋅ cos(90^o-β).

5.задачи статики. Статически определяемые и неопредиляемые системы Расчёт сооружений на прочность, жёсткость и устойчивость требует определения реакций опорных связей и внутренних усилий в характерных сечениях их элементов. В статически неопределимых системах эту задачу, привлекая только условия равновесия, решить невозможно. Это было показано в сопротивлении материалов, где для расчёта отдельных статически неопределимых стержней, работающих на растяжение–сжатие, кручение, изгиб, использовалась группа соотношений, включающая в себя уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения.

Статически неопределимой называют такую систему, ко­торая не может быть рассчитана по методу сечений с использова­нием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лиш­ними связями. В качествелишних следует принимать те связи, которые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превра­тить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую систему.

Главной особенностью статически неопределимых систем является наличие лишних связей в их структуре. Лишние связи сооружений можно удалять, не нарушая их геометрической неизменяемости. Например, удалением опорных вертикальных связей В и С неразрезная балка преобразуется в консольный стержень, введением цилиндрических шарниров K и L – в статически определимую двухпролётную составную балку (рис. 6.1,а). Удалив из статически неопределимой фермы стержень 14 или 34, получим два варианта статически определимой шарнирно-стержневой системы с простой структурой (рис. 6.1,б). Статически неопределимая двухшарнирнаярама после удаления горизонтальной связи опоры В превращается в ломаный стержень, прикреплённый к диску "земля" шарниром А и вертикальной связью, ось которой  не проходит через шарнир А.  Введением цилиндрического шарнира С эта же рама преобразуется в статически определимую трёхшарнирную раму (рис. 6.1,в).

Рис.6.1

 

Особенностью всех лишних связей, удалённых из статически неопределимых систем, показанных слева на рис. 6.1, является то, что реакции в них от внешних  воздействий с помощью уравнений статики определить нельзя. Эти связи называются условно необходимыми. Вместе с тем, в составе рассмотренных сооружений имеются связи, усилия в которых определяются из условий равновесия: горизонтальная связь опоры А неразрывной балки (рис. 6.1,а), стержни А_2,23, А₁, А₃ фермы (рис. 6.1,б), вертикальные связи пятовых шарниров А и В рамы (рис. 6.1,в). Такие связи называются абсолютно необходимыми. Их удаление превращает  заданное сооружение в геометрически изменяющую или мгновенно изменяемую систему.

Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет только лишние внешние связи, т.е. лишние опорные за­крепления. Примером внешне статически неопределимой плоской системы являетсятрехпролетная рама (рис.6.2).

Рис.6.2

 

Степень статической неопределимости системы С легко установить путем вычита­ния из общего числа опорных стержней m число стержней, необходимых для сохране­ния геометрически неизменяемого при­крепления системы (одно  для одномерных; три  для плоских и шесть  для пространственных систем).

Для плоской рамы, изображенной на рис.6.2, учитывая, что защемление эквивалентно трем опорным стержням, получаем:

m = 3 + 22 +1 = 8;     C = m  3 = 83 = 5,

т.е. данная система 5 раз статически неопределима.

Внутренне статически неопределимой называют сис­тему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.

Двухопорная рама с затяжкой (рис.6.3, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис.6.3, б) получена из заданной (рис.6.3, а) путем разрезания за­тяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется только одной неизвестной осевой силой N₁ . Следовательно, в ста­тически определимой системе, изображенной на рис.6.3, б имеем одно лишнее неизвестное N₁ , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система (рис.6.3, а) яв­ляется один раз статически неопределимой.

Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис.6.4, а, то получим трижды статически неопределимую систему.

Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ac и bc характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N₁, Q₁, M₁ (рис.6.4, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис.6.4, a является три раза внутренне статически неопредели­мой.

                                                             Рис.6.3                                                                                       Рис.6.4

 

Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замк­нутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следова­тельно, если плоская система содержит n замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3n раз статически неопределима.

Отметим следующие основные свойства статически неопреде­лимых систем.

1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­делимой системой оказывается более жесткой, а при идентичном характеренагружения значения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.

2. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе. То есть статически неопределимые сооружения обладают большей надёжностью по сравнению со статически определимыми.

3. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.

4. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.

5. В статически неопределимых системах от температурных и кинематических воздействий реакции условно необходимых внешних и внутренних связей не равны нулю. Покажем это на примере определения реакций опорных связей двухшарнирной рамы с пятовыми шарнирами на разных уровнях (рис. 6.5). Пусть температура со стороны внутренних волокон элементов рамы изменилась на , а горизонтальная и вертикальная связи левой шарнирно-неподвижной опоры сместились соответственно на  и . Условия равновесия рамы имеют вид:

,   H_B – H_A = 0,

,   V_A – V_B = 0,

,   H_B  a + V_B  ℓ = 0.

Рис.6.5

 

Полученная система трёх уравнений, содержащая четыре неизвестных, в общем случае имеет ненулевые решения. От реакций шарнирно-неподвижных опор в сечениях рамы возникнут изгибающие моменты, поперечные и продольные силы. Таким образом, в отличие от статически определимых систем в статически неопределимых системах от температурных и кинематических воздействий имеют место не только перемещения, но и деформации, вызывающие внутренние усилия.

Теория расчета  статически  неопределимых систем играет особую роль в формировании профессиональных представлений инженера-строителя о работе реальных сооружений – ведь подавляющее большинство современных несущих строительных конструкций принципиально следует рассматривать именно как системы статически неопределимые. Строго  говоря,   в  природе  вообще не  существует статически определимых систем, есть лишь некоторые статически определимые (после введения  гипотез и предпосылок) задачи определения конкретных силовых факторов. Рекомендуется осознать это обстоятельство – с ним, в частности,  могут  быть связаны дополнительные возможности регулирования  состояния  конструкций.

Понимание   того, что происходит  с  конструкциями   в  процессе  их деформирования   при  разнообразных воздействиях,  позволяет  обоснованно подходить к оценке их состояния, надежности и экономичности, целенаправленно вмешиваться в их работу, то есть осуществлять регулирование и управление поведением конструкций – при этом в ряде случаев удается полезно использовать такие эффекты и свойства, которые традиционно считаются  неблагоприятными.  Ярким примером   может  служить  отношение  к  факту  чувствительности  статически неопределимых  систем  к  кинематическим воздействиям   (смещениям связей), в том числе к осадкам опор. Известно, что, в отличие от систем статически определимых, где смещения связей  (равно как и изменения температуры) не вызывают возникновения интегральных внутренних силовых факторов – изгибающих и крутящих моментов, продольных и поперечных сил и др. (перемещения  и температурные деформации  при этом, конечно, возникают, но они развиваются как свободные, нестесненные),  в системах с лишними связями усилия от упомянутых видов воздействий отличны от нуля. Если это воздействия  природного  или  техногенного происхождения, неподвластные нам в процессе эксплуатации сооружения, то они, как правило, выступают в качестве неблагоприятных факторов, «отнимая» у конструкций некоторую (иногда значительную) часть их несущей способности,  что приводит  к  увеличению расхода  материала.

Но это же свойство статически неопределимых систем можно заставить служить на пользу делу – если, задавая контролируемые смещения внешних или внутренних связей либо искусственно создавая начальные температурные поля в процессе сборки и монтажа конструкций, «подправлять» усилия и напряжения, делая их распределение более равномерным и, следовательно, более выгодным с точки зрения материалоемкости.

Другой отличительной особенностью статически неопределимых систем, имеющей  важное практическое значение, является зависимость значений силовых факторов в разных сечениях конструкции от соотношений и (при температурных и кинематических воздействиях) числовых значений жесткостей элементов системы при разных видах их деформаций (растяжении или сжатии, изгибе, сдвиге, кручении). Инженер, выполняющий расчет конструкции или оценивающий состояние находящегося в эксплуатации  сооружения, должен ясно представлять, какие именно составляющие деформации существенно влияют на напряженно-деформированное состояние системы, а какими можно пренебречь с допустимой погрешностью. Например, априори понятно, что на распределении усилий в комбинированных системах (шпренгельных балках, рамах и арках с затяжками, вантовых конструкциях и т.п.) ощутимо сказываются продольные деформации очень гибких стержней, работающих на чистое растяжение без изгиба; в конст-рукциях с тонкостенными элементами и в ряде других случаев значительным может быть влияние сдвига и т.д.  Но лишь выполнив решение некоторых типовых задач, можно убедиться раз и навсегда в том, что влияние этих факторов настолько велико, что пренебрежение ими может радикально исказитькартину усилий и перемещений  в системе.

 

6.1.2. Степень статической неопределимости

 

Разность между числом неизвестных, необходимых для расчёта заданного сооружения, и числом независимых уравнений равновесия, составленных для решения задачи, называется степенью статической неопределимости сооружения. Другими словами, эта разность определяет количество лишних связей в заданной расчётной схеме сооружения, усилия в которых требуется определить, не прибегая к уравнениям равновесия.

Степень статической неопределимости можно вычислить, преобразуя заданную статически неопределимую систему в статически определимую и параллельно подсчитывая число удалённых связей. Такой подход является наиболее общим, но часто у читателей вызывает определённые трудности. Поэтому в плоских стержневых системах на начальном этапе изучения этой и последующих тем степень статической неопределимости рекомендуется определять по формуле "контуров".

Любой замкнутый плоский стержневой контур содержит три лишних связи, т.е. трижды статически неопределим. В этом можно убедиться, рассматривая определение внутренних усилий в сечении "с" рамы, представляющей собой вместе с диском "земля" замкнутый контур (рис. 6.6,а). Любая отсечённая часть этой рамы имеет шесть неизвестных: рис. 6.6,б – внутренние усилия в сечении "с" M_c, Q_c, N_c и реакции заделки V_A, H_A,M_A; рис. 6.6, в – внутренние усилия в сечениях "с" и "е" M_c, Q_c, N_c, M_е, Q_е, N_е. Равновесие рассматриваемых выше отсечённых частей описывается тремя уравнениями. Таким образом, разность между числом неизвестных, необходимых для описания напряжённо-деформированного состояния рамы, и числом уравнений равновесия равно трём.

Рис.6.6

 

Если сооружение состоит из К не накладывающихся друг на друга контуров, то общее число лишних связей в нём равно 3К.

Рис.6.7

 

Наличие в одноконтурном сооружении одного простого цилиндрического или поступательного шарнира снижает степень статической неопределимости такого сооружения на единицу, так как любая отсечённая часть контура, включающая в себя сечение, расположенное на бесконечно близком расстоянии от шарнира, будет содержать теперь пять, а не шесть, неизвестных (рис. 6.7). Напомним читателям, что простой цилиндрический или поступательный шарнир связывает только два диска. Если шарнир соединяет n дисков, то он эквивалентен n–1 простому шарниру.

В общем случае, если К контуров имеют Н простых цилиндрических или поступательных шарниров, то степень статической неопределимости сооружения равна

n_st = 3K – H.                          

Число контуров и простых шарниров зависит от способа представления расчётной схемы сооружения. На рис. 6.8,а,б показано изображение расчётной схемы одной и той же рамы с различным количеством контуров и простых шарниров. Естественно, что степень статической неопределимости рамы не зависит от способа изображения её расчётной схемы. Действительно:

n_st = 3  3 – 3 = 6 (рис. 6.8,а),

n_st = 3  5 – 9 = 6 (рис. 6.8,б).

                

Рис.6.8                                                                        Рис.6.9

 

Пример 6.1. Используя формулу "контуров", вычислить степень статической неопределимости плоских стержневых систем, изображённых на рис. 6.9.

На рис. 6.9,а,б цифрами, объединёнными кружками, пронумерованы замкнутые контуры. Рядом с цилиндрическими шарнирами цифрами помечено количество простых шарниров.

n_st = 3  3 – 8 = 1 (рис. 6.9,а),

n_st = 3  9 – 24 = 3 (рис. 6.9,б).