- •Содержание
- •Классификация случайных событий
- •Действия над событиями.
- •Элементы комбинаторики
- •Примеры вычисления вероятностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Случайные величины
- •Формы законов распределения дискретной случайной величины
- •Формы законов распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства плотности вероятности:
- •Свойства функции распределения:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 7. Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 8. Основные законы распределения случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Тема 9. Законы распределения двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Задачи для самостоятельно решения
- •Тема 10. Выборка и ее представление. Выборочные моменты
- •Эмпирическая функция распределения
- •Выборочные характеристики
- •Выборочные моменты
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 11. Методы нахождения точечных оценок
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 12. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 13. Задачи проверки статистических гипотез
- •Правила проверки гипотез
- •Критерий - Пирсона
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложения
- •Критические точки распределения с числом степеней свободына уровне значимости
- •Критические точки -распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения Фишера-Снедекора
Тема 12. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов
Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Если объем выборки мал, то точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Вычисленная точечная оценка может быть близка к оцениваемому параметру, а может и очень сильно отличаться от него. Точечная оценка не несет информацию о точности процедуры оценивания.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала - и содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Пусть имеется выборка объема и- статистическая оценка неизвестного параметра(- случайная величина, т.к. найдена по выборочным данным).
Доверительным интервалом называется интервал со случайными границами (,), в котором с заданной вероятностьюнаходится оцениваемый параметр
Вероятность называетсядоверительной вероятностью.
Доверительная вероятность задается априорно. Чем ближе к единице, тем точнее оценка. Для практических целей обычно выбирают; 0,99 или 0,9973. Доверительная вероятность, например, 0,95 означает, что мы пренебрегаем возможностью появления события (считаем его невозможным), вероятность которого меньше 1-0,95=0,05.
Т.к. при различных выборках получаются различные значения оценки , то и доверительные границы изменяются от выборки к выборке. Поэтому лучше говорить не о вероятности попадания параметра в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал накроет параметр.
Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины с заданной надежностью в случае нормального закона распределения определяется на основе неравенств
,
где — значение аргумента функции Лапласа, получаемое из таблиц (см. Приложение 1), с учетом того, что;
—известное среднее квадратичное отклонение или его оценка;
—объем выборки.
Пример 1. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины , если известны ее среднее квадратическое отклонение , выборочное среднее и объем выборки.
Решение. По надежности из соотношениянаходим значение функции Лапласа:.
По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 1) находим . Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания, получаем
или .
Задачи для самостоятельного решения
Найти доверительный интервал с надежностью 0,8 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины со средне квадратическим отклонением , выборочным средним и объемом выборки.
На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равным 50 кг. Предположив распределение веса нормальным и определив несмещенную оценку выборочной дисперсии , найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью а)0,8; б) 0,9; в) 0,95.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом и найдено выборочное среднее, равное 30. Получено также несмещенное значение выборочной дисперсии. Предположив распределение случайной величины нормальным, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью а) 0,8 и б) 0,9.
Случайная величина распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице
|
3 |
5 |
7 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
3 |
7 |
4 |
6 |
7 |
5 |
8 |
Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для оценки математического ожидания.
Случайная величина распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
2 |
5 |
4 |
6 |
3 |
Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания.