М__3894_ высш.матем. ФТУГ КР1

5.1. Основные понятия

Определение. Переменная и называется функцией п переменных X j , Х2,--.хп,

если каждой системе

точки, принадлежащие границе, она называется замкнутой.

Еф - множество значений функции z =f(x, у).

Частное значение функции при х = х0, у = уо - f(xo, уо) - число. Функция z

-f(x,

у) может быть задана

таблицей, аналитически, графиком. Чаще используется аналитический способ -

формулой.

Пример 5.1. Найти область определения функции z = ^25-16х2

- 9у2 .

Решение.

Данная

функция

определена

лишь

для

неотрицательных

значений

подкоренного выражения, т.е. для тех зна-

чений (х, у), для которых 25 - 1бх2 - 9у2 ~>0,

Значит для всех точек, лежащих на эллипсе

х 2

у2

+ -—г- = 1 и внутри его (рис.8).

z = f(x; у). Так как хну-

независимые переменные, то одна из них может изменяться, другая сохранять

своё значение. Дадим независимой переменной х приращение

Ах, сохраняя значение у неизменным.

Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается A xz:

Axz =

f(x+Ax,y)-f(x,y)

Аналогично получаем частное приращение по у: Ayz -

f (х, у + Ау) - / (х, у)

Полное приращение Az определяется равенством: Az = / ( х + Ах, у + Ау) - / ( х , у )

Г»

С

Г

V

f{x

+

Ax)-f(x)

то он называется частной

Определение. Если существует предел h m — ^ l i m —

Ах

Ах

x>Jx>

n

' a

OX

OX

Частная производная по x в точке Мо(хо, у о) -

число, которое обозначается f'x (х0, у0 ), f'x\M .

Таким образом, частная производная функции

нескольких переменных определяется как

дх& y-const

C 0 S

ду x-cotist

COS

Az =dz(x'y)

Дс+ 8z(x>y)

Ay+ aAx + j3Ay,

дх

ду

где; а(Ах, Ау)-»0,

/?(Ах, Ay)-»0 при

Дх-»0,

А>>-»0, то функция z =

f(x; у),

называется

дифференцируемой

в точке

М(х;у), а

выражение

dz(x',y)

АхН

dz(x\y\

—

-Ау называется полным

дх

ду

дифференциалом функции г = /fx; у) в точке

М(х;

у). Так как

Ах = dx,

Ay = dy,

то полный

дифференциал записывают в виде

,

dz ,

dz .

(5.1)

dz = — dx +—dy

dx

dy

Формула (5.1) справедлива и для функции п переменных (п > 2).

Например, при п - 3,и =/(х, у, z) имеем:

,

Зи

,

ди

,

du ,

du — — dx + — dy + — dz

dx

dy

dz

Формула (5.1) может быть записана в виде dz = dxz + dyz

где dxz = — dx, d z = —dy

- частные дифференциалы функции z =/fx; у),

dx

dy

5.4. Частные производные высших порядков

dz(x,y)

dz(x,y)

Рассмотрим функцию z = f(x0;

у). Её частные производные первого порядка —

дх

-

и —-ду

-

функции

двух

переменных

(х, у) е D .

Эти функции могут иметь частные производные, которые

называются частными производными второго порядка:

djdz^

д Z {z"xx,fj,(x,y))\

~

'dz^

d2z

(z"v>fv(x>yj)>

дх кдху

V ^ y

дудх

дх2

dfdz^

d2z

d2z

д (

dz^

2

УУ

ю

ду

дх

дхду

дхду

ду

2

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го, ..., и-го порядков:

( О

ZЛ

d'z

a4Z

d3z

d"z

Я 2

ду ^ дх

2

J

2

ду

дхдудх

2

дх[^дхдудх

'

*кЯ*."-к '

дх

дх ду

называется смешанной частной производной.

a2z

d2z

Пример 5.4. Показать, что функция z - sin2

- ах) удовлетворяют уравнению а2

ду2

дх2

Решение:

&

2 sin (_у - ах) cos (у - ах) = sin 2 {у- ах);

d2z

= 2cos2 ( у - а х ) ;

ду2

ду

x-const

dz

2 sin ( у - ах) cos (у - ах) ( - а) = - a sin 2 (у - ах) ; ~ ^ - 2 а 2

cos 2 (у -ах)

а

^ = ~ т

дх у-const

Пример 5.5. Найти частные производные второго порядка функции z — х3 + ху

- 5ху

+ у

dz „ 2

2 с з

д*2zz

£

dz

„

2

, , 4

d2z

3

Решение: — = 3х

+у -5у ;

2

=бх,6х.

