Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b. Очевидно, что система имеет определенное решение, и что при найденных значениях a и b функция S (a, b) имеет минимум.

Пример 3.7. Пусть на основании эксперимента получены четыре значения искомой функции у= (х) при четырех значениях аргумента (n= 4), которые записаны в таблице:

Таблица 2

Система (3.16) принимает вид 21 39a 11b 0,

10 11a 4b 0.

Решая эту систему, находим a и b: a =- 26/35, b = 159/35. Искомая прямая (рис. 16) есть y 2635 x 15935 .

у

(х,a,b)

у1

х

Рис. 16

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Основные понятия и определения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение,

связывающее независимую переменную х , искомую функцию у= f(x) и ее производные y , y ,..., y(n) .

Символически дифференциальное уравнение можно записать в виде:

30

F(x, y, y , y ,..., y (n) ) 0.

Если искомая функция у= f(x) есть функция одной переменной, то уравнение называется обыкновенным.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Так, например, уравнение y 2xy 2 7 0 есть уравнение первого порядка.

Определение. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция у= f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(4.1)

Если это уравнение можно разрешить относительно y , то его можно за-

писать в виде у = f(x, у). В этом случае говорят что уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема. Если в уравнении

ласти D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (х0; у0), то существует единственное решение этого уравнения у= (х), удовлетворяющее ус-

ловию у= у0 при х= х0.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция у= (x) , график которой проходит через точ-

ку (х0; у0).

Условие, что при х= х0 функция у должна равняться заданному числу у0, называется начальным условием. Оно часто записывается в виде y x x0 y0 .

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

такое значение С = С0, что функция у= (х, С0) удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения х0 и у0 принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности.

31

4.3. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется урав-

нение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (4.7). Дифференцируя обе части равенства (4.8), находим

Разделяя переменные в полученном уравнении относительно v, находим

dvv Pdx .

Интегрируя, получим

Так как достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения

Подставляя u и v в формулу (4.8), окончательно получим

33

Полученное семейство является общим решением. Каково бы ни было начальное условие (х0, у0), где х0 -1, всегда можно так подобрать С, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию у0=3 при

условие (х0, у0) выбрать так, что х0 = -1, то мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при х0 = -1

34

Умножив u на v, получим общее решение y cos x(sin x c) . Используя начальное условие у(0) =1, найдем 1= сos0

(sin0 +C), откуда С=1. Искомое частное решение будет иметь вид y cos x(sin x 1) .

4.4. Дифференциальные уравнения высших порядков

Как уже было сказано выше, дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде

F(x, y, y , y ,..., y (n) ) 0

или, если его можно разрешить относительно n-й производной,

Эти условия называются начальными условиями.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) ,

зависящая от nпроизвольных постоянных C1 , C2 ,...,Cn и такая, что :

постоянные C1 , C2 ,...,Cn можно подобрать так, что функция y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) будет удовлетворять этим условиям.

Соотношение вида Ф(x, C1 , C2 ,...,Cn ) 0 называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных C1 , C2 ,...,Cn , называется частным решением.

4.5. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее

a0 0 для всех значений х из той области, в которой рассматривается уравнение (4.13). Будем предполагать, что функции a0 , a1 ,...,an и f (x) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент a0 1 (если он не равен 1, все члены уравнения надо поделить на него). Функция f ( x) , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если f (x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным или

и называется линейным однородным или уравнением без правой части. Установим некоторые основные свойства линейных однородных урав-

нений.

Теорема 1. Если у1 и у2 – два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

y a1 y a2 y 0 , (4.15)

то у1 + у2 есть также решение этого уравнения.

Теорема 2. Если у1 есть решение линейного однородного уравнения второго порядка (4.15) и С – постоянная, то Су1 есть также решение этого уравнения.

Определение. Два решения уравнения (4.15) у1 и у2 называются линейно независимыми на отрезке а,b , если их отношение на этом отрезке не яв-

В противном случае решения называются линейно зависимыми. Иными словами, два решения у1 и у2 называются линейно зависимыми на отрезке

36

= у2.

Теорема 3. Если у1 и у2 – два линейно независимых решения уравнения

(4.15), то

у=С1 у1 + С2 у2,

где С1 и С2 – произвольные постоянные, есть общее решение этого уравнения.

