Методичка Белякова БНТУ

4.8. Графическая работа № 8 (лист 8, задача 14):

сечение поверхности плоскостью общего положения

Для решения задачи 14 следует повторить изложенные выше темы начертательной геометрии.

Плоскость:

-плоскости общего и частного положения (плоскости проецирующие и плоскости уровня);

-прямые особого положения в плоскости: фронталь и горизонталь плоскости; Поверхности - геометрические тела:

-проекции геометрических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, ша-ра, тора и тороида);

-построение проекций точек на поверхности геометрических тел;

-сечение геометрических тел плоскостями частного положения. Преобразование чертежа:

-способ замены плоскостей проекций (задачи 1, 2, 3 и 4).

Тема 8. Сечение поверхности плоскостью общего положения Задача 14. Построить натуральную величину сечения геометрического тела

плоскостью общего положения способом замены плоскостей проекций и достроить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения геометрического тела с плоскостью с учетом видимости этой линии на проекциях геометрического тела. Преобразование плоскости выполнять относительно горизонтали плоскости.

Г р а ф и ч е с к и е у с л о в и я вариантов задачи 14 даны в табл. 4.9.

Поверхности геометрических тел могут пересекаться плоскостями, занимающими относительно плоскостей проекций частные (проецирующие или уровня) или общие положения:

Первый случай, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями частного положения, был подробно рассмотрен в темах 4, 5 и 6: «Поверх-ности. Поверхности гранные. Поверхности вращения». Построение проекций линии пересечения выполнялось в этих частных случаях по принадлежности точек их линий поверхностям геометрических тел по определенным графиче-ским алгоритмам, приведенным в рассмотренных темах.

На рис. 4.90 показан еще один пример построения горизонтальной проек-ции линии пересечения поверхности тороида (самопересекающийся тор) фронтальнопроецирующей плоскостью a(aV).

Графические действия для построения горизонтальной проекции линии пересечения в этом случае выполняется в следующем порядке:

1-е действие. Обозначить характерные 1, 4 и 6 и промежуточные 2, 3 и 5 точки на заданной фронтальной проекции линии пересечения, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости сечения а.

2-е действие. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек по их принадлежности параллелям тороида.

3-е действие. Соединить построенные горизонтальные проекции точек плав-ной кривой, имеющей форму овала (видимая кривая).

Во втором случае, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями общего положения, для более удобного решения задачи следует изменить заданное графическое условие таким образом, чтобы один из графических образов занял

относительно плоскостей проекций частное положение, т.е. привести условие к первому частному случаю.

По условию задачи преобразовать в частное положение из двух заданных

Для определения натуральной величины сечения поверхности заданной плоскостью следует далее преобразовать построенную после 1-го преобразова-ния

разования заданной плоскости общего положения а(ЛАВС) в плоскость уровня выполняется двумя заменами плоскостей проекций в следующем порядке:

1-е действие. Задать на чертеже ось исходной системы плоскостей проекций x-V/H (через точку С (C").

плоскость спроецировалась в треугольник А'1В'1С'1, имеющий натуральную величину как плоскость уровня (параллельна H1).

На рис. 4. 92 показан пример построения натуральной величины сечения прямой правильной четырехугольной призмы плоскостью общего положения a(ABC), заданной треугольником, и построение проекций линии пересечения поверхности призмы этой плоскостью на заданных проекциях призмы.

Задача решена двумя заменами плоскостей проекций, т.е. двумя последовательными преобразованиями по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Построить проекции геометрического тела и секущей плоскости а(АВС) и задать на чертеже систему плоскостей проекций x-V/H так, чтобы ось проекций x совпала с фронтальной проекцией нижнего основания заданной призмы.

2-е действие. Провести в плоскости горизонталь h(h";h'); по заданному графическому условию, горизонталью h(h",h') плоскости является ее сторона АВ.

I. Первая замена плоскостей проекций - преобразовать плоскость общего положения а(АВС) в проецирующую.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций x1-H/V1 c осью x1, перпендикулярной горизонтальной h(h') проекции горизонтали (стороне А'В1).

Рис. 4.92

4-е действие. Построить тонкими линиями в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости АВС и призмы DEFG (точки отмечены на верхнем основании призмы) по координатам z(zA), взятым из заданной системы x- VIH; в результате преобразования плоскость спроецировалась в прямую линию и заняла положение фронтально-проецирующей, а призма спроецировалась в прямоугольник высотой H.

I. Обозначить на преобразованной проекции характерные точки 1(11"), 2(21"), 3(3i") и 4(41") на ребрах призмы, по которым плоскость сечения пересекает ее поверхность (плоская ломаная линия 11"-21"-31"-41" пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости сечения).

!!! В результате выполнения первой замены плоскостей проекций графическое условие задачи преобразовано в частный случай сечения геометрического тела фронтально-проецирующей плоскостью.

II. Вторая замена плоскостей проекций - преобразовать плоскость сечения в плоскость уровня.

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций x2-V1IH1 с осью проекций x2, параллельной вырожденной проекции плоскости сечения, полученной в результате первого преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную 11'-21'-31'-41' проекцию ломаной линии сечения по координатам y(y1), взятым из предыдущей дополнительной системы x1-HIV1 до оси проекций x1; полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна

дополнительной плоскости проекций H1; т.е. является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения.

III. Достроить на заданных проекциях призмы горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости а с поверхностью призмы и определить видимость этой линии на проекциях.

7-е действие. Построить по линиям обратной связи горизонтальную проекцию ломаной линии сечения 1'-2'-3'-4' на заданной горизонтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы (обратным проецированием) и определить ее видимость (линия совпадает с проекцией боковой поверхности призмы).

8-е действие. Построить по линиям обратной связи фронтальную проекцию 1"-2"-3"-4" ломаной линии сечения на заданной фронтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы, используя координаты z(z4) из первой дополнительно системы x1-H/V1; определить видимость ломаной линии пересечения на поверхности призмы: невидимый участок 2"-1"-4" - на невидимых гранях призмы; видимый участок 2"-3"-4" - на видимых гранях призмы.

четырехугольной пирамиды плоскостью общего положения а(АВ П ВС), заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, и построить проекции ломаной линии пересечения плоскости а с поверхностью пирамиды на заданных проекциях.

П л а н г р а ф и ч е с к и х д е й с т в и й для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму:

1-е действие. Построить на чертеже по заданным координатам фронтальную и горизонтальную проекции наклонной пирамиды и плоскости сечения а(АВп ВС) и задать на чертеже систему плоскостей проекций x-V/H с осью проекций x, совпадающей на фронтальной проекции пирамиды с ее основанием.

2-е действие. Провести в плоскости горизонталь h(h",h') - использовать прямую АВ(А"В", А'В') заданной плоскости сечения.

I. Первая замена плоскостей проекций - преобразовать плоскость общего положения а(АВп ВС) во фронтально-проецирующую плоскость.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций x1-H/V1 с осью проекций х1, перпендикулярной горизонтальной проекции h' горизонтали (А'В1).

4-е действие. Построить в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости а и наклонной пирамиды по координатам z (отмечены двумя черточками для точек А(А") и В(В") и тремя черточками для точки N(N")), взятым в заданной системе x-V/H; в результате преобразования секущая плоскость спроецировалась в прямую и заняла положение фронтально-проеци-рующей, а пирамида спроецировалась в треугольник.