- •Содержание
- •Классификация случайных событий
- •Действия над событиями.
- •Элементы комбинаторики
- •Примеры вычисления вероятностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Случайные величины
- •Формы законов распределения дискретной случайной величины
- •Формы законов распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства плотности вероятности:
- •Свойства функции распределения:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 7. Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 8. Основные законы распределения случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Тема 9. Законы распределения двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Задачи для самостоятельно решения
- •Тема 10. Выборка и ее представление. Выборочные моменты
- •Эмпирическая функция распределения
- •Выборочные характеристики
- •Выборочные моменты
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 11. Методы нахождения точечных оценок
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 12. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 13. Задачи проверки статистических гипотез
- •Правила проверки гипотез
- •Критерий - Пирсона
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложения
- •Критические точки распределения с числом степеней свободына уровне значимости
- •Критические точки -распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения Фишера-Снедекора
Тема 10. Выборка и ее представление. Выборочные моменты
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы обработки статистических данных с целью построения вероятностной модели случайного явления.
Исходными данными в математической статистике являются результаты статистического эксперимента, представленные в численном виде.
Статистический эксперимент обычно состоит из отдельных наблюдений за некоторой случайной величиной. Результат отдельного наблюдения случаен и может быть описан случайной величиной.
Совокупность результатов всех наблюдений называетсявыборкой. Конкретные значения, полученные в эксперименте, называются выборочными значениями . Число элементов выборкиназываетсяобъемом выборки.
На основе выборочных значений строятся оценки функции распределения и числовых характеристик генеральной совокупности.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение наблюдалосьраз, значениенаблюдалосьраз, …,наблюдалосьраз. Объем выборки Выборочные значения иначе называютсявариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число называютчастотой варианты , а числоназываютотносительной частотой. Разность называется размахом выборки.
Важной характеристикой вариационного ряда является его медиана (или середина), которая равна при нечетном, т.е.ипри четном объеме выборки.
Выборочным распределением (статистическим рядом) называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Пример 1. Задано распределение частот выборки объема . Написать распределение относительных частот.
2 |
6 |
12 | |
3 |
10 |
7 |
Решение: ,,
, .
2 |
6 |
12 | |
0,15 |
0,5 |
0,35 |
Для наглядности статистический ряд представляют графически в виде полигонов и гистограмм частот.
Полигон, как правило, служит для изображения дискретного статистического ряда и представляет собой ломаную линию, в которой концы отрезков прямой имеют координаты ,,...,.Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ,,...,.
Гистограмма (статистический аналог плотности) служит для изображения интервальных (непрерывных) статистических рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака и высотами, равными частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения. Для построения гистограммы используют метод группировки: т.е. область возможных значений разбивают на некоторое число непересекающихся интервалов, подсчитывают количество наблюдений, попавших в соответствующий интервал – это,, и строят кусочно-постоянную функцию, где – длина соответствующего интервала. Заметим, что метод группировки применяется и для дискретных данных. Относительные частотыni/n в любом случае являются статистическими аналогами (оценками) для вероятностей.
Эмпирическая функция распределения
Важной сводной характеристикой выборки является эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки), которая определяется формулой
,
где – число наблюдений, при которых значение признака меньше,– объем выборки.
Свойства эмпирической функции распределения
Функция определена на всей числовой прямой.
Монотонно не убывает.
Является ступенчатой, со скачками в точках .
При .
При .
Функция при большом числе наблюдений близка в каждой точке к теоретической функции распределения. Поэтому для больших выборок график эмпирической функции распределения дает хорошее приближение к (неизвестной) теоретической функции распределения. В этом смысле о функцииговорят как остатистическом аналоге для .
Пример 2. Построить по данной выборке эмпирическую функцию распределения и полигон относительных частот
2 |
6 |
8 |
10 | |
6 |
16 |
18 |
20 |
Решение. Объем выборки . Составим функцию:
или
График этой функции изображен на рис. 6.
Рис. 6.
По таблице относительных частот построим полигон (рис. 7).
2 |
6 |
8 |
10 | |
6/60 |
16/60 |
18/60 |
20/60 |
Рис. 7.