- •Содержание
- •Классификация случайных событий
- •Действия над событиями.
- •Элементы комбинаторики
- •Примеры вычисления вероятностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Случайные величины
- •Формы законов распределения дискретной случайной величины
- •Формы законов распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства плотности вероятности:
- •Свойства функции распределения:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 7. Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 8. Основные законы распределения случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Тема 9. Законы распределения двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Задачи для самостоятельно решения
- •Тема 10. Выборка и ее представление. Выборочные моменты
- •Эмпирическая функция распределения
- •Выборочные характеристики
- •Выборочные моменты
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 11. Методы нахождения точечных оценок
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 12. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 13. Задачи проверки статистических гипотез
- •Правила проверки гипотез
- •Критерий - Пирсона
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложения
- •Критические точки распределения с числом степеней свободына уровне значимости
- •Критические точки -распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения Фишера-Снедекора
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины приназывается число
.
Для непрерывных случайных величин условное математическое ожидание определяется интегралом
Условное математическое ожидание называют также регрессией на.
Корреляционным моментом случайных величин иназывается математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий
.
Коэффициентом корреляции называется
.
Линейной средней квадратической регрессией наназывается функция вида
,
где ,,,.
Задачи для самостоятельно решения
1. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
|
1 |
3 |
4 |
| ||||
2 |
0,16 |
0,10 |
0,28 | |
3 |
0,14 |
0,20 |
0,12 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
2. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
2 |
3 |
5 | |
| ||||
1 |
0,06 |
0,18 |
0,24 | |
4 |
0,12 |
0,13 |
0,27 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
3. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
1 |
2 |
4 | |
| ||||
3 |
0,12 |
0,24 |
0,22 | |
4 |
0,20 |
0,15 |
0,07 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
4. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
2 |
3 |
4 | |
| ||||
1 |
0,16 |
0,10 |
0,28 | |
3 |
0,14 |
0,20 |
0,12 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
5. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
2 |
3 |
5 | |
| ||||
4 |
0,06 |
0,18 |
0,24 | |
6 |
0,12 |
0,13 |
0,27 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
6. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
2 |
3 |
4 | |
| ||||
1 |
0,16 |
0,10 |
0,28 | |
3 |
0,14 |
0,20 |
0,12 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
7. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
2 |
4 |
5 | |
| ||||
1 |
0,12 |
0,13 |
0,24 | |
3 |
0,18 |
0,06 |
0,27 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
8. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
4 |
5 |
6 | |
| ||||
2 |
0,06 |
0,18 |
0,24 | |
3 |
0,12 |
0,13 |
0,27 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при.
9. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
2 |
4 |
5 | |
| ||||
1 |
0,12 |
0,13 |
0,24 | |
3 |
0,18 |
0,06 |
0,27 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при, записать уравнение регрессиина.
10. Двумерная случайная величина задана законом распределения:
|
1 |
3 |
4 | |
| ||||
3 |
0,13 |
0,24 |
0,12 | |
6 |
0,18 |
0,06 |
0,27 |
Составить законы распределения составляющих. Найти условное математическое ожидание при, записать уравнение регрессиина.
11. Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми,,,, если известна функция распределения,,.
12. Найти плотность совместного распределения системы случайных величин по известной функции распределения ,,.
13. Найти функцию распределения двумерной случайной величины по данной плотности совместного распределения .
14. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины в квадрате,; вне этого квадрата. Найти параметр.
15. Плотность совместного распределения системы двух непрерывных случайных величин задана формулой
Найти плотности распределения составляющих.
16. Плотность совместного распределения системы двух непрерывных случайных величин задана формулой
Найти условную плотность вероятности .
17. Дана плотность вероятности системы случайных величин :
, ,.
Определить: а) функцию распределения системы; б) математические ожидания и.
18. Система случайных величин имеет плотность вероятности
.
Требуется: а) определить величину параметра ; б) найти функцию распределения.
19. Определить плотность вероятности системы случайных величин по заданной функции распределения
, ,.
20. Из отобранных изделийоказались кондиционными, среди которых() – высшего сорта. Системазадана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | |
| ||||||||
0 |
0,202 |
0,174 |
0,113 |
0,062 |
0,049 |
0,023 |
0,004 | |
1 |
0 |
0,099 |
0,064 |
0,040 |
0,031 |
0,020 |
0,006 | |
2 |
0 |
0 |
0,031 |
0,025 |
0,018 |
0,013 |
0,008 | |
3 |
0 |
0 |
0 |
0,001 |
0,002 |
0,004 |
0,011 |
Требуется: а) составить функцию распределения; б) определить вероятность получения не менее двух изделий высшего сорта; в) определить и.
21. Плотность вероятности системы случайных величин равна
при .
Определить постоянную .
22. Определить вероятность попадания точки с координатами в область, определяемую неравенствами,, если функция распределения ()