М__3894_ высш.матем. ФТУГ КР1
.pdf
|
|
+ |
|
+ |
х3 |
+ |
X, |
= |
10; |
|
X, |
2.23. |
2х, |
|
|
+ |
2х, |
- |
X, |
= |
2; |
2.24. |
Зх, |
Зх, |
+ |
2х |
+ |
|
|
Зх |
= |
-2; |
2х, |
||
|
2х, |
+ |
4х |
|
|
|
х„ |
= |
6. |
|
4х, |
-
—
-
4х2 |
- |
5х, |
+ |
6х, |
= |
0 |
Зх2 |
+ |
2х3 |
+ |
4х |
|
О |
|
х, |
= |
о |
|||
х2 |
+ |
4х, |
- |
9х, |
= |
0 |
|
X, |
+ |
X; + |
х, |
X, |
= |
2; |
|
' |
+ |
2Х2 |
Зх, |
+ |
|
= 1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
14; |
|
2х, |
|
х2 |
+ |
|
|
|
2.25. |
X, |
- |
X. |
X, |
X, |
= |
2.26. • |
+ |
+ |
2х |
2 |
||||
|
X, |
+ |
2х. |
- |
5х4 = -4; |
|
4х, |
Зх2 |
5х, |
4 |
|||||
|
2х, |
+ |
X; |
X, - |
2х„ |
= |
-7. |
|
7х, |
+ |
4х2 |
- 7х, |
+ |
5х, |
7. |
|
X, + |
X |
+ Зх3 - 2Х4 |
= |
6; |
X, |
||||
|
-Х, |
+ |
2х |
+ |
Зх, |
+ |
5х |
= |
3; |
Зх, |
2.27. |
2х, |
+ |
Зх |
+ |
2х, |
+ |
4х, |
= |
- 3; |
2.28. <5х, |
|
Зх, |
- |
X |
+ |
|
8. |
7х, |
|||
—
—
-
х2 |
+ |
2х, |
+ |
2х, |
= |
2 |
2Х2 |
|
х, |
- |
х, |
= |
-1 |
Зх2 |
|
|
|
|
|
-4 |
4х2 |
- |
7х, |
- |
5х. |
= |
-7 |
|
X, |
+ |
2Х2 |
+ х, |
|
- |
|
l; |
|
X, |
+ |
Зх2 |
+ |
2х3 |
- |
Х4 |
= |
-4; |
||
|
2х, |
+ |
Зх2 |
|
|
|
|
|
|
- |
х2 |
+ |
х3 |
- |
|
|
= |
|||
2.29. |
X, |
|
х, = |
2; |
2.30. |
X, |
2Х4 |
== |
-3; |
|||||||||||
Зх, |
+ |
5Х2 |
|
|
|
|
3; |
2х, |
+ |
х2 |
- |
х3 |
+ |
|
Х4 |
= |
5; |
|||
|
X, |
+ |
X, |
|
|
|
|
1. |
|
|
- |
х |
+ |
х |
- |
2Х |
4 |
== |
-3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||
Задание 3. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках |
Ах, |
Аг, |
А3, |
А 4. |
Найти, |
|||||||||||||||
используя |
векторы |
(а, Ь): |
а) |
косинус |
угла |
между ребрами А1А2,А1А4; |
б) |
длину высоты, |
||||||||||||
опущенной из вершины А4 |
на грань АХА2А3; |
в) уравнение ребра А, А4; |
г) уравнение плоскости |
|||||||||||||||||
АхАгА3;ц) |
уравнение высоты, опущенной из вершины А 4 |
на плоскость Ах |
А2 А3; е) угол между |
|||||||||||||||||
ребром |
А, А 4 |
и плоскостью |
|
АхАгА3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.1. Ах{1\ |
2; 4), |
Л 2 ( 7 ; - 1 ; - 2 ) , |
А3(3; |
3; 1), |
Л4 (-4;2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.2. Л,(1;3;б), |
Л2(2; 2; 1), |
Л,(-1;0;1), |
Л 4 ( - 4;6; -3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.3. Ах( 1;2;0), |
А2(3;0;-3), |
А3( 5; 2; 6), |
Л 4 (8; 4;-9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.4. Л,(5;1;-4), Л2(1; 2;-1), |
Л3(3; 3;-4), |
А4(2; 2; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.5. Л,(1;1;1), |
2; 4), Л3 (2;0;б), |
Л4 (-2; 5;-1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.6. АХ(6; 1; 4), |
Л 2 ( 2 ; - 2 ; - 5 ) , |
Л3(7;1;3), |
Л4 (1;-3;7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.7.Л,(1;2;6), Л2 (0;3;8), ^ 3 (-5;-1; 4), А 4 ( - 3;2; - б) .
