Задачи оптимизации

Максимальная сумма, которая может быть вложена в проект A в первый год, составляет 500 000 долларов. Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. Кроме того, компания может получать 6 % годовых за краткосрочный вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году. У компании имеется 1 000 000 долларов для инвестиции. Ставится задача максимизировать сумму средств, накопленных компанией к конечному периоду.

3.46. В начале каждого из четырех последовательных лет инвестор имеет возможность вложить средства в один из двух проектов, обозначенных А и B. В начале второго года появляется третья инвестиционная возможность – инвестиции в строительство. Данные о прибыльности проектов приведены в таблице.

Каждый доллар, вложенный в проект A, дает доход через 2 года (как раз вовремя для повторного реинвестирования). Доллар, вложенный в проект B, дает доход через три года. Доллар, вложенный в строительство, дает доход через год (эта возможность сохраняется в третьем и четвертом году). Стартовый капитал инвестора в начале первого года составляет 50 000 долларов и он желает получить максимальную сумму к концу четвертого года. Составьте математическую и табличную модель задачи и найдите оптимальное решение.

Нелинейная оптимизация

3.47. Предприятие выпускает телевизоры, стерео- и акустические системы, используя общий склад комплектующих деталей. . Параметры производственного процесса приведены в таблице.

81

В связи с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий. Следует учитывать уменьшение удельной прибыли при увеличении объемов производства в связи с дополнительными затратами на сбыт. Величина эластичности прибыли по объему производства составляет 0,9 для всех видов изделий. Поэтому, например, при сбыте x1 штук телеви-

зоров прибыль определяется формулой 75 x10,9 , что сразу делает задачу не-

линейной. Определите оптимальный план выпуска изделий, максимизирующий прибыль предприятия. Глобальный или локальный экстремум найдет програм-

ма Поиск решения Excel?

д) Получите отчет по устойчивости и дайте интерпретацию множителей Лагранжа.

е) Сведите задачу к линейной, и найдите для нее оптимальное решение. Сравните отчеты по устойчивости для линейной и нелинейной задач.

3.48. Имеется два видов ценных бумаг A и B. В результате многолетнего наблюдения было выяснено, что средняя доходность активов A и B составляет

( AB r A B , где r – коэффициент корреляции). Инвестор желает сформи-

ровать инвестиционный портфель с доходностью выше 3 % и минимальным риском портфеля. При этом инвестор установил верхнюю границу инвестиций в ценные бумаги A и B на уровне не более 75 и 90 %, соответственно. Используя модель Марковица, сформируйте портфель инвестиций, удовлетворяющий всем перечисленным выше условиям.

3.49. Имеются данные о доходности акций компаний (в процентах) за последние

12 лет.

82

С целью повышения стабильности инвестиций инвестор желает, чтобы доля каждого из активов в портфеле инвестиций не превышала 75 %. Доходность портфеля должна быть не ниже 15 %.

а) Используя модель Марковица, составьте оптимальный портфель инвестиций, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

б) Постройте диаграмму эффективных портфелей в осях координат «ожидаемая доходность – дисперсия портфеля».

3.50. Используя условие предыдущей задачи, постройте инвестиционный портфель и диаграмму эффективных портфелей для двух активов:

а) Сибнефть –УГМК; б) УГМК – Башнефть;

в) Сибнефть – Башнефть.

3.51. Имеются данные о доходности акций компаний (в%) за последние 22 года. Постройте инвестиционный портфель для трех активов A, Б и C, используя портфельную модель Марковица. Максимальная доля каждого из активов в портфеле не должна превышать 75 %. Постройте диаграмму эффективных портфелей и на основании полученной диаграммы примите решение о распределении инвестиций.

3.52. Используя условие предыдущей задачи, постройте инвестиционный портфель и диаграмму эффективных портфелей для двух активов:

3.53. Найдите наилучшие стратегии по критериям: Лапласа, максимакса, Вальда, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,2) для платежной матрицы игры с природой:

83

Найдите оптимальную стратегию, используя критерий пессимизма – оптимизма Гурвица применительно к матрице рисков для коэффициента пессимизма, равного 0,4.

3.54.Используя платежную матрицу, приведенную в задаче 3.53, найдите оптимальную стратегию по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

3.55.Найдите наилучшие стратегии по критериям: Лапласа, максимакса, Вальда, минимаксного риска Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,6) для платежной матрицы игры с природой:

3.56. Домовладелец желает закупить уголь для обогрева дома зимой. Имеются данные о необходимом количестве угля, его стоимости, вероятностях реализации различных состояний природы.

Приведенные в таблице цены относятся к покупке угля зимой. Летом цена 6 тыс. руб. за тонну, и имеется склад для хранения 5 тонн. Если уголь останется в конце зимы, то летом он пропадет. Сколько следует покупать угля летом? Решение следует принять на основании критерия наименьшей вариабельности платежа (отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению для принимаемого проекта должно быть наименьшим).

3.57. Дана матрица игры с природой:

Найдите наилучшие стратегии по критериям: Лапласа, максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при коэффициентах пессимизма p 0; 0,5; 1).

84

3.58.Компания «Российский сыр» – небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов – сырная паста – поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует произвести в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту будет 60, 70, 80 или 90 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Затраты на производство одного ящика сырной пасты составляют 4 500 долларов. Компания продает каждый ящик по оптовой цене 9 500 долларов. Если ящик не продается в течение месяца, то продукт портится и реализации не подлежит. Сколько ящиков сырной пасты следует произвести в течение месяца? При принятии решения следует оценить риски. Сформулируйте обоснование критерия принятия решения. Какую максимальную цену директор может заплатить за достоверную информацию об объеме поставки продукции?

3.59.Компания, производящая стиральный порошок, работает в условиях свободной конкуренции. Порошок выпускается блоками, причем цена одного блока в будущем месяце является неопределенной: 10 тыс. руб. с вероятностью 0,3; 15 тыс. руб. с вероятностью 0,5; 20 тыс. руб. с вероятностью 0,2. Полные затраты на производство x блоков стирального порошка определяются функцией за-

трат C 1000 5 x 0,0025 x2 (тыс. руб.). Определите суточный выпуск продукции компании в блоках, при котором среднесуточная прибыль будет максимальной. Какую максимальную цену можно заплатить за точную информацию о цене одного блока порошка?

3.60. Спрос на некоторый товар, производимый монополистом, определяется зависимостью Y 100 5 p 5 j , где p – цена товара, j – достоверно неизвест-

ный уровень дохода потребителей. По оценкам экспертов

2 с вероятностью 0,6; j

4 с вероятностью 0,4.

Полные затраты на производство товара определяются зависимостью С 5 4 Y 0,05 Y 2 . Сколько товара должен выпускать монополист и по какой цене продавать, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль?

3.61.Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 150, 160 или 170 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 рублей прибыли. Косметика имеет малый срок годности и не распроданная фирмой в течение месяца уничтожается. Поскольку себестоимость одной упаковки 115 рублей, то убытки фирмы составляют 115 рублей, если упаковка не реализуется к концу месяца. Вероятности реализации 150, 160 и 170 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок продукта нужно производить фирме ежемесячно? Какую максимальную цену можно заплатить за точное знание состояния природы?

3.62.Кинокомпания и телекомпания хотят получить эксклюзивные права на экранизацию нового романа популярного автора. Если автор продаст права телекомпании, то он получит одноразовую фиксированную сумму в размере 900

85

тыс. руб. Если же он продаст права кинокомпании, то размер гонорара будет зависеть от прокатного успеха фильма (см. таблицу).

Кому автор должен продать права на свой роман, если вероятность малого успеха картины оценивается как 0,3, среднего – 0,6, а большого –0,1? Проверьте полученный результат, построив дерево решений (можно воспользоваться надстройкой Treeplan.xla).

