- •1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению и градиент
- •Производная по направлению
- •Градиент скалярного поля
- •2. Поток векторного поля
- •1) Найти поток векторного поля через поверхность сферы
- •3. Криволинейные координаты. Теорема гаусса-остроградского. Дивергенция векторного поля
- •Теорема Гаусса - Остроградского
- •4. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля и ротор
- •Подставив всё это в интеграл, получим:
- •5. Теорема стокса. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле
- •6. Оператор гамильтона “набла”. Дифференциальные операции первого и второго порядка
- •7. Заключение
- •Литература
4. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля и ротор
Пусть дано векторное поле
и кривая , на которой указано положительное направление. (Функциинепрерывные, кривая кусочно-гладкая.) Если силовое поле, то работа по перемещению единичной массы на отрезке кривой
будет равна
Работу, произведенную силой при перемещении единичной массы по пути, можно представить криволинейным интегралом второго рода
. (4.1)
Если кривая L задана системой уравнений
,
то интеграл (4.1) вычисляется по формуле
,
а в случае параметрического задания кривой:
,
формула принимает вид:
.
Пример 4.1. Вычислить линейный интеграл в векторном поле
на отрезке прямой АВ. .
Решение.
.
Каноническое уравнение прямой АВ
,
откуда
.
Интеграл будет равен:
.
Пример 4.2. Вычислить линейный интеграл в векторном поле
вдоль линии
Решение.
Здесь ;
Пример 4.3. Вычислить линейный интеграл в векторном поле
вдоль полуокружности
.
Решение.
где
,
следовательно,
Пример 4.4
Вычислить линейный интеграл в векторном поле
вдоль винтовой линии , задаваемой уравнениями,
.
Решение.
,
следовательно,
.
Решить самостоятельно
Вычислить линейный интеграл в векторном поле
вдоль параболы от точки (0,0) до точки (1,1).
2) Вычислить линейный интеграл в векторном поле
:
а) вдоль параболы от точки (-1,1) до точки (1,1);
б) вдоль прямой, соединяющей эти же точки.
Вычислить линейный интеграл в векторном поле
вдоль прямой, соединяющей точки (1,1,1) и (2,2,2).
Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл второго рода, взятый по замкнутой ориентированной кривой L:
, (4.2)
где
векторное поле, а
элементарный отрезок кривой L.
Направление обхода замкнутой кривой L считается положительным, если для наблюдателя, движущегося в этом направлении, область, ограниченная кривой, остаётся слева.
Пример 4.5. Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль эллипса
.
Решение.
.
Параметричекские уравнения эллипса имеют вид
откуда
, .
Подставив всё это в интеграл, получим:
, так как
Аналогично
.
Пример 4.6. Вычислить циркуляцию в векторном поле
,
если L линия пересечения цилиндра
и плоскости
.
Решение.
.
Линия есть эллипс, параметрические уравнения которого имеют вид:
,
откуда
Подставив всё в интеграл, получим:
.
Решить самостоятельно
4) Вычислить циркуляцию векторного полявдоль замкнутой кривой.
:
Ротор векторного поля это вектор, обозначаемый символом .
Пусть
векторное поле, причём функции P, Q и R непрерывны вместе с производными первого порядка по всем переменным. Тогда
,
или, в символической форме:
.
Пример 4.7.
Пусть скалярная функция,векторная функция. Показать, что.
Решение.
.
Пример 4.8. Пусть
постоянный вектор. Показать, что
.
Решение.
(Обозначаем здесь и далее.)
.
Здесь, например,
.
Решить самостоятельно
5) Показать, что если ипостоянные векторы, ато.
6) Показать, что .
где постоянный вектор,
Ответы.
5. Теорема стокса. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле
Теорема Стокса.
Пусть ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей.Окрестностью поверхностибудем называть любое открытое множество, содержащее.
Теорема. Пусть в некоторой окрестности поверхности функциинепрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение:
, (5.1)
Рис. 9
называемое формулой Стокса. При этом, стоящий в правой части интеграл вычисляется по замкнутому контуру , являющемуся границей поверхности, на котором указано такое направление обхода, при котором (с учётом выбора стороны поверхности) поверхностьостаётся слева.
Будем считать, что однозначно проецируется на координатные плоскости в трёхмерном пространстве, причём, на плоскостьв областьи является графиком некоторой функции, определенной в, (Рис. 9).
Докажем теорему.
Касательная плоскость к поверхности имеет уравнение:
,
где произвольная точка на поверхности.
Нормаль в точке касания есть вектор
,
компоненты которого определены в той же точке. Единичный вектор нормали равен
,
следовательно,
.
Очевидно, теорема будет доказана, если будут доказаны равенства:
;
; (5.2)
.
Поскольку эти соотношения доказываются однотипно, остановимся на доказательстве только первого из них.
Проекции элементарной площадки на координатные плоскости равны, соответственно:
;
.
Подставив последнее соотношение в поверхностный интеграл, получим
.
Так как на поверхности
,
то, используя правило дифференцирования сложной функции, получим
.
Подставим это в поверхностный интеграл и вычислим его, переходя к двойному интегралу по области на плоскости, в которую проецируется поверхность.
.
Здесь иуравнения двух ветвей замкнутого контура, в который проецируется границаповерхности. Поменяв местами пределы в последнем интеграле, мы замкнём обход контура, однако направление обхода – отрицательное (так как областьпри обходе остаётся справа) и получим:
.
Изменив направление обхода контура , мы избавимся от знака минус перед интегралами, а учитывая тот факт, что значение функциив точкекривойсовпадает со значением функциив точкекривой, в которую проецируется точка, получим:
.
Окончательный результат:
.
Первое из трёх равенств (5.2) доказано. Второе и третье доказываются аналогично. Теорема доказана.
Теорема Стокса может быть сформулирована более компактно, а формула Стокса записана в «свёрнутом виде». При этом ограничения, оговоренные в формулировке теоремы Стокса, сохраняются в полном объёме.
Циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S , натянутую на контур L, ограничивающий эту поверхность:
, (5.3)
где
,
,
орт нормали к поверхности S,
проекция вектора ротора на нормаль к поверхности S.
.
Ориентация нормали и выбор стороны поверхностиS согласованы так, что обход контура L виден из конца вектора нормали соверша-ющимся против часовой стрелки:
Пример 5.1. Вычислить циркуляцию вектора
по контуру L: ,
непосредственно, b) по формуле Стокса. (Рис. 10).
Решение.
а) ,
Рис. 10
Для вычислений по теореме Стокса в качестве поверхности,
натянутой на контур L, выберем плоскость Нормаль в этом случае вектор :
, ,
.
Решить самостоятельно
1) Найти циркуляцию вектора
по контуру, образованному пересечением плоскости
с координатными плоскостями;
найти циркуляцию векторного поля.
по контуру
Теорема.Для того, чтобы линейный интеграл
не зависел от формы пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле
было безвихревым, т.е. в каждой точке области G, в которой задано векторное поле.
Здесь предполагается, что компоненты вектора :непрерывны вместе с частными производными первого порядка, а сама областьG односвязная.
Определение.Область G трёхмерного пространства называется односвязной, если на любой замкнутый контур, принадлежащий области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G.
Например, трёхмерное пространство, внутренность сферы являются односвязными областями. Внутренность тора, пространство с «выколотой» точкой или выброшенной прямой, не являются односвяз-ными областями.
При выполнении условий теоремы циркуляция вектора по любому замкнутому контуру, принадлежащему областиG, равна нулю:
.
В случае плоского векторного поля
имеем
.
Следовательно, для того, чтобы в плоском поле, определённом в односвязной области G, линейный интеграл
не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
.
Если в области Dс границейLзадано плоское векторное поле
,
то справедлива формула Грина
. (5.4)
Теорема Грина представляет собой частный случай теоремы Стокса.
Пример 5.2.
С помощью формулы Грина вычислить линейный интеграл
в векторном поле
,
где верхняя полуокружность, причём начало пути интегрирования в точке, а конецв точке. (Рис. 11).
Решение.
Замкнём контур интегрирования, прибавив к дуге отрезок, который проходится от точкидо точкипо оси, имея в виду, что
,
так как на оси и. Пусть. Тогда
,
Рис. 11
где
откуда следует
,
где Sверхняя половина круга
Последний интеграл вычислим в полярных координатах:
.
Подставив эти соотношения в уравнение окружности, получим:
откуда .
Конечный результат:
Решить самостоятельно
Применяя формулу Грина, вычислить циркуляцию следующих векторных полей по заданным контурам:
3) ;
4). ;
5) ;
6) :
Определение.
Векторное поле
заданное в области трёхмерного пространства, называется потенциальным, если существует такая скалярная функциячто во всех точках области выполняется равенство
,
или, что равносильно,
.
Функция , удовлетворяющая этим условиям, называется потенциалом векторного поля. Потенциал поля определяется с точностью до постоянной.
Теорема.Для того, чтобы векторное поле , заданное в односвязной областибыло потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке областивыполнялось условие:
Потенциал векторного поля
определяется формулой
,
где фиксированная точка, апроизвольная точка.
Пример 5.3
Показать, что поле
является потенциальным и найти его потенциал.
Решение.
Следовательно, поле потенциально. Потенциал поля:
.
Теорема.Линейный интеграл в потенциальном поле равен разности значений потенциала поляв конечной и начальной точках пути интегрирования:
. (5.5)
Пример 5.4.Вычислить линейный интеграл в поле вектора
вдоль отрезка прямой от точки до точки
Решение.
,
следовательно, векторное поле является потенциальным:
Результат не зависит от того, какая кривая соединяет точки иЭто позволяет выбрать путь, соединяющий точкиив виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат, что приводит к упрощению интеграла для нахождения потенциала:
Пример 5.5.
Доказать, что векторное поле
является потенциальным и найти его потенциал.
Решение.
т.е. поле потенциальное.
1-й способ решения:
В качестве начальной точки пути интегрирования выберем , а линию, соединяющую её с конечной точкой, представим ломаной, состоящей из отрезков, параллельных координатным осям. (Рис. 12).
Получим:
Рис. 12
2-й способ.
Полный дифференциал функции
В потенциальном поле
Подставив эти значения в полный дифференциал, получим:
откуда следует, что
Решить самостоятельно
В следующих задачах установить потенциальность векторных полей
и найти их потенциалы
7) ;
8) ;
9)
Ответы.
2) 0; 3) -1; 4) 5) 0; 6)7)8)
.