Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекции матан.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

1.3. Основные свойства неопределённого интеграла

Теорема 1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

Af x dx A f x dx .

(1.2)

Теорема 2. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен сумме неопределённых интегралов от слагаемых:

f x g x dx f x dx g x dx

(1.3)

(верно для любого конечного числа слагаемых)

Теорема 3. Если f x dx F x c , то

f ax b dx

F ax b c .

(1.4)

Для доказательства теорем находят производные левой и правой частей

равенств.

Примеры

1.1.

Вычислить

неопределенные

интегралы.

x3 x 2 x x 1

1 x

dx xdx dx

x 2

x 1

- x

x 2 dx

x 2

2 dx

c .

x 2

1 dx

xdx

x 2

c .

x 5

c .

x 5

4. sin(2x 1)dx 12 cos(2x 1) c.

1.4. Интегрирование с помощью замены переменной

Одним из самых распространенных методов интегрирования является

метод замены переменной.
Пусть надо вычислить интеграл
f(x)dx.	(1.5)

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, поло-

жив

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt .

(1.6)

Предположим, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Тогда

	(1.7)
f x dx f t t dt .

Функцию x=φ(t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (1.7).

Замечание. Часто вместо подстановки (1.6) употребляют обратную:

(1.8)

x t ; x dx dt .

Примеры 1.2.

sin x t

1. (sin x) cos xdx

sin x

cos xdx dt

2. e x sin e x dx

e x

sin tdt cos t c cos e x c .

e x dx dt

3. 2xe x

et dt e x

c .

2xdx dt

sin x t

sin x cos xdx

2 dt t

(sin x)

cos xdx dt

xdx

x 2

1 t

ln x 2 1 c .

2xdx dt

f (x) t

c ln

f x

c .

f x

f (x)dx

1.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

d uv vdu udv .

Интегрируем обе части равенства по х:

d uv vdu udv, uv vdu udv,

Pn x .

сводит вычисление интеграла

udv uv vdu .

(1.9)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула udv к вычислению интеграла vdu, кото-

рый может оказаться проще исходного.

С помощью интегрирования по частям вычисляются:

а) Интегралы вида:

eaxPn x dx , Pn x sin xdx; Pn x cos xdx .

Во всех этих интегралах многочлен Рn(x) умножается на функцию, интеграл от которой является табличным. В этом случае за u(x) выбирают

Примеры 1.3. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

		u x;	du dx		xe x	ex dx xe x ex c.
		x		x
1. xe x dx
	dv e dx;		v e

x cos xdx

u x;

du dx

x sin x

sin xdx x sin x cos x c.

dv cos xdx;

v sin x

u x2

2x 3;

du (2x 2)dx

(2x 2)e

2x 3)e

dv e

dx;

v e

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

u 2x 2;

dv e x dx;

2 e x dx (x 2

du 2dx		(x 2	2x 3)e x (2x 2)e x
	x
v e

2x 3)e x (2x 2)e x 2e x c.

б) Интегралы вида:

ln xPn x dx , Pn x arcsin xdx; Pn x arctgxdx .

Во всех этих интегралах многочлен Рn(x) умножается на функцию, интеграла от которой в таблице нет. В этом случае за u(x) выбирают ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д.

Примеры 1.4.

u ln x, du

x5ln xdx

ln x

c .

dv x5dx, v

																dx
2.					u arctgx,						du
					u arctgx,						du				x 2
		xarctgxdx									1				x 2
						dv xdx					v x			2			/ 2
						dv xdx					v x						/ 2
	x 2			1		x 2					x 2							1		x 2		1 1
			arctgx						dx			arctgx														dx
	2		arctgx	2		1 x	2		dx		2	arctgx						2			1	x			2	dx
	2			2		1 x					2							2			1	x
	x 2		arctgx	1		(1			1	)dx			x 2			arctgx			x				1	arctgx c.
			arctgx			(1			2	)dx						arctgx								arctgx c.
	2			2		1		x			2								2			2

в) Интегралы вида:

eax sin bxdx, eax cos bxdx.

Пример 1.5.

e	x		u e x , du e x dx		x
	x	sin xdx		e	x	cos x
		sin xdx		e		cos x
			dv sin xdx, v cos x

e	x		u e x , du e x dx		x		x
		cos xdx		e		cos x e		sin x

			v cos x

e x sin xdx.

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим равенство J e x sin x cos x J .

