Управление запасами

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ

I.1. Общие сведения математической теории управления запасами

Математическое моделирование управления запасами используется для оценки оптимального запаса материальных ресурсов, предметов потребления, товаров различного вида и т.п. с целью удовлетворения спроса на некотором интервале времени. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа.

Многие примеры, приводимые в настоящем пособии, будут затрагивать создание запаса товаров в магазине. Однако запасы необходимы практически для любой организации. Это и запасы канцтоваров в офисе, и запасы деталей и заготовок на заводе, и запасы удобрений и ГСМ в сельскохозяйственном предприятии и т.д.

Имеющийся спрос можно удовлетворить по-разному. Существует два крайних случая:

создать большой запас на весь предполагаемый период действия организации (на весь срок годности товара, на весь имеющийся объем склада и т.п.) и из этого запаса удовлетворять все поступающие заявки (крайне избыточный запас);

завозить товар по мере поступления заявки (полное отсутствие запаса). Достоинствами первого варианта является минимум затрат на оформле-

ние и доставку запасов, минимизация рисков дефицита, возможные скидки от объемов закупки. Недостатки первого варианта – большие капиталовложения в организацию хранения товара, риски порчи и устаревания товара.

Второй способ имеет высокую себестоимость организации поставок и высокие риски дефицита, однако не требует больших затрат средств на хранение.

В большинстве организационных и торговых систем организация поставок обоими крайними способами приводит к значительным затратам. Необходим некоторый промежуточный вариант, минимизирующий совокупные затраты. Заметим, что обычно объем спроса не зависит от организации поставок и определяется потребностями в товаре. В связи с этим суммарный объем поставок за интер-

вал времени должен быть неизменным. В частности, если поставки могут осуществляться только одинаковыми партиями размера Q , а число таких партий за

интересующий интервал времени равно n , то их произведение постоянно:

Q n Qсуммарное const .

1

Совокупные затраты системы управления запасами в самом общем случае можно выразить в виде следующей суммы:

L Lоф Lпр Lдост Lхр Lпот Lдеф

где участвуют следующие составляющие:

Lоф – затраты на оформление заказа;

Lпр – затраты на приобретение заказа;

Lдост – затраты на доставку заказа;

Lхр – затраты на хранение заказа;

Lпот – затраты на потерю заказа (потери при порче товара или снижении

его продажной цены);

Lдеф – затраты на дефицит (выплаты неустоек при отсутствии товара, потеря репутации, недополучение прибыли).

Затраты на оформление заказа представляют собой расходы, связанные с его подбором и оформлением. Они обычно слабо зависят от размера заказа и во многих моделях принимаются постоянными. В этом случае, при организации поставок мелкими партиями затраты на оформление растут пропорционально количеству этих партий, а увеличение размера партии поставки соответственно снижает их.

Затраты на приобретение определяются закупочной ценой на единицу товара. В случае неизменности цены в зависимости от объема поставки эти затраты за общую сумму заказов постоянны и не зависят от размеров партий. Ситуация заметно меняется, если используются скидки в зависимости от размера партии заказа (оптовые скидки).

Затраты на доставку заказа могут быть постоянными для каждой партии (в случае, когда вся партия доставляется единым средством и не превышает его размеры) и пропорциональными размеру партии (когда доставляется большое количество товара и средства доставки пропорциональны размерам заказа). В первом случае эти затраты аналогичны затратам на оформление и растут пропорционально количеству партий заказа. Во втором случае имеем аналог затрат на приобретение, они не меняются в зависимости от количества партий и едины для неизменной общей суммы заказа.

Затраты на хранение запаса представляют собой расходы на организацию хранения (аренда или покупка помещений, зарплата складского персонала) и содержание запасов на складах (энергозатраты на холодильные и/или нагревательные установки и т.п.). В зависимости от системы хранения эти затраты могут быть пропорциональны размеру максимального количества запаса (при организации больших складских помещений) или пропорциональны произведению текущего количества запаса на время его хранения (при малых запасах).

2

Врезультате анализа мы должны дать ответ на два основных вопроса:

Сколько ресурса заказывать?

Когда заказывать?

Вкачестве ответа на первый вопрос мы должны определить оптимальный размер заказа – количество ресурсов, которое необходимо поставлять каждый раз, когда происходит размещение заказа.