3.8.А, (1; 2; 3), А 2 (3; 3; 2), А 3 (2; 3; 1), А 4 (12; 0; 0).
3.9. Ах(2;-3;5), |
Л2(0; 2; 1), |
Л 3 ( - 2; - 2;3), |
Л4(3; 2; 4). |
|
3.10. |
1; 1), А2 (2;0;2), |
Л3(2; 2; 2), Л4 |
(3;4;-3). |
|
3.11. Л,(3;1;4), Л2 (-1;6;1), |
Л3(-1;1;б), Л4 (0;4;-1). |
|||
3.12. А, (1; 4; 2), |
Л2 (3; 1; 2), |
Л 3 (5; 2; 4), А 4 |
(2; 3; 4). |
|
3.13.Л, (1; 1; 5), А 2 (2; 5; 1), Л3(1;4;3), А4( 5; 3; 2).
3.14.Л,(1;1;3), Л2 (3;5;4), Л3(3; 2; 4), Л4(0; 4; 1).
3.15. |
Ах(4; 2; 5), |
^2 (0; 7; 2), Л3 (0;2;5), |
4; 0). |
3.16. |
Л, (1; -1; 5), |
Л2 (4;4;-1), Л,(-1;2;0), |
Л4(5;1;5). |
39
3.17.А, (9; 5; 5), Л2 (-3;7;1), Л3 (5;7;8), А4(6; 9; 2).
3.18./4,(1; 1; 1), /42 (4;4;4), Л3 (3;5;5), А4(2; 4; 7).
3.19./4, (0; 0; 1), /42(2;3;5), А3(6; 2; 3), /44(3; 7; 2).
3.20. /4,(1; 2; 3), Л2 (-2; 4; 1), /43(7;6;3), /44 (4;-3;-1).
3.21./4,(0; 0;0), Л2(5; 2; 0), Л3(2; 5; 0), А4( 1;2;4).
3.22./4,(2; 4; 3), /42(7; 6; 3), /43(4; 9; 3), /44(3;6; 7).
3.23./4,(3; 5; 4), /42(5;8; 3), /43(1;9;9), /44(б;4;8).
3.24./4, (3; 3; 9), А 2 (6; 9; 1), Л 3 (1; 7; 3), Л 4 (8; 5; 8).
3.25./4,(6; 6; 2), /42 (5;4;7), А3{2; 4; 7), Л4(7; 3; 0).
3.26.Л, (1; 2; 3), Л 2 (9; 6; 4), J 3 (3; 0; 4), Л 4 (5; 2; 6).
3.27./4,(0; 0;0), /42(3;0;5), /43(1;1;0), А4(4; 1; 2).
3.28./4,(3; 1; 4), Л2 (-1;6;1), Л3 (-1;1;б), А4 (0;4;-1).