Перенося J в левую часть равенства, имеем 2J e x sin x cos x .

Окончательно: e x sin xdx e x sin x cos x c .

1.6. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

P x

x a

x 2

... a

x n

Qm x

b x b x 2

... b

x m

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь правильная. В противном случае дробь называется неправильной. Неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель всегда можно представить в

виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
	Pn x				Pk	x
				N x			k m .
	Q	m	x	N x	P	x	k m .
		m			m

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I.	A	; II.	A	; III.	Ax B	; IV.		Ax B	;

	x a		x a k		x 2 px q		x 2	px q k

где A, B, р, q – действительные числа, а трёхчлен x2 + px +q не имеет действительных корней, т.е. D = p 2 4q 0 называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Проинтегрируем простейшие дроби:


		A			d x a
I.			dx A
		x a			x a
II.		A		dx A x a k

	x a k

Ax B dx

III.I3 x2 px q.

Aln	x a	c .
Aln	x a	c .
d x a A		x a k 1	c	A	c.
d x a A		k 1	c	k 1 x a k 1	c.
		k 1		k 1 x a k 1

(1.10)

(1.11)

Выделим в числителе производную знаменателя

2x p

I 3

x 2 px q

2x p dx

x 2 px q

px q

x 2

px q

Рассмотрим отдельно второй интеграл. Выделим в знаменателе полный квадрат

d x

x 2 px q

p 2

x 2

													x	p
			dz			1	arctg		z	c	1	arctg	x	2	c.
			dz			1			z		1			2
	z	2			2
	z
				p			p 2
z x					; q			2 .
z x					; q			2 .
				2			4
				2			4

Окончательно получим:

			A				px
I	3		A		ln	x 2
I					ln	x 2
		2
		2					p 2
							p 2
	2			q				.
	2			q				.
							4
							4

					x	p
		Ap	1
					2

q	B			arctg				c ,

		2					(1.12)

Пример 1.6. Вычислить:

2x 2 2

1 2x 2 dx

x 3

x2 2x 2

x 1 2 1

x2 2x 2

2arctg x 1 c.

IV. Интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

Заключение. Интегралы от простейших дробей есть функции элементарные (составленные из логарифмов, арктангенсов и рациональных функций).

1.7. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование

правильных рациональных дробей

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция:

R x Pn x (1.13)

Qm x

(m>n) и знаменатель её разложен на действительные множители:

Qm x am x x1 k x x2 l ... x2 p1 x q1 s x2 p2 x q2 p .

Тогда дробь (1.13) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

Pn x	A1	A2		...	Ak		B1	B2			...	Bl
Qm x	x x1	x x	2	...	x x	k	x x2	x x	2	2	...	x x	2	l
		1			1				2				2

M1x N1

M 2 x N2

...

M S N S

x2 p1x q1

p1x q1

x2 p1x q1

P x Q

P Q

...

x2 p2 x q2

p2 x q2

x2 p2 x q2 p

Здесь

A1, A2 ,...Ak ;

B1, B2 ,...Be ,...M1, N1, M 2 , N2

и т.д. – некоторые коэффи-

циенты.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.

Пример 1.7. Вычислить интеграл x 2 dx .

(x 2)2 (x 1)

Решение. Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.

x 2	A	B	C	.
x 2 2 x 1	x 2 2
		x 2	x 1

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

x 2 2

x 2

x 1

A x 1 B x 2 x 1 C x 2 2

x 2 2 x 1

Ax A Bx 2

Bx 2Bx 2B Cx 2 4Cx 4C

x 2 2 x 1

B C x 2 A B 4C x A 2B 4C x 2.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

x2	B C 0		C B		1		1		4

x1	A B 4C 1		A 3B 1	;9B 1; B		; C		;3A 4; A		.
					9		9		3
x0	A 2B 4C	2	A 6B 2

Подставим найденные коэффициенты в разложение

			x 2						4			1					1 1				1		1		.

	x-2 2 x 1								3 x 2 2
	x-2 2 x 1								3 x 2 2								9 x 2				9 x 1
Окончательно получим:
				x 2				dx			4			dx				1		dx				1		dx

			2		x	1					3		x 2				2	9		x						x
		x-2			x	1					3		x 2					9		x		2 9				x	1
			4 1				1	ln		x 2				1	ln	x 1			c.
			4 1				1							1

			3 x 2
						9								9										9
						9								9

Пример 1.8. Вычислить интеграл																																			1			dx .