Вкачестве ответа на второй вопрос мы должны определить оптимальную точку заказа – момент, когда необходимо производить заказ. В зависимости от системы УЗ, точка заказа может определяться как временем (момент заказа), когда необходимо размещать заказ, так и количеством товара, оставшегося в системе (уровень запаса), при котором необходимо делать новую заявку.

Обычно при осуществлении периодического контроля состояния запасов (раз в день, неделю, месяц и т.д.) необходимо обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные интервалы времени, совпадающие с интервалами периодического контроля. Примером такой системы может служить организация запасов канцтоваров в офисе с ежемесячным или ежеквартальным сбором отчетов об использовании и заявок.

При осуществлении непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достига-

ет точки заказа.

I.2. Модель Уилсона

Простейшей моделью управления запасами является Модель Уилсона. Эта модель достаточно хорошо описывает незначительные поставки продуктов первой необходимости (хлеб, молоко и т.п.), организацию запасов предметов обеспечения текущей деятельности организации (канцтовары, электротовары и т.п.), поставки запчастей для механизмов и расходных материалов и ряд других ситуаций.

В модели Уилсона принимаются следующие допущения.

1.Имеется внешний неограниченный источник товара. Заказ достав-

ляется от поставщика, у которого имеется неограниченное количество товара или со склада, на котором хранится ранее произведенный товар в достаточно больших количествах.

Неограниченность товара необходимо понимать в рамках данной задачи следующим образом. Количество товара у поставщика или на складе должно быть таким, чтобы удовлетворить каждый раз любую требуемую нами заявку. Например, для розничного магазина, закупающего по 5-10 коробок товара в день, достаточно, чтобы на складе постоянно находилось не менее 10 коробок товара.

2.Известна интенсивность потребления, и она не меняется с течени-

ем времени. Это справедливо, когда отсутствуют сезонные или недельные ко-

4

лебания спроса или ими можно пренебречь в рамках данной задачи. Рассмотрим, например, ситуацию с поставками и продажами пищевых продуктов длительного хранения (крупы, растительное масло и т.п.). Эти товары испытывают сезонные и недельные колебания спроса. Однако период их поставки обычно заметно больше недели, но меньше полугода. В этих условиях для оптимизации поставок мы можем рассматривать средненедельную интенсивность спроса, а оптимизировать поставки в течение каждого сезона в отдельности.

3.Время поставки заказа – известная постоянная величина.

4.Каждый заказ поставляется в виде одной партии.

5.Затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа.

Считается, что оформление заявки и документов на получение заказа не зависит от его размеров. От размеров заказа в рамках данной постановки мы считаем независимой и стоимость доставки товара (это предположение, очевидно, справедливо для розничных и мелкооптовых партий товара, умещающихся в одной машине).

6.Затраты на хранение и потери запаса пропорциональны размеру хранимого запаса и времени хранения.

7.Недопустим дефицит товара. То есть товар всегда должен быть в наличии.

Таким образом, в рамках этой модели справедливо:

Lоф Lдост K n .

Lпр C T const .

Lхр Lпот s z T .Lдеф 0 .

где

K – затраты на оформление и доставку одной партии товара (руб.);

n – количество партий товара за рассматриваемый интервал времени;

C– цена за единицу товара (руб./ед.тов.);

– интенсивность (скорость) потребления запаса (ед. тов./ед. времени);

T– продолжительность рассматриваемого интервала времени (ед. времени);

s – затраты на хранение единицы товара в единицу времени (руб./ед.тов ед. времени.);

z – среднее количество запасов (ед.тов.).

Анализ модели Уилсона показывает, что оптимально поставлять товар одинаковыми партиями размера Q . Тогда за рассматриваемый интервал време-

ни T будет поставлено товара Q n . За этот же промежуток времени товар будет потреблен в количестве T . Из условия недопустимости дефицита и нерациональности поставок, превышающих спрос следует условие:

Q n T .

5

обычно интервал T задает лишь характерное время анализа (например неделю, месяц и т.п.). В этом случае важна лишь частота поставок и число n может быть нецелочисленным (например 3,2 поставки в неделю означает, что необходимо осуществлять 16 3,2 5 поставок за 5 недель).

Уровень запаса товара в данной модели представлен на рис. I.2.1.