3.29. /4,(0; 6; 4), |
А2(3; |
|
5; 3), |
|
(-2; 11;-5), /*4(1;-1;4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.30. А,(0;0;0), А2 (3;4;-1), |
А3(2; |
3; 5), |
/44 (б;0;-3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задание 4. Вычислить пределы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
. |
|
|
х2 |
- 6 х + 5 |
|
|
|
|
|
б) lim |
COS Х - C O S |
X |
|
e) |
lim |
|
x + 4 N 3JT |
|||||||||||||||
1. а) |
1ш-—- |
-11х + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 8 |
|
||||||||||||||
|
|
|
2х |
|
|
|
|
х->0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jc-»oo |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4х6 - х + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
sinx(l - x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ 3 x + 2 |
||||||||||
4.2. а) |
|
lim |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Зх6 +1 |
|
' |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
в) |
|
lim |
1 + -2x |
||||||||||||||
|
|
Jt—кл |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
л/х - 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
4.3. a) |
|
lim |
V 4 x - 3 - 3 |
|
|
|
|
б) |
lim |
l - c o s 2 x |
|
|
e) |
lim |
'х + З ^ 5 |
|||||||||||||||||
|
|
х2 |
- 9 |
|
|
|
|
|
|
|
xsmx |
|
|
\x-2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
дг—>3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.4. а) |
|
lim |
З х 2 - 1 4 х - 5 |
|
|
б) |
lim— |
|
х |
|
|
e) |
|
|
r |
|
2x-3 |
v5x+3 |
||||||||||||||
|
х |
- 7 х + 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2x + |
4\, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin х + tg5x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4.5. а) |
|
|
х |
3 - 2 7 |
; |
|
|
|
|
|
6) |
,. |
|
tg2x - |
sin 7x |
; |
в) |
|
|
|
|
|
X |
|||||||||
|
lim-7= |
|
|
|
|
|
|
|
lim- |
5 |
|
Зх3 |
|
lim(7-6x)3^3. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
-ч/Зх-х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.6. я) |
|
lim—— |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
lim |
|
2x2 |
- 3 x |
|
|
e) |
lim |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sm5x |
|
|
x + 3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
'-*1 |
|
1-у/х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А П . |
|
lim |
4 х 4 - 5 х 2 |
+ 1 |
|
|
6) |
lim |
|
sm x —n |
|
|
в) |
|
lim In |
|
4x n - X + 5 0 |
|||||||||||||||
4.7. a) |
|
|
х |
= |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- l - V 2 c o s x ' |
|
|
|
JC->oo |
|
l + 4x / |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.8. а) |
|
lim |
|
(х + З)3 |
|
|
|
6) lim |
l - c o s 3 x |
|
в) |
lim |
( 2x2 +3 |
|||||||||||||||||||
|
7 х - 5х |
|
+ 4х - |
Г |
|
- cos 4x |
|
|
2x |
|
- 3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X- |
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
. . . |
Vx + |
2 - 2 |
; |
|
|
|
б) |
lim |
arcsin 5x |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
4.9. а) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(cos3x)5x . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
х - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x->C |
|
|
Ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*-><> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
. 1Л |
|
ч |
.. |
х2 - З х - 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - c o s x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.10. а) |
lim—хг |
- 125 |
|
; |
|
6) |
lim cos 3 x - c o s x |
e) lim 2x(ln(3 + x)-lnx). |
||||||||||||||||||||||||
4.11. д) lim(y/x2 |
+9-\jx2 |
|
- 9 ) ; |
|
6) |
|
lim |
cos 2 x - cos3 |
2x |
|
|
|
|
|
|
3x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
в ) l i m ( 5 - 4 x ) 2 - 2 x . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x—«о \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
x-»0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.12. а
4.13.
4.14.а
4.15.а
4.16.а
4.17.а
4.18.а
4.19.а
4.20.
All. а
4.22. а 4.23.
А.2А. а
4.25. а
4.26.