3.63. Компания планирует производство нового изделия. Одна из деталей этого изделия является высокотехнологичной и требует либо создания нового производства, либо закупки этой детали у других производителей. Как в том, так и в другом случае доход (млн руб.) сильно зависит от спроса на новое изделие и определяется в приведенной ниже таблице

Вероятность низкого спроса равна 0,4, а вероятности среднего и высокого спроса – 0,3. Создайте дерево решений и определите, следует ли производить, или покупать деталь.

3.64.Скульптор может продать свой последний шедевр за 10 000 руб. посреднику, но эта цена действует только в течение недели. Он может также выставить свое произведение на Internet-торги, но в этом случае ему нужно внести 500 руб. Если торги будут удачными, то он сможет получить 15 000 руб., а если неудачными – то 3 000 руб. Вероятности удачных и неудачных торгов оцениваются как 0,75 и 0,25 соответственно. Используя дерево решений, помогите скульптору принять правильное решение.

3.65.Руководство компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции новое крупное производство, ограничиться ли строительством малого предприятия или продать патент другой фирме. Размер выигрыша (руб.), который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка

86

Перед тем, как принять решение, фирма может заказать дополнительное маркетинговое исследование, которое обойдется компании в 10 000 руб. Руководство понимает, что дополнительное исследование тоже не может дать точной информации. Известно что благоприятный и неблагоприятный прогнозы маркетинговой фирмы выполняются с определенными вероятностями, значения которых приведены в таблице

а) Следует ли руководству компании заказать маркетинговые исследования? б) Какое решение следует принять фирме, если маркетинговые исследования показали, что ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45 и небла-

гоприятной с вероятностью 0,55?

3.66. Предположим, что ваша функция полезности определяется логарифмической зависимостью U (x) ln(x) и вы сталкиваетесь с ситуацией, когда с рав-

ными шансами можете выиграть или проиграть 1 тыс. рублей. Сколько рублей вы будете готовы заплатить, чтобы избежать риска, если ваше благосостояние равно 10 тыс. руб.? Сколько вы были бы готовы заплатить, если бы ваше состояние было 1 млн руб.?

3.67. Студент имеет функцию полезности U (x) x , где x – размер его капита-

ла. В настоящий момент у студента имеется 4 доллара и лотерейный билет, по которому с вероятностью 0,5 можно выиграть 12 долларов и с вероятностью 0,5

– 0 долларов. Какова ожидаемая полезность игры? Какова наименьшая сумма, за которую студент согласится продать свой лотерейный билет?

3.68. Вы имеете логарифмическую функцию полезности U (x) ln(x) и текущий

уровень вашего благосостояния x = 5 000 долларов. Вам предлагают игру, в которой с вероятностью 0,5 можно проиграть или выиграть 1 000 долларов. Альтернативой игры является выплата некоторой суммы за отказ от участия в игре.

а) Какую сумму вы будете согласны уплатить, чтобы отказаться от игры?

б) Если вы уже согласились на игру и проиграли 1 000 долларов, то готовы ли вы будете отказаться от новой игры, заплатив 125 долларов?

3.69. Бизнесмен сталкивается с ситуацией, когда с вероятностью 10 % пожар может уничтожить все его имущество; с вероятностью 10 % – уменьшить его

87

недвижимость до 50 тыс. руб.; с вероятностью 80 % огонь не принесет ему вреда, и стоимость его имущества останется равной 100 тыс. рублей. На какую сумму бизнесмен застрахует свое имущество, если страховой взнос составляет 10 % от застрахованного имущества. Страховая выплата рассчитывается по формуле: Страх. выпл. = Застрах. кап. ´ доля утрач. имущ. Страховая выплата не может превышать размера ущерба. Функция полезности бизнесмена имеет вид U (x) ln(x) .

3.70. Бизнесмен, отправляясь на отдых, готов потратить 10 000 долларов. Полезность путешествия оценивается суммой, потраченной на отдых. Пусть функция полезности бизнесмена имеет вид U (x) ln(x) . Существует вероят-

ность, равная 0,25, потерять во время путешествия 1000 долларов. Какую максимальную сумму может заплатить бизнесмен за страховку от потери 1000 долларов?

88