Уровень запаса

– моменты получения заказов

Размер партии заказа Q

Средний уровень запаса z Q2

Рис. I.2.1. График циклов изменения запасов по модели Уилсона.

Средний уровень запаса в модели Уилсона равен z Q2 ,

тогда затраты за рассматриваемый интервал времени равны

Все величины, кроме объема партии Q , в этих формулах постоянны. Если потребовать минимума величины совокупных затрат:

L L Q min ,

то из необходимого условия экстремума

6

По формуле (I.2.1) определяем оптимальное количество поставок за исследуемый интервал времени:

7

оптимальную частоту заказов nT

и интервал между поставками Tn :

Если время выполнения и доставки заказа равно tд , то очевидно, необ-

ходимо подавать заказ за это время до требуемого момента получения заказа (см. рис. I.2.3.). При этом величина запаса в момент подачи заказа qзак (точка

Рис. I.2.3. График циклов изменения запасов по модели Уилсона с учетом времени доставки.

8

Методические указания по использовании модели Уилсона

На первом этапе из наблюдений за системой и статистических исследований, анализа документов, заявок и цен определяют входные параметры модели:

K – затраты на оформление и доставку одной партии товара;

C – закупочная цена за единицу товара;

– интенсивность потребления запаса;

s – затраты на хранение единицы товара в единицу времени;

tд – время оформления и доставки заказа.

Далее задаются интересующим интервалом времени T . Его желательно выбирать так, чтобы он включал в себя достаточно много интервалов краткосрочных изменений системы – суточных и недельных периодов изменения спроса, предполагаемых периодов поставки и т.п. Вместе с тем он должен быть заметно меньше длительных периодов колебаний состояния системы, таких как сезонные изменения. Все определенные выше параметры должны быть практически неизменны на выбранном интервале.

На следующем этапе по модели Уилсона определяем выходные параметры: оптимальные параметры заказов и минимальные затраты на организацию управления запасами:

определяем оптимальный объем партии заказа Qопт по формуле (I.2.2);

определяем оптимальные совокупные затраты Lmin на организацию и хранение ресурса по формуле (I.2.3);

определяем оптимальное количество поставок nопт за интервал времени T , оптимальную частоту поставок опт и оптимальный интервал между поставками опт по формулам (I.2.4), (I.2.5) и (I.2.6);

определяем точку заказа qзак – объем запаса, при котором необходимо делать следующий заказ по формуле (I.2.7).

Заметим, что после определения Qопт по формуле (I.2.2) часто требуется округление результата. В связи с этим, все последующие величины желательно определять по «исходным» формулам, которые представлены в первых частях выражений (I.2.3 – I.2.7).

Важное замечание! Необходимо, чтобы все параметры задачи были согласованы по единицам измерения! Например, денежные единицы только в рублях или только в тысячах рублей и т.п. Все единицы времени – только в днях или только в неделях или только в месяцах и т.п. Все единицы измерения количества продукции – только в штуках или только в ящиках или только в тыс. шт. и т.п.

9

I.3. Моделирование системы управления запасами

с «собственным» производством

Модель Уилсона используется для моделирования процессов закупки продукции у внешнего поставщика. Если у нас имеется возможность собственного производства продукции, то необходимо модифицировать описанную выше модель.

В новой модели принимаются допущения во многом схожие с допущениями модели Уилсона:

1. Имеется собственный источник ресурса с известной интенсивно-

стью производства . Мы можем производить ресурс на собственном производстве или заказывать его производство. Скорость производства равна единиц товара в единицу времени. Очевидно, что для удовлетворения спроса интенсивности ед. товара/ед. времени необходимо выполнение условия

.

2.Известна интенсивность потребления , и она не меняется с течением времени.

3.Время переналадки оборудования на производство данного товара – известная постоянная величина tнал .

4.Каждый заказ производится в виде одной партии.

5.Затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа. В

данном случае затраты на оформление заказа состоят прежде всего из стоимости перенастройки производства под выпуск данного товара, а также стоимости оформления документов и доставки товара от производства. Очевидно, что при незначительных объемах перевозок эти затраты не зависят от размера партии производимого товара.

6.Затраты на хранение и потери запаса пропорциональны размеру хранимого запаса и времени хранения.

7.Недопустим дефицит товара.

10