—

= 2ху-15ху

4

;

= 2х-30ху

+

20у

,

дх

г

+5у

ду2

дх

Мо(хо, уо) е D. Точка (х0,уа) называется точкой максимума (минимума)

функции z = /fx, у), если

существует такая ^-окрестность точки (хо, уо), что для каждой точки (х, у),

отличной от (хо, уо), из этой

окрестности выполняется неравенство.

fix, У) < f i xо ,у0)

{fix, у) > / ( х 0 ,

)

).

Теорема 1. (необходимое

условие экстремума). Если в

точке Mofao, у о)

дифференцируемая

функция

z =f(x

у) имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю:

t / ' , ( W o ) = 0.

Геометрические

равенства

Гх(хй-,уо) = 0 и /у(х0 ;у0 ) = 0

означают, что в

точке

экстремума

функции z

— f(x, у)

касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x, у),

параллельна

плоскости

Оху, т.к. уравнение

касательной плоскости z — zQ

окрестности функция f(x,y)

имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Вычислим в точке (х0,у0)

значения А —

(х0,у0),

B = fJcy(x0,y0

о 'У о )• Обозначим

А = А В = А С - В 2 . Тогда:

В С

1)если Д > 0, то функция f(x, у)

в точке (х0, у J

имеет экстремум: максимум, если А < 0;минимум,

если А > 0;

2)если Д < 0, то функцияf(x, у) в точке (xQ, у 0) экстремума не имеет.

3)если А = 0 экстремум в точке (х 0 ,у0)

может быть, может не быть. Необходимы дополнительные

исследования.

Исследование функции z =f(x, у) на экстремуме проводится по схеме:

1) Найти область определения функции.

dz

dz

2) Найти частные производные функции —

и — .

дх

ду

3) Решить систему уравнений

ох

,

и наити критические точки функции.

1)

Функция z = х2

+ у3 - бху определена для всех точек плоскости.

2)

—

= Зх2 —6у ; — = 3у2

- 6х,

Точек, в которых частные производные не существуют, нет.

дх

ду

3) Найдём стационарные точки, решая систему уравнений:

\3х2

-6у

= 0

(х2-2у

= 0

У = -

; х4

~8х = 0;

х(х3 - 8 ) = 0;

х, = 0, у1

= 0 ; х2 = 2, у2 = 2.

[ З / - 6х = 0' [ у 2 - 2 х = 0'

- — 2 х = 0

4

Стационарные точки функции М/0,

0), М2(2, 2).

d2z

d2z

d2z

4) Находим

частные

производные

второго порядка:

= бх;

= -6;

-6у

и их значения в

дх2

дхду

ду2

стационарных точках:

д2 z

= 0, В

d2z

= 0, => А = АС - В2 = -36 < 0,

а)М

1

(0;0).

А = дх2

дхдУ м,

дхдУ м,

экстремума в точке М](0,0) -

нет.

Ъ) Мг(2;2).

А =

2

= 12, В

г2

/

d2z

= 12,

=>

А = АС - В2

= 108 > 0, точка

дх

д х д > '

м,

М2(2; 2) - точка экстремума, а так как А = 12 > 0, то точка М2(2; 2) является точкой минимума.

5)

Находим экстремум функции zmm = z (2; 2) = -8.

л

л

Пример 5.7. Исследовать функцию z = sinx + siny + sin fx + у), при 0 < х < — , 0 < у < — на

экстремум.

l) Находим частные производные: - - = cosx + соs(x+y), — = cosy +

cos(x+y).

Решение,

дх

ду

2) Находим стационарные точки, решая систему уравнений:

fcos х + cos(x + у) = 0 => cosx = cosy

X = у.