All. а
4.28.а
4.29.а
4.30.а
lim ; V2x + 3 - 3
х4 - 8 1 lim— ; х - 27
lim |
8х2(Х-2) |
|
||
Зх |
- 1 2 |
|
||
|
|
|||
lim |
7 9 ^ 1 - 3 : |
|
||
|
arctg2x |
|
||
lim |
7х3 |
- 5 х 2 + 4 х - 1 |
||
|
(х + 2)3 |
|||
|
|
|||
lim |
V16 + |
X - 4 |
; |
|
|
sin л(х |
+ 4) |
|
|
limly/x2 |
+x + l-\lx2 |
|||
|
.. |
l - c o s 6 x |
: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
о) lim |
3xtg3x |
|
|
|
JC—»0 |
|
V |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
,. l - V c o s x |
|
|
|
|
|
|
|
5х |
||||
lim |
|
X. 2 |
|
|
' |
|
|
|
в) |
lim |
( |
З х - . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
lim a r C t g l ° X ; |
|
|
|
|
|
/ |
|
7 Y*~5 |
||||
|
|
|
в) |
lim V |
1 - |
- |
|||||||
|
|
l - c o s 5 x |
|
|
|
|
х |
||||||
б) |
lim |
esmx |
-1 |
|
|
|
в) |
lim—lnVl + 2x. |
|||||
|
2х |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*-*> Зх |
|
||
|
|
б) |
. |
|
sin Зх |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
хе |
1X ' |
|
|
в) |
lim(l + |
tg2 3x)?. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
arcsinlOx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim— |
|
|
|
|
|
в) |
lim 3x(ln(5 + 2х) - In 2х) |
||||||
|
|
х2 + 2пх |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
Г—b-i-cf, |
* |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
-х\; |
|
6) |
|
sm |
х - |
|
\ |
в) |
2* |
||||
|
lim |
|
у |
^ |
J |
lim(2x - 5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix-3 |
|
lim
JC-Vl 1 - х 1 - х 2 lim Vl + 3 x - V 2 x + 6
|
|
x |
- 5x |
|
lim |
r |
x3 |
3x. 2 Л |
|
5x2 +1 |
15x + l |
|||
lim |
5x5 - 3x2 + 5x |
|||
x + 4x 4 - 3x 5 |
||||
|
||||
lim |
2x2 + 7 x - 4 |
|||
|
10x - 5 |
|||
JC->' |
|
|||
|
х 2 |
- л /х |
: |
|
lim—== |
||||
|
Vjc-1 |
|
||
lim V 7 3 - 1 ; |
||||
|
V x + 5 - 3 |
|||
lim |
|
|
|
|
jc—>oo v x 2 + 5 |
|
|||
r |
yjAx + 5 |
-л/30-х |
||
lim |
|
|
== |
|
|
|
5 - V 5 x |
||
у |
2-Vx |
|
||
lim |
|
=•; |
|
|
g) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim(l + sin2 3x)l-cos2x |
|||
|
|
|
|
l - c o s 5 x |
|
|
|
|
|
|
|
i |
||
6) |
|
lim |
г*Jltg6x |
—; |
) |
|
|
|
||||||
|
lim (cos 6х))5x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
, |
в; |
шх11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
vl - cos 4x |
|
|
|
|
|
||||
~ |
|
lim |
c o s 3 x - l |
: |
в) |
|
|
|
о8+* |
|||||
o) |
|
xtg2x |
|
|
lim(l + 5x)~ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 - sm — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) Um |
|
|
2.; |
|
|
|
в) |
lim (3x + 5)(ln(x + 5 ) - l n x ) |
||||||
Х->7Г |
|
-ТГ — |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
K-X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
|
lim c o s X - C O S X |
в) |
|
|
2x |
||||||||
|
lim(2-x)i-*. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
lim |
5x2 |
|
|
|
|
в) |
lim(l0 - 3x)^3 . |
|||||
|
l - c o s 3 x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
o) |
,. |
|
cos 6x - 1 |
; |
в) |
lim ' |
3x |
^ |
||||||
lim |
|
xsin5x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л ^~\1 + 3х j |
||||
6) |
|
limx2ctg2 |
5x; |
|
в) |
|
lim (cos 2x)sin x , |
|||||||
|
|
дг-»0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
|
|
U m ^ t |
i |
|
; |
в) lim 3x (in (5 + 2x) - In 2: |
|||||||
|
|
|
|
|
V x - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
lim |
c o s x - s m x |
ч |
ln(l-8x) |
||||||||||
