Задачи оптимизации

ля, представленного выбранным индексом. Коэффициент (бета) рассчитывается на основании статистических данных взаимосвязи доходности i го актива и доходности рынка

dm – доходность рынка, i – случайная ошибка.

Показатель i характеризует степень риска актива и показывает, во сколько раз изменение цены актива превышает изменение рынка в целом. Если i

больше единицы, то данную ценную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т. к. ее цена движется в среднем быстрее рынка.

Если i меньше единицы, то степень риска этой ценной бумаги относитель-

но низкая, поскольку в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если i меньше нуля, то в среднем движение этой цен-

ной бумаги было противоположно движению рынка в течение периода глубины расчета.

В соответствие с одной из точек зрения, является своего рода мерой недоили переоценки рынком данной ценной бумаги. Положительная свидетельствует о переоценке рынком данной бумаги. Отрицательная свидетельствует о недооценке рынком данной бумаги.

На западных рынках значения , регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и доступны для анализа инвесторам. По этой причине будем предполагать, что эти величины известны, хотя при необходимости их можно и рассчитать самостоятельно.

Бета портфеля ( ) – это средневзвешенное значение величин i активов,

входящих в портфель, где весами выступают их удельные доли в портфеле. Она рассчитывается по формуле:

i 1

При решении конкретных задач может встретиться ситуация, когда часть активов портфеля является безрисковыми ценными бумагами. В этом случае, согласно одноиндексной модели Шарпа, доходность портфеля определяется выражением

а дисперсия доходности портфеля при этом оказывается равной

i 1

В формулах (3.48), (3.49) d0 – доходность безрисковых активов, m2 – диспер-

сия доходности рынка. Таким образом, модель Шарпа позволяет учесть рыночный и нерыночный риски и рассмотреть роль безрисковых активов в инвестиционном портфеле.

61

Уильям Шарп в 1990 г. (совместно с М. Миллером и Г. Марковицем) удостоен Нобелевской премии по экономике за разработку математических моделей построения инвестиционных моделей.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия изокосты. Какими свойствами обладают линии изокосты?

2.Как ставится задача о стационарном равновесии производителя в долгосрочном периоде?

3.В чем состоит сущность метода неопределенных множителей Лагранжа при решении задач оптимизации?

4.В чем состоит экономический смысл неопределенных множителей Лагранжа? Какой экономический смысл имеет точка пересечения кривых изокванты и изокосты?

5.В чем проявляется двойственность задач оптимизации в экономике? Одинаковые ли оптимальные решения имеют двойственные задачи?

6.Какие задачи относятся к классу задач математического программирования?

7.Каков смысл ограничений в задачах линейного и нелинейного программирования?

8.Чем отличается формулировка задачи линейного программирования в канонической форме от общей постановки задачи линейного программирования?

9.В каких случаях задача линейного программирования может не иметь решения?

10.Если область допустимых решений является неограниченной, то может ли задача линейного программирования иметь решение?

11.Какое ограничение называют лимитирующим?

12.Какое ограничение называется нелимитирующим?

13.Может ли оптимальное решение располагаться внутри области допустимых планов?

14.Может ли задача линейного программирования иметь бесконечное множество решений? Если да, то в каких случаях это возможно?

15.Если добавить новое ограничение, то это приведет к улучшению или ухудшению оптимального значения?

16.Введение дополнительных переменных улучшит или ухудшит оптимальное значение переменных модели?

17.Какой смысл имеет теневая цена ограничений в отчете по устойчивости программы Поиск решения Excel?

18.Какой смысл имеет понятие «нормированная стоимость» в отчете по устойчивости программы Поиск решения Excel?

19.В каком случае даже очень малое изменение целевых коэффициентов может привести к существенному изменению оптимального решения?

62

20.В каком случае решение задачи линейного программирования называется вырожденным?

21.Какие постановки задачи в транспортной модели вы знаете?

22.Чем отличается транспортная задача от задачи назначений?

23.Почему транспортные модели достаточно часто допускают многоцелевую оптимизацию?

24.В каком случае программа Поиск решения Excel не генерирует отчет по устойчивости?

25.Чем динамические модели программирования отличаются от совокупности нескольких моделей программирования для разных временных интервалов?

26.В каком случае в отчете по устойчивости теневые цены ограничений помещаются в столбец Нормированная стоимость?

27.Какая область допустимого множества решений называется выпуклой?

28.Каким условиям должны удовлетворять ограничения, чтобы область допустимых решений была выпуклой?

29.Какие задачи нелинейного программирования имеют глобальный экстремум?

30.Как интерпретируются значения множителей Лагранжа отчета по устойчивости программы Поиск решения?

31.Можно ли при решении задач нелинейного программирования в качестве начальных выбирать значения переменных, не принадлежащие области допустимых планов?

32.Какие три основных подхода используются при постановке задач многокритериальной оптимизации?

33.Дайте определение понятия риска. Полностью ли эквивалентны понятия

«риск» и «упущенная возможность»?

34.По каким параметрам обычно классифицируются математические игры?

35.Дайте определение понятий «стратегия игрока», «матрица выигрышей».

36.В чем состоит критерий Лапласа при принятии решений в условиях неопределенности?

37.Сформулируйте критерий минимакса максимина, которые используются при принятии решений в условиях неопределенности.

38.Сформулируйте критерий Сэвиджа, который используется при принятии решений в условиях неопределенности.

39.Сформулируйте критерий пессимизма – оптимизма Гурвица, который используется при принятии решений в условиях неопределенности.

40.Какие критерии обычно используются при принятии решений в условиях риска?

41.В чем сущность принятия решений в условиях риска с помощью дерева решений?

42.Для каких целей может быть использована функция полезности ЛПР при принятии решения в условиях риска?

43.Какими свойствами должна обладать функция полезности? Возрастает или убывает относительная полезность денег? От чего это может зависеть?

63

44.Как может быть построена функция Неймана – Моргенштерна для конкретного лица, принимающего решения, или фирмы?

45.Поясните понятие «портфель ценных бумаг».

46.Назовите и охарактеризуйте основные количественные характеристики портфеля ценных бумаг.

47.В чем заключается смысл операций коротких продаж?

48.Какой смысл имеет понятие «диверсификация портфеля»?

49.Какова природа рыночного и нерыночного рисков?

50.В чем состоит сущность модели инвестиционного портфеля Г. Марковица?

51.Поясните на конкретном примере понятие Парето-оптимального, или эффективного, портфеля инвестиций.

52.Как учитывается рыночный риск в модели У. Шарпа?

Задачи и упражнения

Метод неопределенных множителей Лагранжа

3.1. Производственная функция имеет вид функции Кобба – Дугласа

Y (K, L) A K L1 .

Условная цена единицы каждого из двух производственных ресурсов равна r и w соответственно. Допустимые финансовые затраты производителя (издержки производства) ограничиваются некоторой величиной J . Определите оптимальный план использования ресурсов, т. е. найдите такие значения K0 , L0 , кото-

рые обеспечивали бы максимум производственной функции Y (K, L) при выполнении бюджетного ограничения r K0 w L0 J .

а) Получите аналитическое решение, самостоятельно выбрав значения параметров задачи A, , J , r, w .

Сформулируйте двойственную задачу, и, решив ее с помощью неопределенных множителей Лагранжа, убедитесь, что двойственные задачи имеют одинаковое оптимальное решение.

Получите решение графическим способом.

Получите решение с помощью программы Поиск решения.

3.2. Производственная функция имеет вид функции Кобба – Дугласа

Y (K, L) 10 K 0,25 L1,25 ,

а бюджетное ограничение определяется уравнением 1000 10 r 20 w , где r и w – стоимость единицы капитальных и трудовых ресурсов.

а) Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, определите оптимальный план использования ресурсов.

б) Сформулируйте двойственную задачу и решите ее методом неопределенных множителей Лагранжа.

в) Рассчитайте эластичность замещения ресурса K ресурсом L при оптимальных значениях параметров K и L .

3.3. Задачу задания 3.1:

64

а) Решите аналитически, используя метод неопределенных множителей Лагранжа для набора параметров A 1, 1.5, 2.5, p 10 , q 20 ,

J 1000.

б) Найдите значение множителя Лагранжа и дайте ему экономическую интерпретацию.

в) Решите задачу численно, используя Поиск решения в Excel. Создав отчет по устойчивости, найдите численное значение множителя Лагранжа, сравнить его со значением, найденным аналитически.

3.4. Удовлетворяет ли условиям оптимальности состояние производственной системы при величине предельных продуктов MYL 10, MYK 8 , если цены

единицы ресурсов равны, w 5 и r 4 ? Что произойдет, если стоимость единицы капитала возрастет до величины r 5 ?

3.5. Решите методом неопределенных множителей Лагранжа задачу оптимизации издержек при фиксированном объеме выпуска продукции:

Дайте геометрическую интерпретацию решения. Сравните найденное решение с результатами численного решения задачи в Excel при значениях парамет-

ров A 10 , 0,75 , 0,25, p 10 , q 20 , Q0 480 .

