Правила дифференцирования

Пример 3.4. Найти производную функции x x .

Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от х. В таблице производных нет формулы для таких функций. Прологарифмируем заданную

функцию ln y ln x x x ln x.

Продифференцируем по х обе части полученного равенства.

Так как у есть функция от х, то ln у есть сложная функция от х и (ln y) 1y y .

Следовательно, 1y y ln x x 1x ln x 1.

Окончательно получим: y y(ln x 1) x x (ln x 1).

Использованный прием называют логарифмическим дифференцированием.

где t T1 ,T2 . Каждому значению t соответствуют значения х и у. Если (х, у)

рассматривать как координатные точки, то каждому значению t соответству-

является функцией от х. Уравнения (3.7) определяют у как функцию от х, и говорят, что функция задана параметрически. Для того чтобы получить из (3.7) (3.8) надо из (3.7) исключить t.

Например, координаты любой точки окружности выразятся через пара-

Это параметрическое уравнение окружности. Если исключить из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности, содержащее только х и у. Возведем уравнения в квадрат и сложим: x2 r 2 cos2 t , y 2 r 2 sin 2 t ,

x2 y 2 r 2 .

16

Найдем производную от функции y(x) заданной параметрически уравнениями y (t), x (t) , t0 t T .

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x (t)

Примеры 3.5. Найти производные заданных функций.

x a cos t,

1) .

y b sin t.

x a(t sin t),

2)y a(1 cos t). .

3.6. Неявная функция и ее дифференцирование

Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой некоторым уравнением, которое обозначим

Если функция у = f(x), определенная на некотором интервале (a,b) такова, что уравнение (3.10) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество относительно х, то функция у = f(x) есть неявная функ-

Действительно, после подстановки в уравнение (3.11) этих значений получаем тождество

17

x2 (a 2 x2 ) a 2 0 .

Пусть функция задана уравнением (3.11). Для того, чтобы найти производную неявной функции, не преобразовывая ее в явную, продифференцируем обе части (3.11 ) по х, считая, что у есть функция от х. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим 2x 2 yy 0 ,откуда y x / y.

Пример 3.6. Найти производную функции

y3 3y 2ax 0.

Но тогда по свойству бесконечно малых, функцию имеющую предел можно представить в виде

Произведение x есть бесконечно малая высшего порядка относительно x .

Приращение y состоит из двух слагаемых, первое из которых называ-

ется главной частью приращения, линейной относительно x . Произведение

Найдем дифференциал функции y=x. dy y x x , dx x .

Дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением..

Формулу (3.16) можно переписать в виде

dy f (x)dx .

Из этого соотношения следует, что f (x) dydx , то есть производная есть

отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Задача нахождения дифференциала равносильна нахождению производной. Следовательно большинство теорем и формул, относящихся к производным, имеют место и для дифференциала.

18

3.8. Производные различных порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. Значение производной y также является функцией x.

Дифференцируя эту функцию, мы получим так называемую производную второго порядка. Обозначают y или f (x) . Например, y x4 , y 4x3 ,

y 12x 2 .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка y . Аналогично y IV , yV , yVI .

Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом y (n) ; y (n) ( y (n 1) ) - порядок производной указывается скобках.

4. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

4.1. Предел отношения двух бесконечно малых величин (раскрытие неопределенности вида { 00 })

Теорема 1. (Правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) определе-

ны и дифференцируемы при всех x a в окрестности точки x=a, и обращаются в 0 в точке x=a , тогда если существует предел отношения

летворяют условию теоремы (правила Лопиталя), то применяя правило Ло-

Пример 4.1.

Замечание 3. Правило Лопиталя применимо, если

4.2. Предел отношения двух бесконечно больших величин (раскрытие неопределенности вида { })

Теорема 2. (Правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) определены

Замечание 1. Равенство справедливо, если в условии (4.5) А= . Замечание 2. Теорема справедлива если x

Остальные случаи неопределенностей сводятся к рассмотренным.

20

В связи с определением максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства.

1)Функция, определенная на отрезке, достигает максимума и минимума только внутри отрезка.

2)Максимум и минимум не являются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на рассматриваемом отрезке, в точке максимума функция имеет наибольшее значение только по сравнению с достаточно близкими значениями.

y

Рис. 8

Так на рис. 8 изображена функция, определенная на отрезке [a,b], кото-

рая

при x x1 и x x3 имеет максимум, при x x2 и x x4 имеет минимум.

Но минимум функции при х=х4 больше максимума функции при х=х1. При х=b значения функции больше любого максимума.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.

5.3. Необходимое и достаточное условия существования экстремума

Теорема 1. (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция f(x) имеет в точке x=x1 максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f (x1)=0.

Геометрический смысл.

