М__3894_ высш.матем. ФТУГ КР1

прямой и ее проекцией

71

на плоскость. Он является дополнительным до — к углу между векторами

s = (т, п, р) ип = (А,

В, С) (рис.7).

п = {А, В,

Cf

=

п,

р)

•

/С '(х, у, г)

О

У

Рис. 7

Тогда sin (р = cos к

(и,5)

Ат

+ Вп + С- р

1

J /I • J JA2+B2

+

C2-siт2+п2+р2

A

B

C

Условие перпендикулярности прямой и плоскости, п || s, т.е. — = — = — .

т

п

р

Условие параллельности прямой и плоскости. / i i i O ( « , s ) = 0

о

А-т + В-п + С • р = 0.

к прямым х - 5 у-4

z-3

х + 2

у + 4

z-1

1

- 2

х — 1 у + 2 z - З

- /

ч

Решение. Искомое уравнение прямой будет

щи =

п

=

р

, где s = [m, п, р)

- направляю-

щий вектор прямой. Так как искомая прямая перпендикулярна двум заданным прямым, то

- - - —

(3-т + 1-п-2-р

= 0;

s JL s,,

s -L s, «=>

•<

1

[2-т-5-п + 4-р = 0.

нением, получим 8т ~Зп — 0 => т =3—п. Подставим т в любое уравнение (пусть во второе), получим

8

3

3

17

2 - - и - 5 и + 4» = 0 => — и - 5 и + 4р = 0 => р = — п.

8

4

16

х-1 _ у + 2 _ z-3

х-1 __ у + 2 _ z-3

Тогда искомое уравнение пример вид : 3

17

6

16

17

-п

— 1

16

Пример

2.6. Найти величину угла

между прямой

х-3

у—6

z+7

и плоскостью

4x-2y-2z-3

= 0.

Решение. sin<p

4 • 1 - 2 • 1 - 2 • (-2)

6 _ 1

_п

>/1 + 1 + 4->/16 + 4 + 4 ~ V6-V24 ~ 2

9~б'

3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

3.1. Функция. Предел функции

Пусть даны два

непустых множества X и Y. Если каждому элементу х е X

по

определенному

правилу (закону) поставлен в соответствии единственный элемент у е Y, то говорят, что на множестве X

определена функция

у - f i x ) , где х - аргумент или независимая переменная,

а у -

функция или

у е У называется множество значений функции/и обозначается E(f).

Число А называется пределом функции у = fix)

в точке х0 (или при х -» х0), если для любого

£ > 0, можно указать такое число

S{s) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

\х-х0

\ < S,

выполняется неравенство \f(x)-A\

< е . Тот факт, что А является пределом функции у - f(x)

в точке х0

записывается в виде lim fix)- А .

Если функция / (х) определена в точке х0 е X

и в некоторой ее окрестности существует предел

функции при х —> х0, равный значению функции в этой точке, т.е. lim /(х) = f(x0 ), то функция

/(х)

переходить к пределу:

lim /

(<р(х)) = / lim <р(х)).

^

^ .. тт

-

.•

х2 + Зх + 2

Пример 3.1. Наити

lim —

.

*

*->-12х + 2х-4

.. х2+Зх + 2

( - 1)Ч З(-1) + 2

О

Решение, lim-—;

+ 2jc-4

= — — — - —

= — = 0.

»2x2

2(-1)

+ 2 ( - 1 ) - 4

-4

3.2. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной

lim С -С.

X-Hto

Теорема 2. Пусть

lim f ( x ) = А

и

lim g(x) - В,

тогда

X—>Xq

X~*XQ

1)

lim fix)

= ( f i x ) ± g(x))

= lim fix)

± lim g(x) =

A±B.

2)

lim fix)

= ( f ( x ) • gix))

= lim fix)

• lim gix)

=

A-B.

3)

lim fix)

- (c • fix))

= с lim fix)

= с • A.

