ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

для студентов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров 230100«Информатика и вычислительная техника», профилю «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

по сокращенной программе

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1. Функции одной переменной

1.1.1. Понятие функции

Пусть X и Y – некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x X по какомулибо закону f поставлен в соответствие один элемент y Y . Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость y от x по закону y f x . При этом x называют независимой переменной (или аргументом), y – зависимой переменной, множество X - областью определения (су-

ществования) функции, множество Y – областью значения (изменения) функции. Совокупность точек координатной плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению y f x , называется графиком этой функции.

Для обозначения функции и независимой переменной могут быть использованы и другие буквы. Примерами записи функций: y y x , y F x , y g x .

1.1.2. Способы задания функций

Задать функцию – значит указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Существует три основных способа задания функций: таблич-

ный, аналитический и графический.

Табличный способ. Этот способ имеет широкое применение в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из переменных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут функциями от этого аргумента. По сути дела, базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Следует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул: разным участкам области определения функции соответствуют разные формулы.

Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопищущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.п.).

1

1.1.4. Классификация функций

Простейшими элементарными функциями называются: постоянная

Функции, которые можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над простейшими элементарными функциями, а также их суперпозицией (наложением), образуют класс элементарных функций.

Примеры элементарных функций:

f x x 1 x3 , f x log 2 sin x e x , f x arctg3x.

В свою очередь, элементарные функции классифицируются следующим образом:

1. Функция вида P x a0 xn a1xn 1 a2 xn 2 an 1x an , где n 0 - целое число, a0 0, a1, a2 , , an - любые числа (коэффициенты), называется целой

рациональной функцией, или алгебраическим многочленом степени n. Много-

член первой степени называется линейной функцией (поскольку его график изображается прямой линией).

2. Отношение двух целых рациональных функций

R x a0 xn a1xn 1 an 1x an b0 xm b1xm 1 bm 1x bm

называется дробно – рациональной функцией.

Целые и дробно – рациональные функции образуют класс рациональных функций.

3. Функция, полученная путем конечного числа суперпозиций и арифметических действий над степенными функциями с целыми и дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функ-

цией.

Примеры иррациональных функций:

f x x2 x, f x x3 4 x x 1 , f x x32 x1 3.

4. Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной,

называется трансцендентной функцией.

Примеры трансцендентных функций:

f x cos 2x, f x tgx 3x2 , f x ex 5x.

5. Введем понятие сложной функции (функции от функции). Если у является функцией от переменной u, а u в свою очередь зависит от переменной х, то у также зависит от х.

Пусть y= F(u) и u= (x). Тогда функция у от х

2. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

2.1. Предел функции

Пусть функция y f x определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 1. Функция y f x стремится к пределу b ( y b ) при х

стремящемся к а ( x a ), если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для

руется следующим образом (рис.1). Для всех точек х, отстоящих от а меньше чем на δ, точки М графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = b + ε, у = b – ε.

Можно доказать, что если предел слева и предел справа равны, т.е.

b1 = b2 = b, то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела функции в точке а. И обратно, если существует предел функции b при x a , то существует предел справа и предел слева и они равны.

Пример 2.1. lim (5x 7) 12 .

x 1

Замечание 2. Для существования предела функции при x a не требуется, чтобы функция была определена в точке х = а.

Определение 2. Функция f (x) стремится к пределу b при x , ес-

ли для каждого произвольно малого 0 можно указать такое число N > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x N выполняется неравенство f (x) b .

Пример 2.2. lim 1 0

x x

3

2.2. Бесконечно большая и ограниченная функции

Рассмотрим случай, когда функция y f (x) при некотором способе изменения аргумента.

Определение 1. Функция f (x) при x a , т.е. является бесконечно большой величиной, если для каждого сколь угодно большого М >0, можно указать такое δ > 0, что для всех значений х отличных от а, удовлетворяющих условию x a , имеет место неравенство f (x) M .

Если функция f (x) при x a , то пишут

lim f (x)

x a

так как lim y 1, то переменную у можно представить в виде суммы предела

x

1 и бесконечно малой , равной в данном случае равна 1/x, т.е. у =1+ .

4

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трех функций u u(x); z z(x); v v(x) выполняются неравенства u z v , при этом u и v при x a или x стремятся к одному и тому же пределу b, то z=z(x) при x a (или при x ) стремится к тому же пределу.

Примеры. 2.9. Вычислить пределы

о том, что величина, обратная бесконечно малой, будет бесконечно большой

Здесь и в дальнейшем будем обозначать бесконечно малую величину -0, а бесконечно большую величину - .

Выражения вида 0 , , 0 , , 1 называются неопределенно-

0

стями.

2.5. Первый замечательный предел

Если в равенстве (2.1) положить 1/x = , то при x

Число е иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками

после запятой: е =2, 7182818284...

Примеры 2.11:

=e4 1 e4 .

2.7.Раскрытие некоторых неопределенностей

непосредственной подстановке х = а приходит к одному из случаев неопределенности. Укажем приемы для решения таких примеров, приемы «раскрытия неопределенности».

1. В числителе и знаменателе многочлены. Получается неопределен-

ность . Для ее раскрытия необходимо разделить числитель и знаменатель



на x в старшей степени.

Пример 2.12.

Здесь было использовано, что при x величины 1/x и 1/ x 2 стремятся к нулю.

7

2. В числителе и знаменателе многочлены. Получается неопределен-

ность вида 0 . Для решения надо разложить числитель и знаменатель на

0

множители и сократить.

Пример 2.13.

3. Дробь не является рациональной т.е. в числителе или знаменателе есть

корни. Получается неопределенность вида 0 . Необходимо числитель и

0

знаменатель умножить и разделить на сопряженное и сократить.

Пример 2.14.

4. При непосредственном вычислении получается неопределенности вида . В выражении есть корни. Необходимо умножить и разделить на сопряженное.

5. Неопределенность вида . Необходимо привести к общему знаменателю. В результате получим один из уже рассмотренных случаев.

8

Пример 2.17.

6. Пример содержит тригонометрические функции. Получается неопре-

деленность вида 0 . Для решения необходимо воспользоваться первым за-

0

мечательным пределом.

2.8. Непрерывность функции

Пусть функция у = f(x) определена при некотором значении х0 и в некоторой окрестности с центром в х0. Пусть у0 = f(x0). Если х получит некоторое положительное или отрицательное приращение и примет значение х=х0 + х, то и функция у получит некоторое приращение у. Новое, значение функции будет (рис. 2) у0 + у = f(x0 + х). Приращение функции у выразится форму-

лой у = f(x0+ х) f(x0).