																																	(x 1)(x 1)				(x2 1)
Решение. Разложим дробь на простейшие
							1										A								B				Cx D

	x 1 x 1 x 2 1																x 1					x 1								x 2 1
			A x 1 x 2 1 B x 1 x 2 1 Cx D																													x 2 1			.
																x 2 1 x 2 1																			.
																x 2 1 x 2 1
Приравняем числители:
	A x3						x2			x 1 B x3									x2				x 1 C x3									x D x2 1 1. Тогда
														4 A 1; A										1		,
	x3			A B C 0																				1
	x3			A B C 0																			4
																							4
	x	2		A			B D												1
	x			A			B D					0		B					1	; C			0,
	x1			A B C								0
																			4
																			4
		0		A			B D					1							1
	x													D						.
	x													D					2	.
			1							1 1				1 1					2		1				1					.
			1							1 1				1 1							1				1

										4 x					4 x
	x 4 1									4 x		1			4 x				1 2 x 2 1
Окончательно получим:
							1		dx			1		1				dx					1				1				dx	1			1	dx

					x4 1							4				x 1							4					x 1					2	x2 1
			1					x 1			1		arctgx c.
			1			ln		x 1			1
			4			ln					2
			4					x 1			2

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Площадь криволинейной трапеции

Понятие определённого интеграла является одним из основных понятий математики. Между определённым и неопределённым интегралами существует тесная связь, которая и лежит в основе практического использования определённого интеграла.

у0

...

xn=b

n-1

Рис. 1

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f(x), и двумя прямы-

ми: x = a и x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – её основанием (рис. 1).

Найдём площадь этой фигуры. Разобьём отрезок [a,b] на n частей произвольным образом. Через точки деления х1, х2,…хn-1 проведем прямые, параллельные оси Оу. Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей. Обозначим длины элементарных отрезков через хk:

x0 x1 x0 ; x1 x2 x1;... xk xk 1 xk ;... xn 1 xn xn 1.

В каждом из элементарных промежутков возьмём произвольную точ-

ку k : x0 0 x1 ; x1 1 x2 ;... xk k xk 1 ;...xn 1 n 1 xn .

Вычислим значения функции f(x) в этих точках: f 0 , f 1 ,... , f k ,..., f n 1 .

Каждую элементарную полоску с основанием xk заменим прямоугольником с тем же самым основанием xk и высотой f( k ) (k = 0, 1, 2,…n-1). Площадь каждого такого прямоугольника равна f( k ) хk.

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой,

площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:
Sn f 0 x0	f 1 x1 ... f k xk ... f n 1 xn 1
n 1	k xk . Эта сумма называется интегральной суммой для функ-
или Sn f

k 0

ции f(x) при данном разбиении отрезка a, b на частичные и данном выборе промежуточных точек k .

Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они зависят от способа разбиения отрезкаa, b и от выбора точек k . Пусть частичные отрезки становятся сколь угод-

но мелкими, т.е. max xk 0 . При этом очевидно, что число n элементарных

отрезков в разбиении стремиться к бесконечности и интегральная сумма будет каким-то образом изменяться.

Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближённым значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичных интервалов (и больше n). Полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) .

За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться Sn, когда разбиение отрезка a, b делается сколь угодно мелким

(если такой предел существует): S lim Sn или

max xk 0 n 1

S lim f ( k ) xk . (2.1)

max xk 0 k 0

a, b , интегрируема на

Здесь max xk - наибольшая длина элементарного отрезка.

Определение. Если существует предел интегральной суммы (2.1) при max xk 0 и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на

частичные, ни от выбора промежуточных точек k , то этот предел называет-

ся определенным интегралом от функции f(x) на отрезке a, b и обозначает-

ся: f (x)dx . Здесь а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел

интегрирования. Таким образом, по определению:

b		n 1
f (x)dx	lim	f ( k ) xk .	(2.2)
a	max xk 0	k 0
a		k 0

Из определения следует, что определённый интеграл – это число, зависящее от вида функции f(x) и от чисел a и b.

Из формулы (2.2) следует геометрический смысл определённого интеграла при f (x) 0 : определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Из определения непосредственно вытекает, что

dx b a .