|
cos2x |
|
|
|
в) |
|
lim— |
4x |
- . |
|||||
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^164 -Vjc |
6) |
cos2x-cos4x |
5x_ |
||||
|
|
|
lim—, |
|
- : |
в) lim(3x - 2) |
|
|
|
|
|
Vl - cos6x |
|
|
|
|
Зх3 |
+8 |
|
.. |
arctglOx |
; |
в) l i m ( l - 5 x ) ^ . |
lim |
Vl + 3x - V2x + 6 |
6) lim |
- |
||||
|
x: |
- 5 x |
l - c o s 5 x |
|
|
||
dy
Задание 5 . Найти производные —-. dx
5.1. а ) у = 5arcsinVx - + lntg2x;
5.2. |
а) у = Л/ЗХ4 |
+ 2Х-5 |
+ |
|
sm |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х-2) |
|
||
5.3. |
а) у = arcsin V x 2 - 1 +- ,lnx , |
|
||||||||||
5.4. |
a) |
y = Vx arccos Vx + In arctg—; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
5.5. |
a) |
y = t g 3 ( x 2 + l ) - l n V x 5 |
+4; |
|
||||||||
5.6. |
a) |
cos |
|
ax |
|
|
|
|
|
|||
y = ln — |
ax |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sm |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
e — e |
|
||
5.7. |
a) |
y = ln |
cos |
|
arctg - |
2 - x |
|
|||||
|
|
arcsin4x |
. |
3 |
r~i |
г |
|
|||||
5.8. |
a) |
y = - cosx |
|
|
• + ln |
Vx |
+1; |
|
||||
5.9. |
a) |
у = e2jc sin(cos2 (tg3 x)); |
|
|||||||||
|
|
ry arccos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.10. |
а) |
у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx2 + 3 ' |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cosx |
|
|
|
1 , |
|
X |
|
|
||
5.11. |
a) |
y = 2 sinГx |
|
i 2 1-П tg2— |
|
|||||||
5.12. |
a) |
у = arctg. |
|
1 - х |
|
|
|
|
|
|||
'l + x; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
X |
|
7Г л |
|
|
|
|
|
||
5.13. |
a) |
y = |
v2 + |
|
4y + 2 In cos v 2 |
4 / |
||||||
5.14. |
a) |
у = V 4 - x 2 |
+e*2 |
|
|
|
x |
|
||||
|
arcsm —; |
|
||||||||||
5.15. |
a) |
y = (l + lnsin2x) |
|
+2cos3*; |
|
|||||||
5.16. |
а) |
y = i n t g 4 7 ^ 5 + ^ - |
- : |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4x - 6 |
||
5.17. |
а) |
у = 5arcsin |
|
' + Intg2x; |
|
|
||||||
5.18. |
a) |
y = In |
4777 |
|
|
a |
- + arccosVx; |
|||||
|
|
|
a+x |
|
|
|
a + x |
|
||||
I
5.19.а) у = ctg2 (x + l)-arccos—;
5.20.а) у = 2~™х arcsin3 2x;
1
5.21. а) у = In arccos 4x
6) ysinx = c o s ( x - y ) .
б) y2 =xe"y.
6) (x + y)2+(x-3y)2 |
=0. |
6)x l n y - y l n x = 8.
6)x - у + arctgy = 0.
б) |
2 |
У |
у x = acrtg—. |
||
|
|
x |
б) |
x3 + y 3 - 3axy = 0. |
|
б) |
sin(x + y ) - 2 x y = 0. |
|
6) |
lny + — = x + y. |
|
|
У |
|
б) |
arcsin xy + — - x. |
|
|
• |
x |
|
|
У |
б) |
e2y-e3x+^ |
= 0. |
б) |
xy = ln(l + y). |
|
6)x2 + xsiny = 0.
6)In у + — = 1.
У
б) |
у |
X |
— = acrtg—. |
||
|
х |
у |
б) x s i n y - y c o s x = 0. |
||
б) |
ех+у = sin—. |
|
|
|
X |
б) |
еу + х2е'у |
= 2х. |
б) |
е^ - х2 + у3 = 0. |
|
б) |
sin(x + y) + 2 x - 3 y = 0. |
|
б) |
х 4 + у 4 - 2 у = 0. |
|
42
5.22. |
а) |
у = arctg2(x + Vl + x2 ); |
||||
5.23. |
a) |
^/ = Inln(ex cosx + e_ ; t sinx); |
||||
5.24. |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
а) у = — sin3 |
Vx-—sin5 |
л/х +—sin7 л/х; |
||||
5.25. |
а) у = е*3 cosVl + x2 ; |
|
|
|||
^ |
. |
= |
arccos-yx2 -2 |
; |
|
|
5.26. |
|
|
5 |
|
||
|
|
|
tg2x |
|
|
|
5.27. |
а) |
= |
(l - x 2 )cos3x |
; |
|
|
arccos 5х |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
5.28. |
а) |
j/ = |
V 4Х2+ЗХ + 1 ' |
|
||
|
|
|
|
|||
5.29.а) у = 1ncos3-y/arctge3jc;
5.30.а) >> = -ctg2 — - 2 In sin—;
Задание 6. Найти производные второго порядка
б) cos2 (х + у) = ху.