4.6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Имеем линейное однородное уравнение второго порядка

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения достаточно, как следует из теоремы 3, найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде

y ekx , где k = const;

Тогда y kekx ; y k 2 ekx .

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (4.16), находим

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (4.17), то e kx будет решением уравнения (4.16). Уравнение (4.17) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (4.16). Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их через k1 и k2. При этом

Возможны следующие случаи:

1.k1 и k2 – действительные и притом не равные между собой числа;

2.k1 и k2 – действительные равные числа;

Пример 4.5. Найти общее решение уравнения y y 2 y 0 .

Решение. Составим характеристическое уравнение k 2 k 2 0 . Находим корни характеристического уравнения:

Общее решение имеет вид y C1e x C2 e 2x .

2. Корни характеристического уравнения действительные и равные. В

этом случае k1= k2.

Одно частное решение y1 ek1x получается на основании предыдущих рассуждений. Нужно найти второе частное решение. Линейно независимое с

первым (функция ek2 x тождественно равна e k1x и поэтому не может рассматриваться в качестве второго частного решения).

Будем искать второе частное решение в виде y2 u(x)ek1x , где u(x) - неизвестная функция, подлежащая определению.

Дифференцируя, находим

ek1x [u (2k1 p)u (k12 pk1 q)u] 0 .

Так как k1 – кратный корень характеристического уравнения, то

ek1x u 0, или u 0, интегрируя уравнение, получаем u=Ax+B. В частности, можно положить А=1, В=0. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять

38

Пример 4.6. Найти общее решение уравнения y 4 y 4 y 0 .

Решение. Составим характеристическое уравнение k 2 4k 4 0 . Находим корни характеристического уравнения: k1 k2 2.

Общее решение имеет вид y C1e2x C2 xe2x .

3. Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозна-

Это комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (4.16).

Очевидно, что если какая-либо комплексная функция действительного аргумента y u(x) iv(x) удовлетворяет уравнению (4.16), то этому уравнению удовлетворяют функции u(x) и v( x) . Эти функции являются решениями уравнения (4.16).

Перепишем комплексные решения (4.20) в виде суммы действительной

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Важным частным случаем решения (4.21) является случай, когда корни характеристического уравнения мнимые. Это имеет место, когда в уравнении

решение, удовлетворяющее начальным условиям y x 0 0, y x 0 1.

39

y e x (2C2 cos2x C2 sin 2x) . Из второго условия получим 1=2 С2, т.е. С2=1/2. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

y 12 e x sin 2x .

4.7. Неоднородные линейные уравнения второго порядка

Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у* и общего реше-

ния y соответствующего однородного уравнения y a1 y a2 y 0.

4.8. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть имеем уравнение

где p и q - действительные числа.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых случаях частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию. Рассмотрим эти случаи.

1. Пусть правая часть уравнения (4.23) представляет собой произведе-

Действительно, подставляя решение (4.25) в уравнение (4.23) и сокращая все члены на множитель e x , будем иметь:

Qn (x) - многочлен степени n, Qn ( x) - многочлен степени n – 1,

Qn (x) - многочлен степени n – 2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов A0 , A1 , A2 ,..., An .

б) Число есть простой корень характеристического уравнения.

Если бы в этом случае частное решение мы стали искать в форме (4.25), то в равенстве (4.26) слева получился бы многочлен (n-1)степени, так как ко-

равенство (4.26) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно искать в виде многочлена (n +1)-й степени, но без свободного члена (так как свободный член этого многочлена исчезнет при дифференцировании):

Следовательно, в левой части равенства (4.26) остается многочлен (n-2)- й степени. Для того чтобы в результате подстановки получить многочлен

степени n, следует частное решение искать в виде произведения e x на многочлен (n+2)-й степени. При этом свободный член этого многочлена и член в первой степени исчезнут при дифференцировании; поэтому их можно не включать в решение.

Итак, в случае, когда есть двукратный корень характеристического

Пример 4.8. Найти общее решение уравнения y 4 y 3y x. Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения

жим y A0 x A1 . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь 4A0 3( A0 x A1 ) x .

41

Пример 4.9. Найти общее решение уравнения. y 9 y (x 2 1)e3x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Со-

вид P2 (x)e3x . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y Q2 (x)e3x , т.е. положим y ( Ax2 Bx C)e3x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[9( Ax2 Bx C) 6(2Ax B) 2A 9( Ax2 Bx C)]e3x (x 2 1)e3x

Сокращая на e 3x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим