Тема 6. Случайные величины

Случайной величиной называется величина , которая в опыте может принимать одно из множества возможных значений, и до опыта невозможно указать, какое из значений она примет.

Например, число мальчиков среди 100 новорожденных – это случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до 100.

Каждое значение случайной величины характеризуется степенью возможности его появления или вероятностью. Если каждому значению случайной величины поставлена в соответствие вероятность принять это значение, то говорят, что задан закон распределения случайной величины.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону или «подчинена» этому закону распределения.

Случайная величина считается заданной, если задана область ее возможных значений и закон распределения.

В зависимости от области возможных значений случайные величины можно подразделить на дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, область возможных значений которой есть конечное или счетное множество.

Примеры: число попаданий при десяти выстрелах по цели, выпавшая цифра при подбрасывании игральной кости, количество бракованных изделий в данной партии.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, область возможных значений которой есть непрерывное множество (отрезок или интервал).

Примеры: дальность полета снаряда; расход электроэнергии за месяц, ошибка, которую мы допускаем при практическом измерении какой-нибудь величины, время безотказной работы того или иного технического устройства.

Строгое определение случайной величины. Случайной величиной называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий, которая каждому элементарному событиюставит в соответствие число, т.е..

Формы законов распределения дискретной случайной величины

Пусть – дискретная случайная величина, которая принимает значения,,...,с некоторыми вероятностями,,...,.

Наиболее простой формой закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения – таблица, в которой представлены возможные значения случайной величины и вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное значение:

				…
				…

Так как в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события ,,...,образуют полную группу несовместных событий, т.е. сумма их вероятностей равна 1:

.

Другой способ представления дискретной случайной величины – графическое представление ряда распределения – полигон (или многоугольник) распределения вероятностей. Для того, чтобы построить полигон распределения, надо по оси ОХ откладывать значения случайной величины, а по оси ОY – соответствующие вероятности.

Пример полигона распределения представлен на рисунке 1.

Рис.1.

Закон распределения случайной величины (дискретной или непрерывной) можно задать при помощи функции распределения

.

Значение функции распределения в точке есть вероятность того, что случайная величинапримет значение, меньшее.

В случае дискретной случайной величины функция распределения является кусочно-непрерывной функцией

Пример графика функции распределения представлен на рисунке 2.

Рис. 2.

Пример 1. Дан ряд распределения случайной величины :

	1	4	5	7
	0,4	0,1	0,3	0,2

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение.

или

Рис. 3.

Пример 2. Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы:

а)

	2	3	4	5
	0,1	0,4	0,3	0,2

б)

	6	7	8	9
	0,1	0,2	0,3	0,5

Решение. Проверяем условие нормировки:

а) ,

б) .

В случае б) условие нормировки не выполняется, значит, данная таблица не задает закон распределения дискретной случайной величины.

Пример 3. Подбрасываются две монеты. Рассматривается случайная величина – число выпадений гербов на обеих монетах. Написать закон распределения вероятностей.

Решение. в результате опыта возможны следующие исходы: два герба, герб и решка или две решки. Соответственно случайная величина может принимать следующие значения:

0 – в случае, когда выпали две решки,

1 – в случае, когда на одной монете выпал герб, а на другой решка,

2 – в случае, когда выпали два герба.

Вероятность того, что выпали две решки, равна

,

герб и решка – ,

два герба – .

Таким образом, получаем ряд распределения:

	0	1	2

Пример 4. Вероятностный прогноз для величины – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев – дан в виде закона распределения:

	5	10	15	20	25	30
	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц (36% годовых / 12 месяцев) составит через 6 месяцев ((1,03)⁶-1)∙100%=19,4%. Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Пример 5. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден.ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден.ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден.ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины – чистого выигрыша на один билет – равны: 0-7=-7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7=193, 250-7=243, 5000-7=4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4, и 1, и, используя классическую формулу вероятностей, получим:

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

	-7	193	243	4993
	0,990	0,005	0,004	0,001