4)

f(x\

lun/(*)

A

0).

gix)

= ^

= -(B*

lim g(x)

В

Из 2) теоремы 2 следует, что если

lim fix) = А , то

lim (/(*))" = A", neN;

lim ^ f ( x ) = 4а(А

> 0, п -

четное)

х2 + Зх + 2

.

Пример 3.2. Найти предел lim—

х —2х + Ъ

Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы, произведения, получим

х2 +Зх + 2 _ {*™(х2 +3x + 2) ^

fan*2

+

_1 + 2 + 3 _ 6 _ 3

х2 —2х +5

lim (ж2 - 2 х + 5)

limx2-21imx + lim5

1 - 2 + 5 4 2

делается покажем на конкретных примерах.

5х2+6х + 1

З х 2

- х - 2

_

л/l — Зх — 1

ч

Пример 3.3. Найти пределы: a) lim—

; б) lim-

5х

; в) lim

•t->1 Ах - 5х +1

1

Jt->°° 6х + 4х + 2

г) lim ,

; д) lim (х -yjx2 + 5х); е) lim

1-х*

~ Ч х * + Зх + 4

1

^

1-х

множитель х -1Ф О, получим

,. 3(х-1) '

Л

f

2^

Зх2 - х - 2

х + 2-

3 х + -

1 +

- _ _ 5

lim—

= lim

= lim-

ч

3

-V

х-*14х -5х + 1

4(х-1)| х ~

4| х ——

4 1

4у

Итл/ГГз^-1 _ ( V b ^ - i X V T ^ + i ) _ ^

1-ЗХ-1 _

• Нт

1 ™5x(v'l-3x + l)

5х

5x(Vl-3x + l)

= lim

-Зх

..

- 3

Г- =

3

.

- 7 - 7 =

г = lim—-j—==

Ю

5x(Vl-3x + l)

^ ° 5 [ V l - 3 x + l)

oo

в) Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида —.

00

Разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х :

2

с

6

1

. 5х

+ 6х +1

5 + - + —2

5 + 0 + 0

5

.. - ^ v ^ v

х

lim

= lim-

х

6 + 0 + 0 б"

*->ю 6х2 + 4х + 2

+ l + A

х

х2

00

4

г) Имеем неопределенность вида —. Разделим числитель и знаменатель на х :

оо

lim

Зх - 2

• lim

3 - -

= - = 3.

"

. [

Ц Т

!

1

Г /

ГТ-Г\

V ( * - ^ 2 + 5 * ) ( * W * 2

+ 5 x )

= lim

х2

- х 2

- 5 х

=

lim

х - Vx + 5х

= lim

; v

.

/

l x + V x +5X '

^ « v j - . M2j . ^ v

yjx

+5x

= lim

-5x

= lim

- 5

С

I

Х + у/х2+5Х

2

e) Неопределенность вида

oo-oo преобразуется

к неопределенности — привидением функции к

lim

1

J

= lim

(l-x)(l + x + x2 )l

= lim- 1 + x + x - 3

«'U-x

1-х

•l->1

1-х

(l-x)(l + x + x2)

= lim

x2

+x-2

= lim

( " . ^ ^ .

. . t o J l ^ - l

. - ! .

JT-H(l-x)(l + x + x2)

(l-x)(l + x + x2)

—4 + x + x2

3

3.3. Замечательные пределы

При вычислении

пределов,

содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

г

sinx

.

„

^

lim

х

= 1, который называют первым замечательным пределом.

Этот предел применяется для

х->0

lim a r

c

^ = i (аналогично).

x

1 - c o s x _

2x-arctgx

Пример 3.4. Найти пределы: a) lim

•

3xг—;б) lim

2x + arcsinx

2 sin2 x

'r

. x4\4

1 - c o s x

sin—

ч

= lim

— = —lim

2

- i - i - i - i .

Решение, a) lim

—

3x2

3x

3

4

6

6

2x - arctgx

arctgx

6) lim

= lim-

arcsm x

2 - 1

1

0

x^o ^

2 + 1

3

j'-*

2x + arcsin x

2 +

f

1 V

вторым

замечательным

пределом. Если в этом равенстве

Предел

lim 1 +

- — e

называют

V

X j

Пример3.5. Найти пределы: a) lim

f x + 2\

I

з*

х-Ъ 1

; б) \imm-tg3x

; в ) Н т ( 5 - 2 x V - 4 .

V.

v_i.fi

*

V—i-O

х-+2 >

'

1 +

Решение, а) Так как lim

= lim

— =1- = 1, имеем неопределенность вида 1". Для ее

г

v

х-3

5х

х + 2

х-3 + 5

/

Sx

lim

= ( Г ) = lim

= lim

1 + -

lim 1 + -

= lim ех'ъ = e5.

1=3.

х-3

х-3

х-3

X—fCO

бесконечно малая функция при х —> х0 , то —-— - бесконечно большая функция при

х —» х0 и

наоборот.

/ ( * )

Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при

х —» х0

есть функция бесконечно малая при х —» х0 .

Произведение бесконечно малой при х —» х0

функции на ограниченную функцию есть бесконечно

малая функция при

х —> х0 .

Пусть а(х)

и

Р(х)

- бесконечно малые функции при х —» х0

. Для сравнения двух бесконечно

малых находят предел их отношения при х —» х0

, т.е. находят

lim

= А.

х~*хо /3(х)

При этом, если:

а(х) и /?(х) называют бесконечно малыми одного порядка малости;

1. АфО,

AsR,to

3. Л =

то

а(х)

и Р(х)

называются

эквивалентными бесконечно малыми при

х—> х0 и

пишут а(х)

~ (3(х) при х —> х0

. Например, sin х ~ х, так как limsin х

= 1.

х

Если а(х)

бесконечно малая при

х

х0 , т.е. lim сс(х) = 0,

то справедливы

следующие

асимптотические соотношения:

sin а(х)

~ а(х),

tg а ( х )~ а(х),

ф + а(х)-1~—

п

а(х),

arcsinor(x) ~ а(х),

arctga(x) - а(х),

ln(l + а(х))

~

а(х).

заменить бесконечно малой, ей эквивалентной, т.е. если а(х) ~ ах (х), (3{х) ~ Д (х) при х —> х0

, то

Д(х)

Д(х)

„

, , ,т »

м-

Vl-3x -1

_ч

sin(l - 2х)

.

Пример 3.6. Наити пределы: a)Iim

arctg5x

; б) lim

4х

г

- 1

F

Решение, а) Так как у/\-Зх - 1 - — -(-Зх),

arctg5x ~ 5х

при х - » 0 , то

3

arctg5x

5х

10

^чгт

1 • /1 л \

1 л

тт

.•

sin(l-2x)

= lim

l - 2 x

lim

- 1

1

б) При х -> — sm(l - 2х) ~ 1 - 2х. Поэтому lim — —

- 1

= — .

2

2

4х

х-*- (2х - 1)(2х +1)

х->- 2х+\

2

2

2

Определение производной. Пусть

функция у

= f i x )

определена в некоторой

окрестности

фиксированной точки х0 и пусть х -

произвольная

точка

этой окрестности. Тогда

х — х0 = Ах -

/ • 0 0 =

lim

= lim Я*О + Ах)-/(хо)

V U/

Ах—>0 ДХ

Ajc-j-O

Д х

Таким образом, производная функции в точке х = х0

(если существует) - есть определенное число.

У, /Хх),

*

m

dx

dx

Операция нахождения производной от функции

f(x)

называется

дифференцированием этой

функции. Дифференцируемой называется функция, которая имеет производную.

Геометрический смысл производной. Пусть кривая L является графиком функции

у = / ( х ) , а

точка М0(х0,у0)

е L. Тогда значение производной

функции f i x )

при х = х0

равно

угловому

коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой, т.е. /(х 0 ) = tgа = k

ik -

угловой

коэффициент касательной).

Экономический смысл производной. Пусть ц = juit) -

объем продукции, произведенной за время t.

Тогда отношение

Ди

является средней

производительностью за время

At.

Производная

At

и '(t) = lim Аи.

называется производительностью в момент

времени t. В экономических моделях

^

Л(->0 At

А у / у

Ау

.

наряду с отношением — рассматривают отношение относительных приращении

Ах/х

Ах:

Эластичностью функции у — / ( х ) в точке х называется предел

Ех =

lim — • — = / ' ( х ) - —.

ьх-юАх/х

Ах у

у

Если у = / ( и ) , и - и(х), где и(х) -

дифференцируема в

точке х, а функция /(м) дифферен-

цируема в соответствующей точке и = и(х)

, то сложная функция

у = f(u(x)) дифференцируема в точке

1 .(ияу

= п-ия~х-и\

neR.

3 (tgM).=

2.

(а")'

= аи-]па-и\

а> О, аФ 1.

cos2 и

и'

3.

( • ) ' = *•-и'.

9. (ctgw)' = —

sm2 и

Пример 4.1. Применяя

правила и формулы дифференцирования,

найти производные следующих

функций: а) у -

.

2х

x5arctgx; б) у = Ц2 + х4 ; в) у = e'arctge* - In Vl + e2* ; г) >' = arcsin

4

1 + х

Решение, a)

у' = (х5 )'arctgx + х5 (arctgx)' = 5x4arctgx + х5

1

х5

z.

* ^ = 5x4arctgx + 1 I

(

l Л 1

1 + X

l + x

2

,

3

6)У' = (2 + x4)

= - ( 2 + х 4 Я ( 2 + х 4 )'=

4 x

x 4 ) 2 '

3

З ф +

у' = exarctgex

- е

1

—-ех —

1

1

— -е2х

-2 = e*arctgel +

—

&2х

1

2

In

— = e'arctge*

7

5

\ + е

1 + е

1 + е'х

1 + е2х

г)

1

4x(l + x 4 ) - 2 x 2 - 4 x 3

1

4x(l + x 4 - 2 x 4 )

i

4 x ( l - x 4 )

4X

" _

(l + x4 )2

= V l - 2 x 4 + x 8

I h V

1 + x4

" 1 7 7 '

v l + x 4 ,

4.3. Производные высших порядков

Производная

у1

= /

'(х)

функции

у

- f i x )

является

функцией

от

х

и

называется

первой

производной (или производной первого порядка) этой функции.

Второй

производной

(или

производной

второго

порядка)

функции

у = / ( х )

называется

производная от ее первой производной и обозначается у",

/"(х),

dx

. Таким образом, у " =

(у')'.

Производная

от

второй

производной,

если

она

существует,

называется

производной

третьего

порядка и обозначается

у"',

/ " ' 0 0 ,

£ у

Итак,

у'"

= (у")'.

Аналогично определяются

производные

— f

более высоких порядков.

dx3

Производной и-го порядка (или «-ой производной) функции

у = / ( х )

называется производной от

производной

(n-l)-ro порядка, т.е. у1"^ = ( У

Первые три производные обозначаются штрихами,

последующие - римскими цифрами или числами в скобках ( у ^

или

yI V '

-

производная четвертого

порядка).

Пример 4.2. Найти производную четвертого порядка функции у = In х .

Решение.

y' = (lnx)' =

fe**;

y" = ( l n х у = (ке1а),

= к2екх-

у"' = {кекху

= (к2екх)'

= еекх,...;

у^к'еР.

Производную от функции

F(x,y)-

0 можно найти дифференцированием по х обеих частей этого

уравнения с учетом того, что у

-

функция от х. Полученное после дифференцирования уравнение будет

содержать х, у, у'. Разрешая

его

относительно у',

найдем производную у' функции

у

= fix),

которая в общем случае зависит от х и у.

Продифференцировав по х первую производную, рассматривая у как функция от х, получим вторую

производную от неявной функции, в которую войдут х,

у, у1. Подставляя уже найденное значение у'

в выражение второй производной, выразим у"

через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения у т ,

у1У и более высоких порядков.

Пример 4.3. Найти производную второго порядка неявной функции у + х = ех'у.

Решение. Найдем первую производную 1 + у' = ех у

ех ~у -1

=

х + у - 1

.

(1 - у') . Следовательно, у' = —:

еху+1

х + у +1

Дифференцируем последнее равенство по х, получаем

(1 + У)(х + у + l ) - ( l + / ) ( s + y - l ) = 2(1 + / )

(х + >> + 1)2

(х + у +1)2

1 + х +

у-1

4(х + у)

Подставим в выражение для у " значение у': у it v Х + У

+1

( x + J + l)2

(x + y + l f

точке х0 определяется равенством

j i r n = / ' ( х 0 ) .

Тогда

= /'(х 0 )Ax + « ( x ) ,

Ду = / ' ( х 0 ) Д х + а:(х)Дх где а(х)~ бесконечно малая функция

называется главной частью приращения функции у = f{x)

в точке х0.

Дифференциалом функции

у = / ( х )

в

точке х0 называется главная

часть

ее приращения,

линейная относительно Ах и

обозначается

dy, J/"(x0)

{dy = / ' ( х 0 ) А х ) .

Но

дифференциал и

приращение независимой переменной х равны

между

собой, т.е. Ax = dx, поэтому dy = /'(x0 )<ix.

Следовательно, дифференциал функции у -

f ( x ) в точке х0

равен произведению производной функции

в этой точке на дифференциал независимой переменной.

Пример 4.4. Найти дифференциал функции у = cos4 5х в точке х.

/ ' ( х )

т о

/ ( х )

(0)

Г(х)

существует предел l i m —

lim—~~ =

— = l i m — j - f .

<р\х)

*->*» <р(х)

)

<р\х)

/ ч

/ ч

/(*)

—

/'(*)

l i m / ( x ) = +oo и

hm^»(x) = ±оо, т.е. lim—т-г=

= l i m —

*->*о

*->*<>

(р{х)

V00/

х~*х° Р ух)

f ' ( x )

^

0

" 00

Если частное — в

точке х0 вновь будет представлять неопределенность

вида — или — и

<р'(х)

0

«J

f'(x) и (р\х) удовлетворяют условиям, сформулированным для функций

/ ( х )

и <р(х), то можно

снова применять правило Лопиталя и т.д.

. е2х-1

„

1-cosm:

,

х 2 + 1

,

( 1

Пример 4.5. Найти пределы: a) lim—;

; б) lim

; в) lim—5—;

г) lim

sin х

, ,

х~>° 1 - cos Ъх

х — 1

5

X—>1In X

,

1

In X + x • —

= lim

x

'l

Jr->11

1 1

In X + X

hi

д) lim xctg2x = (0 • со) = lim

X

(0"\

I

J_

tg2x

—

=hm -

1

2

x->0

'

loj

*->0

cos 2x

В случае

неопределенностей

вида

1"»

n"

следует

воспользоваться логарифмическим

1°°, оо ,

0

тождеством f i x ) — е

О

оо

и свести указанные неопределенности к виду — или —

О

оо

е) lim(tgx)2c°" =(оо°) = l

i m

=

lime2cos*lntgx

*lim 2cos*lntgxВычислим предел степени.

x—•—

2

• 00) = 2 lim i B i H ='«Л

1

1

lim 2 cos x In tgx = (04

2 1

i m _ t g x ^ _

= 2 1 i m f o s x = 0 _

r — k !t—

'

'itV" 1 —

1A

V00y

JL

1

•sinx

,x->*Sin X

cosx

cos X

Тогда lim(tgx)2c0SJI

= e° = 1.