б) у - х + arctgxy = 0.
б) 1 + х = -^1п(х + 2.у).
б) у - х + arctgy = 0.
б) х = у +
б) |
=1. |
б) cos2(x + >-) = xj>.
б) - + |
3/^ = 0. |
х |
V х |
б) J x 2 + y 2 = 2arctg—.
х
dx. 2 "
6.1. у = ^-х2 (21nx-3); |
л 11 |
Зх + 2 |
6.21. y= |
arcsin x |
|||
6.11. у =— |
|
|
|
|
-; |
||
|
х - 2 х + 5 |
|
V l - x 2 |
||||
6.2. у = е2* cos2 х; |
6.12. у = arcsin2 х; |
6.22. у = —~x sin 3x —— cos 3x |
|||||
|
|
|
|
|
|
9 |
27 |
6.3. у = еах2+Ьх+с-, |
|
|
|
,2 , . 2 |
6.23. y = |
2x |
|
6.13. y = 1n(х + л/а" + X |
x |
+1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
6.4. y = (x2 +l)*f3 j : ; |
6.14. jK = arctg|e^2 j; |
6.24. у = ln(x 2 +5х + б); |
|||||
6.5. у ^ t g x + x V ; |
6.15. y = x2e3x; |
|
6.25. у = arcsin2 —; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6.6. y = xln(l + x2 ); |
6.16. у = x2 |
sin3x; |
|
6.26. у = (l + x2)arctgr; |
|||
6.7. y = lnctg2x; |
6.17. у = cos(4x2 |
+x); |
6.27. y = \nljl |
+ x2; |
|||
6.8. у =xcos(x2 + l); |
6.18. у = (x + l)cos2x; |
6.28. у = e3* cos—; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6.9. y = Jx2-a2; |
6.19. y = ect83x; |
|
|
6.29. >> = x2 In —; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
6.10. у = x2 sinx + xcosx; |
6.20. у = arctg |
x |
+ 1 ' |
6.30. у = 2xarctgx. |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Задание 7. Дана функция и = и(х, у, z), точка М(х0, у0, z0) и вектор .у. Найти в точке М:
а) производную по направлению ~ по направлению вектора 5 ; б) градиент grad и . ds
7.1. и = 5xy'z |
+ sin |
|
s = j-k; |
||
|
|
2У |
|
|
|
7.2. и = yjx2+y2+z2; |
|
s = i + 2j - 2k; |
|||
, |
V |
|
|
s = i + |
j-k; |
7.3. и = х In —+ zy; |
|
||||
|
z |
|
|
|
|
7.4. и = х3 z + s |
.mX — у 5 |
; |
s = 3i+ 6j + 2k; |
||
|
|
z |
|
|
|
7.5. и = ln(5x2 |
+xy + z); |
s = 2i — 3j + yf3k; |
|||
7.6. м = x2_yz2 + 2х +1; |
|
s = 2i + |
3j-k; |
||
5.7. м =:3х4 |
- y + 4z2x; |
s = - 3i + 4k; |
|||
5.8. и-- arctg(x>z)-ln(x + y + z); |
s = i-k; |
||||
5.9. и =• sm —v z y; |
s = -2г + j + 2&; |
|
У |
|
|
7.10. и = xln |
[x2+y)-z2y; |
^ = -8z + 4y - 8&; |
M0(l; 1; 0).
M0 (3; - 4 ; 5).
M0(2; 1; 1).
M„ |
тг |
; |
|
v 2 |
|
M0 (l; 2; |
4). |
|
M0(1; -2; 2).
M0(l; 1; 2).
M0(l; 0; 1).
л-
Мл v2 ; l; 2 M0(1;0; 1).
7.11. и = cos2 xy + 3z;
• |
Z |
hx |
2 |
; |
7.12. и = arcsin |
|
|||
У
7.13.u = ey +lnx;
7.14.и = ctgyz-
7.15.и = 2 ^ - c o s 2zУ
7.16.м = sin2 yz + 2 x2y;
7.17. и = J2xy-y2z |
+ — ; |
|
x |
7.18. и = хгy2-\n{5xz |
+ y2); |
7.19.и = 52z + y2x2;
7.20.u = xxz + x2z;
7.21.u=xey +yex-z2;
7.22.м =
s = i-3j + 4k;
s = 5i + l2k;
s =12j — 5k;
s = i — 2j—k;
s = i + Sj-4k;
s = 5г - j + k;
s = -i + 4j + 2k;
s = 4i + j - k;
s = -i - 2j |
+ 4k; |
s = i + 5j |
-2k; |
s = i + j + k; |
|
s = 4i + |
2j-k; |
M„ |
-Г 24 |
4 ' |
' / |
M0(-1; 2; 1).
M0(2; 1; 0).
M„ |
f |
л |
1 |
^ |
1; |
7 ; |
, |
||
|
v |
4 |
|
|
Mr. |
|
|
|
i4 |
|
V ' |
2' |
|
j |
Mn |
'3; |
1; |
|
•^/ |
|
\ |
|
|
|
M0(2; 2; 0). |
||||
M0(2; 1; 1). |
||||
M0(l; 1; -1).
M0(2; 2; l).
M0 (3;0; 2).
M0(l; 2; -1).
7.23. м = у 1п(х2 z) + 2х2 у;
1 х 7.24. м = xyz - In — ;
2z
7.25. и = 2yjx+3y2l[7;
7.26. и — |
|
5 |
x |
+ У |
z . |
7.27. и |
|
|
уx x'
7.28.и = ctg—+ x2;
|
z |
Z |
2 |
7.29. и = — |
- ; |
7.30. и = cosx>, + z2y;
s = - i - j + 3k;
s = i + 2y + 2&;
s = 2i-yf3j + 3k; s = 6i + 8у;
s = 3i + 6j + 2k;
j = 2i + l l 7 + 10£;
s = 4г - 4y + 2k;
s = - j + k;
M0 (l; 1; 2).
M 0 ( - 4; 1; |
- 2 ) |
M0{4; - 2 ; |
l). |
M0 (l; -1; |
- 1 ) |
M 0 ( - l ; 1; |
2). |
M 0 ( l ; я-; 2).
M 0 ( 1; - 2 ; 1).
M0 (0; 2; 3).
ЛИТЕРАТУРА
1.Высшая математика. Общий курс / под ред. С А. Самоля. - Минск: Вышэйшая школа, 2000.
2.Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1998.
3.Шипачев, B.C. Высшая математика / B.C. Шипачев. - М.: Высшая школа, 1985.
4.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособ.: в 3 ч. / под ред. А.П. Рябушко. - Минск: Вышэйшая школа, 1991.
46
СОДЕРЖАНИЕ |
|
П Р О Г Р А М М А |
3 |
1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений (СЛАУ) |
4 |
1.1. Матрицы. Операции над матрицами |
4 |
1.2. Определители. Алгебраические дополнения |
5 |
1.3. Ранг матрицы |
7 |
1.4. Системы линейных уравнений (СЛАУ) |
9 |
2. Аналитическая геометрия |
11 |
2.1. Векторы. Операции над векторами |
11 |
2.2. Действия над векторами, заданными в координатах |
13 |
2.3. Прямая |
14 |
2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой |
14 |
2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой |
16 |
2.4. Плоскость |
16 |
2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве |
18 |
2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве |
18 |
3. Введение в математический анализ |
20 |
3.1. Функция. Предел функции |
20 |
3.2. Основные теоремы о пределах |
20 |
3.3. Замечательные пределы |
22 |
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций |
23 |
4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной |
24 |
4.1. Основные правила дифференцирования |
25 |
4.2. Таблица производных основных элементарных функций |
25 |
4.3. Производные высших порядков |
26 |
4.4. Неявная функция и ее дифференцирование |
26 |
4.5. Дифференциал функции |
27 |
4.6. Правило Лопиталя |
27 |
5. Функции нескольких переменных |
28 |
5.1. Основные понятия |
29 |
5.2. Частные производные |
29 |
5.3. Полный дифференциал функции нескольких переменных |
30 |
5.4. Частные производные высших порядков |
31 |
5.5. Экстремум функции двух переменных |
31 |
5.6. Скалярное поле |
34 |
Задания для самостоятельного решения |
36 |
Литература |
46 |