При этом бесконечно малая есть бесконечно малая низшего порядка, чем бесконечно малая .

Определение 3. Если отношение двух бесконечно малых / стремится к единице, т.е. lim / 1, то бесконечно малые и называются эквива-

лентными бесконечно малыми и пишут .

Пример 2.24. Пусть =х, =ln(1+ х), где х 0. Бесконечно малые и эквивалентны, так как

Приведем без вывода несколько эквивалентных бесконечно малых, использование которых сильно упрощает вычисление пределов:

х sin x, x tg x, x arcsin x, x arctg x, x e x 1.

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Определение производной и ее геометрический смысл

Предел отношения приращения функции y к, вызвавшему это приращение, приращению аргумента x , при x 0 , т.е.

называется производной функции f(x) по независимой переменной x.

вают дифференцированием.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у =f (x) в некоторой точке, равен значению производной функции в этой точке. В этом состоит геометрический смысл производной.

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производ-

функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на первую, т.е. если y u v, то

Теорема 5. Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и произ-

3.3. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция у=f(x), т.е. такая, что ее можно представить в следующем виде: y=F(u), u =φ(x) или y=F(φ(x)). В выражении y=F(u) переменную u называют промежуточным аргументом.

подставлено выражение u=φ(x).

3.4. Таблица основных формул дифференцирования

Объединим в одну таблицу все основные формулы и правила дифференцирования.

14