- •1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению и градиент
- •Производная по направлению
- •Градиент скалярного поля
- •2. Поток векторного поля
- •1) Найти поток векторного поля через поверхность сферы
- •3. Криволинейные координаты. Теорема гаусса-остроградского. Дивергенция векторного поля
- •Теорема Гаусса - Остроградского
- •4. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля и ротор
- •Подставив всё это в интеграл, получим:
- •5. Теорема стокса. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле
- •6. Оператор гамильтона “набла”. Дифференциальные операции первого и второго порядка
- •7. Заключение
- •Литература
3. Криволинейные координаты. Теорема гаусса-остроградского. Дивергенция векторного поля
В некоторых случаях можно на самой поверхности Sвыбрать простую криволинейную систему координат, в которой удобно вычислять поток векторного поля, не прибегая к проектированию на координатные плоскости.
Случай 1. ПустьSчасть кругового цилиндра
ограниченного поверхностями и
Введём цилиндрические координаты:
,
тогда элемент площади будет
а поток векторного поля через поверхностьSравен:
,
где
единичный вектор нормали к поверхности цилиндра радиуса R.
Пример 3.1.
Вычислить поток векторного поля через боковую поверхность цилиндра, ограниченного плоскостями
и .
Решение.
Вводя криволинейные координаты,
,
будем иметь
,
, .
Поток векторного поля равен:
.
(Здесь .)
Решить самостоятельно
Найти поток векторного поля через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра
,
ограниченного плоскостями
и .
Найти поток векторного поля через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра
,
вписанного в сферу .
2-й способ.Пусть поверхностьSявляется частью сферы
,
ограниченной коническими поверхностями ии полу-плоскостямии. (Рис. 6).
Введём сферические координаты:
, ,.
Тогда для элемента площади dSбудем иметь:
,
а поток векторного поля в направлении внешней нормали к поверхностиSбудет вычисляться по формуле
, (3.1)
где
радиус-вектор точки на поверхности сферы радиуса R, являщийся нормалью к сферической поверхности,, следовательно,
орт этой нормали.
Пример 3.2.
Найти поток векторного поля
через часть поверхности сферы
,
принадлежащей первому октанту. (Рис. 7).
Решение. Здесь
,
.
(Так как .)
Подставив последнее выражение в формулу для потока (3.1), получим:
.
Решить самостоятельно
3) Найти поток векторного поля через часть сферы, вырезанной конусом.
4) Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части сферы, распложенной в первом октанте.
Теорема Гаусса - Остроградского
Теорема.Если в некоторой области G пространства компоненты вектора непрерывны вместе с частными производными то поток векторачерез любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность, принадлежащую области G, равен тройному интегралу отпо области V, ограниченной поверхностью S :
(3.2)
(формула Гаусса-Остроградского). Нормаль к поверхностиSберётся внешняя.
Рассмотрим доказательство теоремы Гаусса-Остроградского. Ограничимся доказательством теоремы лишь для специального класса областей , таких, что любая прямая, параллельная одной из координат-ных осей пересекает границу областине более чем в двух точках. Областьс присоединенной границейбудем обозначать. (Рис. 8).
Пусть область на плоскостипредставляет собой проекцию на эту плоскость области. Через граничные точки областипроведём прямые, параллельные оси. Каждая из этих прямых пересекается с границейлишь в одной точке. Множество этих точек образует линию, которая разделяет поверхностьна две частии, являющиеся графиками непрерывных и кусочно-дифференцируемых вфункцийи.
Рассмотрим тройной интеграл
.
Для областии для подынтегральной функциив интеграле выполняются условия, при которых действуют правила повторного интегрирования.
Рис. 8
Поэтому имеем:
.
Первый из интегралов есть поверхностный интеграл по внешней стороне поверхности :
,
а во втором интеграле после перехода с внутренней стороны поверхности на внешнюю изменяется знак и получаем интеграл:
.
Два последние интеграла объединяем, так как и получаем
.
Доказательства для формул
и
проводятся аналогично (следует рассмотреть проекции на плоскостиии повторить все рассуждения.
Сложив три последние соотношения, получим формулу Гаусса-Остроградского:
.
Теорема доказана.
Пример 3.3. Вычислить поток векторачерез замкнутую поверхность,.
Решение.
Здесь V верхняя половина шара. По формуле (3.2)
.
Интеграл вычислим в сферических координатах:
;
,
.
Решить самостоятельно
5) Вычислить поток векторного поля через поверхность
6) Вычислить поток векторного поля через
поверхность S:
Стоящее в правой части формулы Гаусса - Остроградского выражение имеет вполне определённый физический смысл и имя собственное: дивергенция (обозначение):
. (3.3)
Из формулы (3.2) и теоремы о среднем следует, что
. (3.4)
Это отношение потока векторного поля, выходящего из объёма Vчерез поверхностьS, к самому объёмуV. Оно отлично от нуля только при условии, что в объёме имеются источники или стоки векторного поля.
Предельный переход при стягивании объёма Vв точку позволяет приписатьсмысл скалярной функции, характеризующей объёмную плотность источников (или стоков) векторного поля в каждой точке областиG, в которой определено векторное поле.
Используя символ можно записать формулу Гаусса-Остроградского более компактно:
. (3.5)
Пример 3.4. Вычислитьгде.
Решение. .
У нас
следовательно, .
Пример 3.5.
Вычислить гдескалярная функция, а
векторная функция.
Решение.
.
Решить самостоятельно
7) Найти , гдепостоянный вектор, а
радиус-вектор точки.
8) Найти где.
Найти поток векторного поля через заданные замкнутые поверхности:
9) ;
;
11) .
Ответы.
0; 2) 0; 3) 4)5)6)7) 0; 8) 0;
9)10)11)