Определение (2.2) интеграла сделано для случая a<b. Если a>b, то примем по определению:

b	b	a
f (x)dx f (x)dx , а если a=b, то		f (x)dx 0 .
a	a	a

Функция, для которой существует определённый интеграл на отрезкеa, b , называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема. Функция f(x) непрерывная на отрезке этом отрезке.

Эта теорема даёт достаточное условие интегрируемости. Среди разрывных функций могут быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.

Приведем некоторые свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

b	b
Af (x)dx A f (x)dx .
a	a	a, b , то определённый ин-
2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на

теграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

b b b

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

a a a

Замечание. Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

2.2. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b и F(x) есть ка- кая-то из первообразных для f(x) на a, b , то имеет место формула:

	b
	f (x)dx F (b) F (a)			(2.3)
	a
Формула (2.3) – носит название формулы Ньютона-Лейбница.
Будем обозначать	F(b) F(a) F(x)	b	- двойная подстановка.
Будем обозначать	F(b) F(a) F(x)	b	- двойная подстановка.
		a
		a

Пример 2.1. Вычислить определенный интеграл.

2	x3	2
2		2
x2dx			8	1	7	.
x2dx						.
3		1	3	3	3
1		1
1

Примеры 2.2. Вычислить определенные интегралы.

	1									arctg1 arctg 0 4 .
1.			dx		arctgx				10
			dx
		1 x		2
	0	1 x
	3						3
			dx		1		3	1			2
2.							1			1		.
2.			x2			x		3		1	3
	1		x2			x		3			3
	1

2.3.Интегрирование по частям

вопределённом интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в a, b . Тогда, дифференцируя произведение, получим

du(x)v(x) udv vdu.

Проинтегрируем это тождество по х в промежутке a, b

b		b
udv uv	ba	vdu .


a		a
Эту формулу надо понимать так:
		13

b		b
v (x)u(x)dx u(x)v(x)	ba	v(x)u (x)dx .	(2.4)


a		a

Формула такая же, что и для неопределённого интеграла, но в результат надо подставить пределы интегрирования.

Пример 2.3.

1							dx
		u ln(1 x);			du
							x
ln(1 x)dx						1
					v x.
0		dv dx;
1		xdx		1	1	dx
x ln(1 x)	10		ln 2	dx

		x 1				x 1

0				0	0

;

ln 2 x 10 ln 2 x 10 ln(1 x) 10 ln 2 1 ln 2

2 ln 2 1.

2.4.Замена переменной в определённом интеграле

Пусть надо вычислить f (x)dx , где f(x) – некоторая непрерывная функ-

		a
ция.
Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую пере-
менную x (t) . При этом пользуются следующим правилом.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1.	функция f(x) непрерывна на отрезке a, b ;
2.	функции (t)		и a (t) b при
2.	функции (t)	и (t) непрерывны в промежутке ,	и a (t) b при
t и () a;( ) b ;
3.	сложная функция f (t) непрерывна на , .
		b
Тогда			(2.5)
Тогда		f (x)dx f t t dt.	(2.5)
		a

Замечание. Если в определённом интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.

Пример 2.4.

						t; x t 2
	4				x	t; x t 2					2				2
	4										2				2
		dx		dx 2tdt								2tdt					t 1 1
1.														2				dt
1.														2				dt
	1 x			x1 0;t1 0							1 t						t 1
	0						4;t2		2		0				0
				x2			4;t2		2
	2		2	dt									2
								2


	2 dt						2t	0	2 ln	1 t			0 4	2 ln 3 .
				t 1					2 ln	1 t				2 ln 3 .


			0
	0		0
																14

2.5. Приложения определенного интеграла

2.5.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Если f (x) 0 на отрезке a, b , то площадь криволинейной трапеции вычисляют по формуле

S= f ( x)dx .

(2.6)

Если f (x) 0 на a, b , то f (x)dx 0 и S= f (x)dx

f (x)

dx .

Если f(x) принимает на a, b значения разных знаков, то

f ( x)

dx .

Пример 2.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

; y 0; x 1; x 2 (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

Решение.

ln x

2 ln 2 ln1 ln 2

(кв. ед.).

Пример 2.6. y sin x 0 x 2 ; y 0 (рис. 3).

Решение.

0 x

sin x

2x 2

sin x

sin xdx

( sin x)dx

cos x

1 1 1 1 4.

Иначе: S 2 sin xdx 4 , но sin xdx 0

- алгебраическая сумма площа-

дей.

