Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа

1. Формула Пуассона

Использование формулы Бернулли при больших значениях ивызывают большие трудности. Например, при 1000 подбрасываниях монеты необходимо определить вероятность того, что «герб» выпадет ровно 150 раз. В этом случае,,(выпадение «герба»),(выпадение «решки»). Формула Бернулли примет вид:.

Вычисления будут очень громоздкими, поэтому возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления , обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления вероятности при.

Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается и вероятностьнаступления событияв каждом испытании неограниченно уменьшается, но так, что их произведение является постоянной величиной, то вероятностьудовлетворяет предельному равенству

или

, .

Формулу Пуассона обычно используют в случае, когда λ10.

Пример 1. Завод отправляет в некоторый город 1500 автомобилей. Вероятность того, что в пути машина может получить повреждение, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей.

Решение. Событие – в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей, т.е. 0, 1, 2, 3, 4.

, ,.

По формуле Пуассона

2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

Теорема. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятностьможет быть вычислена по приближенным формулам:

,

где ,.

Функция называется функцией Гаусса.

Свойства функции .

1. Функция - четная, т.е.=.

2. Функция - монотонно убывает, приможно считать, что.

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. ,,,.

.

Учитывая, что , получим

3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа

В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в независимых испытаниях событиепоявится не менеераз и не болеераз, т.е.используют интегральную теорему Муавра – Лапласа.

Теорема. Если вероятность наступления наступления событияв каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятностьможет быть найдена по приближенной формуле

,

где ,специальная функция, называемая нормированной функцией Лапласа,

, .

Свойства функции .

1. Функция - нечетная, т.е..

2. Функция монотонно возрастает, т.е. при можно считать, что .

Имеются таблицы приближенных значений функции , которыми удобно пользоваться для решения задач.

Пример 3. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята?

Решение. ,– вероятность бракованного изделия,– вероятность хорошего изделия.

Вероятность принятия всей партии, т.е.можно найти по формуле:,,

,

,

,

,

.