I cos у + cos(x + у) = 0

1

1

cosx + cos2x = 0, так как 1 + cos2x = 2cos

х, то cos

х + — cosx - — ~ 0;

1

1

1

1

к

cosx = -1, то х7

= л-не

подходит так как

cosх=-— + А

к —; => если cosx = —,тох.= — /если

4

- V16

2

2

3

х = к £

0,

л

. Итак, стационарная точка - М0

л тс

—;

.3

3.

3) Проверим выполнение в точке М0 V 3 ' 3 удостаточного условия экстремума:

d2z

= -sinx -sin(x+y);

d2z

a2z

= -siny - sin(x+y/

дх2

дхду

= -sinfx+y); — -

dY2

Сл_ лЛ

Подсчитаем значения этих производных в стационарной точке М0

V 3

Зу

A =

d2z

•

п

•

Л ^

^3

[Z

B=

d2z

. 2л

S

C=A=S.

дХ2 м0

= -sin— - sm(2 — )= - — -

—

= -V3 .

dXdY м0

:

-sin-

3

3

2

2

Л

есть экстремум. А так как А= - л/3 < 0.

Так как Л = ЛС - 2?

= 3 —4 = -4> 0 , т о в точке М0° 1 3

3

то точка М0

г к

лЛ

- точка максимума.

—:—

V3

3 J

'к

кл

4) Находим значение экстремума функции zmax = z ,3 3. -И-

5.6. Скалярное поле

Рассмотрим функцию и = и(х, у, z), определённую и дифференцируемую в некоторой области D,

Скалярное поле -

это всё пространство (или его часть), в каждой точке которого задана некоторая

скалярная величина и = и(х, у, z).

Если рассматриваемая величина и = и(х, у) задана в плоской области, то поле называется плоским.

Характеристики скалярного поля и = и(х, у, z):

1.

Множество точек, в которых функция и(х, у, z)

(или и(х, у)) принимает постоянное значение,

называется поверхностью уровня (линией уровня): u(x,y,z) = с, (и(х,у=с)).

Пример 5.8. Найти поверхности уровня функции и = х2 + у2 + z2.

Решение. Приравняем значение функции к постоянной с: х2 + у2 + z2 = с, получим:

а)

если

с

<

0,

поверхностями уровня

является

семейство

двуполостных гиперболоидов

2

2

2

i L +

2 L . £ _

= i .

с

с

с

б) с > 0

х2 + у2

+ z2

= 0 - семейство однополостных гиперболоидов.

в) с = 0,

х 2

1

у 2 Z 2

= 1 - круговой конус второго порядка с вершиной в начале координат.

с

с

с

2.

Производная функции поля и = и(х, у, z) в точке М(х, у, z) по направлению

—>

/ равна

ди

ди

ди

„

ди

у

—

= — cos а + — c o s р+—cos

дх

ду

dz

где

а,

Р, у

- углы,

образованные

вектором

/ о с координатными

осями; /о

-

единичный

вектор

направления / , т.е. I о =( cos a , cos /3,cosy

).

— >

Производная по направлению не зависит от длины вектора

I ,

а только

от

направления

этого

вектора.

Частные случаи: а) Т = 7(1,0,0),^=— ; б) 7 = }(0Д,0),^ = ^ ; в) 7 =

dl dz

,

dl

dz

dl

dy

т.е. частные производные выражают скорость изменения функции в направлении осей координат.

Градиент скалярного поля - вектор,

координаты

которого

есть

значения

частных производных

функции поля в точке М(х, у, z).

,

du'!

du~>. du-?

grad

u(M)

= — i Л

dy

j-\

k.

dx

dz

3. Производная функции в точке по направлению

/ имеет наибольшее значение, если направление

/ совпадает с направлением градиента данной функции, которое равно модулю вектора grad и

ди = | grad и jcos <р =| (р = 0| = |grad и\ = ^(u'x)2+ (и'у)2+(u'z)2

.

д1

Пример 5.9. Найти скорость изменения скалярного поля, заданного функцией

и = 5x2yz - lxy2z + 5хуг2

в направлении вектора а = 8 i-Aj+Sk

в точке М0

(1,1,1).

Решение: 1. Найдём значения частных производных в точке М0 (1,1,1)

ди

= (lOxyz - ly2z

+ 5yz )

= 8

ou

= (5x2z-\4xyz+5xz2)\M

= - 4 ,

дх м0

¥

IМ„

Вычислим косинусы углов вектора а

с осями координат:

cosa = ,

8

2

_

- 1

2

— = - ;

cos В = — ; cosy = —

V64 + 16 + 64

3

3

3

ди

ди

ди

_

ди

Скорость изменения поля в точке М(х, у, z) равна: —

= — cos а н

ду

cos р + —- cos у

д1

дх

ду

Тогда в точке М0(1,1,1) имеем: ди

' - О + 8—= 12.

д1 мг

V -> У

3

Пример 5.10. Найти величину и

направление

градиента поля и = х3

+ у3 +z3 -3xyz в точке

2)| grad м(М0)| = V81 + 9 + 9 = зТГТ.

3) grad и 1 0 2 , если (gradu ,£) = 0, £(0,0,1). (grad u,kj = 3(z2

-ху),

z2-xy = 0, z2 =ху.

То есть в точках лежащих на гиперболическом параболоиде z2 = ху

gradw 10Z .

2х,

+

Зх2

+

х3

=

4;

X,

+

х2

-

2х3

=

-4;

1.1.

Зх,

+

х2

+

Зх3

=

-5;

1.2.

2х,

+

Зх2

+

*з

=

1;

X, -

х2

+

х3

= - 3 .

-

X,

-

х2

-

*3

=

0.

г

2х,

+

х2

-

х3

=

1;

г

X,

+

2х2

+

х3

=

1;

1.3. •

X,

-

х2

+

2х3

=

7;

1.4. •

Зх,

-

х2

-

2х3

=

2;

•

-2х,

+

х2

+

х3

=

- 3 .

-

-X,

+

х2

+

2х3

=

0.

г

+

х2

-

2х3 '

=

- 2 ;

2х,

—

х2

+

х3

=

1;

1.5. • 2х,

-

х2

+

Зх3

=

-4;

1.6. • Зх,

+

х2

-

х3

=

-1;

Зх,

+

х2

-

х3

=

13.

-

X,

+

*2

+

х3

=

5.

'Зх,

+

2Х2

-

4х3

=

В;

2х,

+

*2

—

*З

==

0;

1.7. <2х,

+

4Х2

-

5х3

=

11;

1.8. • Зх,

+

4Х2

+

х3

==

-11;

- 2Х2

+

х3

=

1.

-

*2

+ х3 =

1.

2х,

-

х2

+

2х3

=

0;

+

2х2

—

х3

=

- 6;

1.9. < 4х,

+

х2

+

4х3

=

6;

1.10. »

2х,

-

х2

+

х3

=

7;

х, + х2

+ 2х3

= 4.

X, + Зх2

+ х3

= -2.

2х,

+

х2

+

*3

=

3;

+

2х2

+

2х3

=

-1;

1.11. «

-Зх,

-

+

2х3

=

7;

1.12. <

2х,

+

х2

-

х3

=

-6;

+

2хг

+

х3

=

-2.

3xj

-

х2

+

Зх3

=

5.

Зх,

+

х2

--

х3

=

2;

+

2Х2

+

х3

=

-3;

1.13. <

X,

1

Х^

1

Хъ ~~

0;

1.14. «

Зх,

+

х2

-

2х3

-

7;

2х,

+

2Х2

+

Зх3

=

7.

-

Зх

2

-

3

=

10.

Зх

"

+

Зх2

--

х3

==

0;

2xj

+

2Х2

—

Х3'

=

-2;

1.15. *

2х,

+

2Х2

+

Зх3

=

1;

1.16. <

Зх,

-

*2

+

4х3

=

4;

Зх,

=

5.

+

2

-

2х

3

=

5.

=

X,

2Х

Зх,

+

Зх2

+

х3

=

2;

+

х2

—

Зх3

=

- 2;

1.17. *

X,

-

2Х

2

+

Зх

3

=

3 '

1.18.

«

+

2

+

х

3

=

5;

2Х

-2х,

+

х2

-

х3

=

1.

2х,

-

Зх2

+

2х3

=

4.