3. Системы счисления

Чтобы обеспечить соответствующую основу для изучения структур данных следует обсудить существующие типы систем счислений: позиционные и непозиционные.

1. Непозиционные системы счисления

Числа используются для символического представления количества объектов. Очень простым методом представления количества является использование одинаковых значков. В такой системе между значками и пересчитываемыми объектами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Например, шесть объектов могут быть представлены как ****** или 111111. Такая система становится очень неудобной, если попытаться с ее помощью представить большие количества.

Системы счисления, подобные римской, обеспечивают частичное решение проблемы представления большого количества объектов. В римской системе дополнительные символы служат для представления групп значков. Например, можно принять что I=*, Y=IIIII, X=YY, L=XXXXX и т.д. Заданная величина представляется с помощью комбинирования символов в соответствии с рядом правил, которые в некоторой степени зависят от положения символа в числе. Недостатком системы, которая с самого начала основывается на группировании некоторого множества символов с целью формирования нового символа, является то обстоятельство, что для представления очень больших количеств требуется очень много уникальных символов.

2. Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления используется конечное число R уникальных символов. Величину R часто называют основанием системы счисления. В позиционной системе количество представляется как самими символами, так и их позицией в записи числа.

Система счисления с основанием десять, или десятичная система является позиционной. Рассмотрим, например, число 1303. Его можно представить в виде:

1*10^3 + 3*10^2 + 0*10^1 + 3*10^0.

(Здесь и далее символ ^ используется как знак операции возведения в степень).

В позиционной системе могут быть представлены и дробные числа. Например, одна четвертая записывается в виде 0.25, что интерпретируется как:

2*10^(-1) + 5*10^(-2).

Другой пример позиционной системы счисления - двоичная система. Двоичное число 11001.101 представляет то же самое количество, что и десятичное число 26.625. Разложение данного двоичного числа в соответствии с его позиционным представлением следующее:

1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^(-1) + 0*2^(-2) + 1*2^(-3) =

16 + 8 + 1 + 0.5 + 0.125=26.625.

Наиболее часто встречаются системы счисления имеющие основание 2,8,10 и 16, которые обычно называют двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами, соответственно. Вся вычислительная техника работает в двоичной системе счисления, так как базовые элементы вычислительной техники имеют два устойчивых состояния. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы используются для удобства работы с большими двоичными числами.

3. Изображение чисел в позиционной системе счисления

Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с натуральным основанием R (R >1) базируется на представлении их в виде произведения целочисленной степени m основания R на полином от этого основания :

n

Ar = R^m * СУММА (a[i]*R^(-i)) , (1.1)

i=1

где:

a[i] { 0,1,..., R-1 } - цифры R-ичной системы счисления ;

n - количество разрядов (разрядность), используемых для представления числа;

R - основание системы счисления;

m {..., -2, -1, 0,+1,+2,...} - порядок числа;

R^(-i) - позиционный вес i - того разряда числа.

Так, в десятичной (R=10) системе для представления чисел используются цифры a = {0,1,...9}; в двоичной (R=2) - a = {0,1}, в шестнадцатеричной (R=16), a = {0,1....9,A,B,C,D,E,F} где прописные латинские буквы A..F эквивалентны соответственно числам 10..15 в десятичной системе. Например,

1) 815=10^3*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10(-3))=8*10^2+1*10^1+5*10^0;

2) 8.15=10^1*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10^(-3))=8*10^0+1*10^(-1)+5*10^(-2);

3) 0.0815= 10^(-1)*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10^(-3))=

=8*10^(-2)+1*10^(-3)+5*10^(-4);