11
Компьютерное моделирование опыта Истермана
Используя манипулятор ММ, или клавишу F10, в главном меню выберите режим работы. Если выбрали “Опыты” а в нем Гравитационное распределение, то выходите на рабочее меню данного опыта.
Введите исходные данные для эксперимента, используя ММ или функциональные клавиши от F2 до F6:
-половинное расстояние между источником частиц (V) и экраном (Э)L;
-температура источника Т;
-плотность исследуемого вещества D;
-время эксперимента t .
Запустите эксперимент на выполнение, нажав клавишу “Старт” рабочего меню. Появится окно с осевшим слоем выбранного материала на внешнем цилиндре. Зарисуйте кривую распределения молекул осевшего слоя.
Исследуйте следующие зависимости (на усмотрение преподавателя) к а ч е с т в е н н о: H=f (L, T, D, t).
Объясните зависимости, запишите выводы.
Установите, от каких параметров и как зависит Vв? Запишите выводы.
3.3.Опыт по распределению Гаусса
В качестве экспериментальной установки взята схема опыта Штерна (Рис.5) только при условии, что цилиндры А и В не приводятся во вращение. В результате получим распределение молекул в потоке.
Используя манипулятор ММ, или клавишу F10, в главном меню выберите режим работы. Если выбрали “Опыты” а в нем Опыт Гаусса, то выходите на рабочее меню данного опыта. Введите исходные данные для эксперимента, используя ММ или функциональные клавиши от F2 до F6:
-радиус цилиндра r;
-материал, нанесенный на нить D;
-время эксперимента t .
Запустите эксперимент на выполнение, нажав клавишу “Старт” рабочего меню.
Появится окно с осевшим слоем выбранного материала на внешнем цилиндре. Зарисуйте кривую распределения молекул осевшего слоя и определите максимальную высоту его H. Исследуйте следующие зависимости (на усмотрение преподавателя):
H=f (r, D, t).
Объясните зависимости, запишите выводы.
3.4.Опыт по распределениям
Используя, манипулятор ММ, или клавишу F10 в главном меню выберите режим работы. Если выбрали “Опыты” а в нем Распределения, теория, то выходите на рабочее меню
данного опыта. |
используя ММ или функциональные |
Введите исходные данные для эксперимента, |
|
клавиши от F2 до F6: |
|
- число оборотов цилиндра n; |
|
- радиус цилиндра r; |
|
- температуру нити T; |
|
12
-материал, нанесённый на нить D;
-половинное расстояние между источником частиц (V) и экраном (Э)L. Продолжительность эксперимента для всех распределений берется постоянной. Запустите эксперимент на выполнение, нажав клавишу “Старт” рабочего меню.
Появятся окна с осевшим слоем на внешнем цилиндре выбранного материала. Зарисуйте кривые распределения молекул осевшего слоя H=f (L, T, D,n, t) в опытах Максвелла, Штерна, Истермана и сравните эти кривые. Объясните их отличия.
Приложение 1.
Распределение в потоке
|
Пусть |
n - число частиц в единице объема, т.е. их плотность. |
Так как все направления |
||||
движения частиц равновероятны, то число частиц dnƒÖ в единице |
объема потока, скорости |
||||||
которых лежат в интервале от v |
до v + dv , и которые движутся в пределах телесного угла |
||||||
∆ω , очевидно, относится так ко всему потоку частиц dn = Fndv |
в этом же интервале, как |
||||||
величина телесного угла ∆ω ко всему телесному углу в 4π стерадиан: |
|||||||
|
|
|
|
∆ω |
|
|
|
|
dnω |
= |
. |
|
(2.1) |
||
|
|
dn |
4π |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
Дифференциалы dnω и dn |
носят название дифференциальных плотностей частиц |
|||||
соответственно в пределах телесного угла ∆ω и полного угла, скорости которых лежат в интервале от v доv + dv .
На основании равенства (2.1) находим дифференциальное число частиц, которые движутся в потоке в пределах малого угла ∆ω :
dnω = |
∆ω Fndv = |
∆ω n |
4 |
u2 e−u2 dv . , (2.2) |
|
|
4π |
|
4π |
π |
vn |
где vn |
- |
наиболее вероятная скорость. |
|||
Дифференциальный поток dj в пределах малого телесного угла ∆ω , т.е. дифференциальное число частиц, проходящее через единицу площади в единицу времени в
интервале скоростей от v до v + dv , равен: |
|
|||
dj = |
dnωdSvdt |
= dnωv = |
∆ω |
|
|
4π nFvdv . |
(2.3) |
||
dSdt |
||||
Отсюда находим дифференциальную плотность потока jv , определяемую отношением dvdj :
jv = |
∆ω |
nFv = |
∆ω n |
4 |
u3e−u2 , |
(2.4) |
||
|
π |
|||||||
|
4π |
|
4π |
|
|
|||
Так как u = |
v |
и dv = vn du , то полный поток j0 |
будет равен |
|||||
vn |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
13
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
∆ω n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ω n |
4 |
vn . |
|
|||||||
j0 |
= ∫ jv dv = |
∫ |
|
u3e−u2 dv = |
(2.5) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
4π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
4π |
π |
2 |
|
||||||
Таким образом, |
|
∆ω |
= |
|
2 j0 |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4π |
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
jv = |
∆ω |
n |
4 |
u |
3 |
e |
−u2 |
|
= |
2j0 |
u |
3 |
e |
−u2 |
. |
|
|
|
(2.6) |
||||||||||
4π |
π |
|
|
|
|
|
vn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как dw = |
dj |
= |
|
jv dv |
= |
|
2 |
u3e−u2 dv есть дифференциальная вероятность частиц в потоке, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
vn |
|
|
|
|
|
|
|||||
скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, то функция распределения плотности вероятности частиц в потоке принимает вид:
Fjv = |
dw |
= |
dn∆ω |
= |
dj |
|
= |
jv |
= |
2 |
u3e−u2 . |
(2.7) |
dv |
ndv |
j0 dv |
j0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
vn |
|
||||||
Сравнивая функцию распределения в потоке F |
с функцией распределения Максвелла в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jv |
|
источнике f (v) , имеем: |
|
|
|
|
|
|
||||||
Fjv = |
π uF . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, распределение частиц в источнике, соответствующее закону Максвелла, |
||||||
отличается от распределения частиц в потоке. |
|
|
|
||||
|
Наивероятнаяvв , среднеарифметическая |
и среднеквадратичная vkv |
скорости частиц в |
||||
потоке соответственно равны: |
|
|
|
|
|||
vВ |
= |
3RT , v = |
9πRT = |
3.53429RT , vkv |
= |
4RT . |
(2.9) |
|
|
M |
8M |
M |
|
M |
|
Приложение 2.
Распределение в опыте Штерна
За время пролета атома ∆t = vr происходит смещение наружного барабана на величину
|
ωr |
2 |
ω r 2 |
|
l |
|
l0 |
|
ω r |
2 |
2 π n r2 |
|
|
||
l = ωr∆t = |
|
= |
|
|
|
= |
|
, где l0 = |
|
= |
|
, и n - число оборотов наружного |
|||
v |
vn |
u |
u |
vn |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
vn |
|
|
|||||||
барабана; здесь и далее vn= vв. Смещение |
l0 |
соответствует частицам, скорости которых |
|||||||||||||
равны наивероятной (vn) скорости в распределении Максвелла, причем |
l0 |
= ωr . |
|||||||||||||
r |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vn |
||
Введем относительное смещение
14
l |
r |
= |
l |
= |
1 |
. (l |
r |
) |
= |
2 |
, |
(3.1) |
|
|
|
||||||||||
|
|
l0 |
|
u |
|
max |
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которому соответствует “наивероятная” скорость Штерна:
vn = |
2 vnMax = |
5RT , |
( ln = |
2 |
l0 = |
2 |
|
σr2 |
= |
σr 2 |
). |
(3.2) |
|||
|
|
5 |
|
M |
|
|
5 |
|
5 |
|
vnMax |
|
vn |
|
|
и максимум функции Штерна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(F ) |
= 2 25 2.5 e−2.5 = 2C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
max |
l0 |
4 |
|
l0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
2.5 e−2.5 |
= 0,811173617 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3) |
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристические отклонения частиц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) наивероятное отклонение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
vb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln = |
5 l0 |
= r |
5RT , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
M
где vb = 2πnr - скорость барабана и n – число его оборотов; б) среднее отклонение:
l = |
∫lF1dl |
= |
π |
l0 |
= r |
vb |
; |
(3.5) |
|
∫ F1dl |
|
4 |
8RT |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
πM |
|
|
в) среднеквадратичное отклонение: |
|
||||||||
l2 |
= |
2 |
|
l0 = r |
vb . |
|
(3.6) |
||
|
|
π |
|
|
πRT |
|
|
||
M
“средняя скорость” частиц в распределении Штерна равна средней скорости распределения в потоке:
1 |
∞ |
|
|
|
|
∫ vdw |
∫ vF1dl |
|
9πRT = |
3.53429RT . |
|
v = 0 |
= 0 |
= |
(3.7) |
||
1 |
∞ |
|
8M |
M |
|
∫dw |
∫F1dl |
|
|
||
|
|
|
|
||
0 |
0 |
|
|
|
|
“Средне квадратичная скорость” в распределении Штерна:
15
vkv = |
∫ v2 F1dl = |
πRT . |
(3.8) |
|
∫F1dl |
M |
|
Очевидно, высота осажденного слоя H будет пропорциональна F1
H |
b |
= BF = |
2B |
u5e−u2 |
= |
2B |
|
l |
e−llr2 . |
|
|
|
|||||||
|
1 |
l0 |
|
l0 l5r |
|||||
|
|
|
|
||||||
Максимальная высота Нm определяется из условия
Hmax = B(F1 )max .
В итоге имеем
B = (F ) |
= |
2C |
. |
|
|
Hmax |
|
Hmax l0 |
|
|
1 max |
|
|
|
Таким образом, уравнение поверхности осажденного слоя примет вид
|
Hmax |
|
l |
e− |
l |
|
H = |
|
lr2 |
. |
|||
C |
|
l5r |
||||
|
|
|
|
|
||
Вернемся к уравнению (3.13) и определим площадь сечения осаждённого слоя
S = ∫hdl = B∫ |
2 |
|
1 |
e−l lr2 dl = B . |
l0 |
5 |
|||
|
|
lr |
||
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Но S = |
|
Mos |
, где Mos - масса осажденного металла иHos - ширина осажденного слоя. Таким |
|||||||||||||||||
|
ρHos |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом, получаем еще одно уравнение профиля осаждённого слоя |
|
|||||||||||||||||||
H = |
|
2Mos |
|
|
1 |
e−l lr2 , где lr |
= l |
= |
|
l |
|
2RT . |
|
|
|
(3.14) |
||||
|
|
|
|
|
2πnr 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
ρHos l0 l5r |
l0 |
|
M |
|
|
|
|
|||||||||||
Если барабан не вращается, профиль осажденного слоя представляется кривой Гаусса. |
||||||||||||||||||||
В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
e− |
l2 |
|
= dw |
|
|
1 |
e− |
l2 |
|
|||||
dw = |
|
|
|
|
|
dl и |
FG |
= |
|
|
. |
(3.15) |
||||||||
|
|
|
|
2σ2r2 |
|
2σ2r2 |
||||||||||||||
|
σ r 2π |
|
|
dl |
|
σ r 2π |
|
|
|
|
||||||||||
Очевидно, высота осажденного слоя равна H = AFG и |
|
|||||||||||||||||||
A = |
|
Hmax |
|
|
= 2π σ rHmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ r
2π