Если в точках максимума и минимума функция имеет производную, то касательная к графику в этих точках параллельна оси Оx.

22

Если при некотором значении аргумента производная обращается в нуль, то функция не обязательно имеет экстремум.

Таким образом, если при некотором значении аргумента производная функции не существует, то экстремум в той точке может быть, а может и не быть. Отсутствие производной не является достаточным условием экстремума.

Функция может иметь экстремум, если производная f (х) =0 или f (х)

называются критическими точками первого рода.

Теорема 2. (достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) не-

прерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x1 и дифференцируема во всех точках этого интервала (за исключением, может быть x1). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с «+» на « », то при x=x1 функция имеет максимум. Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с « » на «+», то при x=x1 функция имеет минимум.

5.4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на этом отрезке функция достигает своего наибольшего значения. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка, то это будет один из максимумов функции, а именно, наибольший максимум. Но наибольшее значение может достигаться и на концах отрезка. То же самое можно сказать и о наименьшем значении.

Можно сформулировать следующее правило: если требуется найти наи-

большее значение непрерывной функции на отрезке, то надо:

1)найти все критические точки и вычислить значения функции в критических точках;

2)найти значения функции на концах отрезка т.е. f(a) и f(b).

3)из всех полученных значений выбрать наибольшее.

Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 5.4. Определить на отрезке [-3,3/2] наибольшее и наименьшее значение функции y=x³ -3x+3.

Решение. Из условия y 0 находим критические точки на отрезке [- 3,3/2]: y 3x2 3 0; критические точки x1=1, x2= -1. Значения функции в критических точках у(1)= 1, у(-1)= 5.

Определим значения функции на концах отрезка y(-3)= -15; y(3/2)=15/8. Следовательно, наименьшее значение y(3)=-15 , наибольшее значение

y(-1)=5.

23

5.5. Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение 1. Кривая называется выпуклой на интервале (a,b), если все ее точки расположены ниже любой ее касательной на этом интервале

(рис. 9).

Определение 2. Кривая называется вогнутой на интервале (a,b), если все ее точки расположены выше любой ее касательной на этом интервале

(рис. 10).

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная функции f`(x) отрицательна, т.е. f (x) <0, то кривая выпукла на этом интервале.

Теорема 2. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная f (x) >0, то кривая вогнута на этом интервале.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой называется точкой перегиба.

Установим достаточное условие того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема 3. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f (a)=0 или f (a) не существует и при переходе через x=a вторая производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.

5.6. Асимптоты

Определение. Прямая L называется асимптотной кривой, если при удалении точки M по кривой в бесконечность, расстояние от точки M до L 0

(рис. 11).

Рис. 11

24

Пример 5.5. 1) Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (х) и, используя результаты исследования, построить ее график y = x3 / 2 (x+1)2.

Решение. 1. Найдем область определения функции.

Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, х+1= 0; х = -1. Таким образом, D (y) =(- , 1)U ( 1, ) .

2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность y( x) ( x)3 / 2( x 1)2 x3 / 2(1 x)2.

Очевидно, что у(-х) у (х) и у(-х) -у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. А. Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.

Б. Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнения-

Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является асимптотой при x . Те же самые значения пределов для k и b получим и при x , поэтому найденная прямая является асимптотой и при x .

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции y :

26

Критическими точками являются х = 0, х = -3, при которых y = 0 и, х = - 1, где производная функции не существует. При y >0 функция возрастает, при y <0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы.

8.Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 12 ).

Таблица 1

y

x

Рис. 12

27

ВТОРОЙ СЕМЕСТР

1.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.Первообразная. Неопределённый интеграл

Основная задача дифференциального исчисления: по заданной функции ƒ(х) найти её производную ƒ/(x) или дифференциал ƒ/(x)dx. Теперь будем решать обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу найти саму функцию ƒ(х).

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для

функции ƒ(х) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F/(x)=ƒ(х) или dF(x)=ƒ(x)dx для всех x (a, b) .

Теорема. Если F(x) есть первообразная для функции ƒ(х) на (a, b), то функция F(х) + C – так же первообразная, где C - любое число.

Определение 2. Если функция F(x) является первообразной для ƒ(х), то выражение F x c

Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразной) называют интегрированием функции ƒ(х). Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой.

Все ли функции имеют первообразную? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 3. Если функция ƒ(х) непрерывна на (a, b), то для неё существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема.

Из определения 2 следует:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной

2.Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d f x dx f x dx .

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

dF(x)=F(x)+C.

1

1.2. Таблица неопределённых интегралов

1. xadx xa 1 c a 1 . a 1

2. dxx ln x c x 0 .

3. axdx ax c a 0;a 1 . ln a

4.exdx ex c .

5.sin xdx cos x c .

6.cos xdx sin x c .