3.6. Цены на два вида товаров равны соответственно 20 и 8 долларов за килограмм. Определите, при каком количестве продаж x и y этих товаров прибыль

будет максимальной, если функция издержек имеет вид

C(x, y) 0,5 x2 0,2 x y 0,01 y2 ,

а общий объем продаж товаров не может превышать 20 кг. Задачу решите аналитически, используя методы неопределенных множителей Лагранжа и метод подстановок, а также численно, с помощью программы Поиск решения. Дайте экономическую интерпретацию множителя Лагранжа.

3.7. Цены на два вида сырья A и B равны соответственно 15 и 23 доллара за килограмм. Оптовый покупатель согласился закупить продукции на 500 долларов. Сколько килограммов продукции A и B следует предложить покупателю, чтобы прибыль от этой сделки была наибольшей, если функция издержек имеет

вид C(x, y) 0,5 x2 0,6 xy 0,8 y2 , где x и y – количество произведенного сырья вида A и B ?

3.8. Фирма реализует автомобили двумя способами – через розничную торговлю и оптовую торговлю. При реализации x1 автомобилей в розницу расходы на

реализацию составляют 4 x1 x12 тыс. руб., а при продаже x2 автомобилей оптом – x22 тыс. руб. Найдите оптимальный способ реализации автомобилей,

минимизирующий суммарные расходы, если общее число автомобилей, выставленных на продажу, составляет 200 шт.

3.9. При использовании L единиц труда и K единиц капитала производительность компании определяется формулой

65

Y (K, L) 2 L2 K 3 L K 2 2 K 3 .

Стоимость труда и капитала составляет 50 и 100 долларов за единицу соответственно. Сколько единиц труда и капитала должна использовать компания, если ее бюджет составляет 150 000 долларов? Оптимизацию выполните с помощью программы Поиск решения. При оптимизации следует учесть, что компания может выступать как поставщик труда и капитала. Покажите, что оптимальное решение удовлетворяет условию

MYL w , MYK r

где MYK Y K , MYL Y L , w, r – стоимость единицы трудовых и капитальных ресурсов.

Оптимизация производства

3.10. Компания производит два вида шин – A и B Удельная прибыль компании составляет 50 долларов с каждой шины типа A и 10 долларов с каждой шины типа B . Оба вида шин производятся на одних и тех же станках в результате двухэтапного производственного цикла. Время, необходимое для обработки одной шины каждого типа, и суммарный ресурс рабочего времени показаны в таблице.

Контракт на поставку 20 шин типа A и 4 шин типа B уже подписан.

а) С помощью программы GLP составьте производственный план, максимизирующий прибыль.

б) Как изменится оптимальное значение целевой функции, если ресурс рабочего времени станка 2 увеличить до 120 часов?

в) Что произойдет, если ресурс рабочего времени станка A упадет до 100 часов?

г) Получите оптимальное решение с помощью программы Поиск решения и сравните результат с результатами графического анализа.

3.11. Полиграфическая компания выпускает два рекламных издания A и B , стоимость производства которых 50 и 100 долларов за 1 000 экземпляров. Печатаются оба рекламных издания на одной печатной машине, которая печатает 1 000 экземпляров издания A за один час рабочего времени, а 1 000 экземпляров издания B – за 0,5 часа. Ресурс печатной машины на следующей неделе 120 часов. Оба издания обрабатываются фальцевальной машиной, которая складывает оба издания с одинаковой скоростью 1 000 экземпляров в час. Ресурс фальцевальной машины на следующей неделе 200 часов. Компания планирует печать рекламных изданий на следующую неделю, ставя задачу минимизировать за-

66

траты на издание печатной продукции, обеспечив при этом полную загрузку печатного станка. Определите с помощью программы GLP оптимальный производственный план и его минимальную стоимость.

3.12.Менеджер полиграфической компании из задачи 3.11 решил максимизировать прибыль, получаемую от продажи рекламных листков, которая составляет 25 и 45 долларов за 1 000 экземпляров для рекламных изданий A и B соответственно. Необходимо напечатать не менее 60 000 экземпляров листка A и не менее 30 000 экземпляров издания B . Ограничение на ресурс рабочего времени печатного станка и фальцевальной машины осталось прежним. Получите оптимальное решение графическим способом с помощью программы GLP. Определите, какие ограничения являются лимитирующими, а какие нет.

3.13.Мебельная фирма производит два вида стульев – «Мечта» и «Лада». Компании требуется оптимизировать план недельного производства стульев, исходя из того, что прибыль от продажи одного стула «Мечта» составляет 56 рублей, а от продажи одного стула «Лада» – 40 рублей.

Для сборки стульев нужны длинные и короткие штифты, ножки и одно из двух типов сидений. Недельный запас этих изделий на складе ограничен. Данные о потребностях деталей каждого вида для сборки одного стула и запасе деталей на складе приведены в таблице.

Профсоюзы настояли на том, чтобы в трудовом договоре было записано условие, согласно которому недельный объем производства не может быть менее 100 стульев.

Перед менеджерами компании стоит задача определить оптимальный план недельного производства стульев каждого типа.

3.14. В условиях предыдущей задачи, используя отчет по устойчивости, ответьте на следующие вопросы:

67

д) Изменится ли оптимальный план производства стульев, если прибыль от продажи стульев «Лада» станет меньше на 20 долларов?

е) Изменится ли оптимальный план производства стульев, если прибыль от продажи стульев «Мечта» станет меньше на 20 долларов?

3.15. Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. При этом запас древесностружечных плит, досок еловых и березовых 90, 30 и 14 куб.м соответственно. Плановый фонд рабочего времени – 16 800 человекочасов.

Исходя из необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям, постройте модель, на основе которой можно найти план производства, максимизирующий прибыль.

3.16.Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1 010, 1 010 и 9 450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 часа. На расфасовке 1 т сметаны специальные автоматы расходуют 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 ч, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 3 000 2 200 и 13 600 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока. Постройте математическую модель, позволяющую определить объемы выпуска молочной продукции, позволяющие получить наибольшую прибыль.

3.17.Частное предприятие может производить пять различных продуктов в произвольном соотношении. В выпуске каждого вида продукции принимает участие три станка. Технологические параметры производства приведены в таблице

68

Затраты на зарплату составляют 4 доллара для станочников 1-го и 2-го станков и 3 доллара, для станочника на третьем станке. Ресурс рабочего времени каждого станка составляет 128 часов в неделю.

3.18.Брокеру биржи клиент поручил разместить 100 000 долл. США на фондовом рынке с целью получить максимально возможную прибыль с вложенного капитала. Выбор ограничен покупкой акций четырех возможных видов – А, Б, С, Д, которые позволяют получить годовой доход 6, 8, 10 и 9 % годовых от вложенной суммы. С целью обеспечения ликвидности не менее 25 % общей суммы капитала нужно поместить в акции Д. Клиент не менее половины капитала желает вложить в акции А и Б. Учитывая прогноз на изменение ситуации в будущем, считается целесообразным в акции С вложить не более 20 % капитала. Наконец, учитывая возможное изменение в законодательстве, в акции А разумно вложить не менее 30 % капитала. Сформируйте инвестиционный портфель, обеспечивающий наибольший годовой доход.

3.19.Компания, производящая стиральный порошок, хочет выпустить на рынок новый продукт. На рекламную кампанию в первый месяц продвижения продукта на рынок выделено 80 000 долларов. Компания обратилась за помощью в рекламное агентство, которое предоставило следующие данные о воздействии рекламы на целевую аудиторию:

Рекламное агентство располагает информацией о снижении степени воздействии рекламы при ее многократном повторении. В частности, в агентстве считают, что на дневном радио эффективность первых 5 рекламных объявлений можно оценить 60 баллами, следующих 5 – 40 баллами, а всех последующих –

69

20 баллами. Таблица эффективности рекламных объявлений в различных СМИ приведена ниже.

Фирма-производитель стирального порошка сформулировала и некоторые дополнительные условия: а) в каждом СМИ должно быть размещено не более 25 объявлений; б) общими усилиями всех СМИ объем продаж должен возрасти на 2 000 000 единиц товара; в) не мене четверти всех рекламных объявлений должно быть сделано на дневном радио.

а) Запишите математическую модель задачи.

б) Постройте табличную модель, позволяющую получить интерпретируемый отчет по устойчивости.

в) Проверьте, проводя повторную оптимизацию, правильность интерпретации теневых цен ограничений и нормированной стоимости переменных.

3.20. Компании с фиксированным бюджетом капитальных вложений необходимо подобрать смешанный набор инвестиционных проектов, приносящих максимальную прибыль. Общий объем выделяемых на инвестиции финансовых ресурсов равен 250 000 долларов. Возможные виды инвестиционных проектов, их объемы и текущие доходы представлены в таблице.

Проекты A и B являются взаимоисключающими, проекты D и E – взаимосвязанными. После получения оптимального плана:

а) Для каждой переменной найдите диапазон вариации коэффициентов целевой функции, для которого оптимальное значение переменной остается неизменным.

70