2.5.2. Длина дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением у= f(x).

Mi-

х2

xi-1

Рис. 4 Длина дуги АВ этой кривой, заключенной между вертикальными пря-

мыми х=а и x= b (рис. 4) определяется по формуле

1 f ( x) 2 dx .

(2.7)

Пример 2.7. Определить длину окружности x 2 y 2

r 2 .

Вычислим длину четвертой части окружности, лежащей в первом квад-

ранте. Тогда уравнение дуги АВ будет

r 2 x 2 ,

откуда y

r 2 x 2

x 2

Следовательно,

dx r arcsin

r 2

x 2

Длина всей окружности s 2 r.

2.5.3. Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной кривой y=f(x) a x b , вращается вокруг оси Ох.

Объем тела вращения вычисляется по формуле:

b
Vx f (x) 2 dx .	(2.8)

Пример 2.8 . Сегмент параболы y 2 4x , отсекаемый прямой х=1, вращается вокруг оси Ох. Найти объём тела вращения.

y		1
y		1	1
		V 4xdx 2x 2		2 (куб. ед.).

			0
O	x		0
O	x	0

Рис. 5

3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.1. Понятие функции двух переменных. Область определения. График. Линии уровня

Определение. Если каждой паре значений независимых переменных (х, у), взятых из некоторой области изменения, по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение третьей переменной z, то z называется

функцией двух переменных х и у: z = f (x, y).

Например: z =ln ( x2 y 2 2) .

Переменные х и у называются аргументами функции z. Область D – область определения функции z. Каждой паре чисел (х, у) на плоскости Оху можно поставить в соответствие точку М (х, у). Тогда функцию двух переменных можно понимать как функцию точки на плоскости Оху. Каждой точке из некоторого множества точек плоскости Оху ставится в соответствие определенное значение переменной z: z=f (М). Плоскость Оху - плоскость аргументов для функции двух переменных. Область определения функции двух переменных – некоторая область плоскости Оху.

у0+

у0 М0

Р(х,у)

х0

Рис.6

Рис. 7

Определение. - окрестностью точки M0 (х0,у0) называется внутренняя

часть круга радиуса с центром в точке M0

(рис.6). - окрестность точки

(х

,у ) можно задать как

(x x

)2 ( y y

Точка М1

называется внутренней точкой множества D, если у этой

точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества.

Точка М2 называется граничной точкой множества D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие множеству D, так и точки ему не принадлежащие (рис.7).

Сама граничная точка может принадлежать множеству D, а может и не принадлежать.

Совокупность всех граничных точек множества D называется его грани-

цей.

Множество D называется замкнутым ( D ), если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Множество D точек плоскости Оху называется областью, если: 1) D – открытое множество, т.е. состоит только из внутренних точек. 2) всякие две

точки М1 и М2 D можно соединить непрерывной линией, все точки которой также принадлежат D (свойство связанности).

Открытая область является аналогом интервала (а,b) на прямой. Замкнутая область D - аналог отрезка [a,b].

z	Z= f (x,y)	Функция двух переменных допускает непосред-
z		ственное геометрическое истолкование. Возьмем
	P	ственное геометрическое истолкование. Возьмем
	P	пространственную декартову систему координат.
		пространственную декартову систему координат.
		Функция z = f(x,у) определена в области D плоскости
		Функция z = f(x,у) определена в области D плоскости
		аргументов Оху . Выберем в области D произволь-
	y ную точку М1 (х1,у1) и вычислим соответствующее
	M	значение функции z1 = f (х1,у1). Тройку чисел
	M	значение функции z1 = f (х1,у1). Тройку чисел
x		(х1,у1, z1) изобразим точкой Р1 (х1,у1, z1) в координат-

	Рис. 8	ном пространстве Охуz. Если точку М1 (х1,у1) пере-
	Рис. 8	мещать в области определения D функции z, точка Р1
		мещать в области определения D функции z, точка Р1

опишет некоторую поверхность с уравнением z = f (х, у). Эта поверхность и служит геометрическим образом функции двух переменных, ее графиком (рис. 8).

График функции z = f (х,у) проектируется в об-

ласть определения функции D.		z
ласть определения функции D.
Часто вместо графика функции практически более
удобным является другой способ представления функ-
ции двух переменных – линии уровня.
Множество точек на плоскости Оху, в которых
Множество точек на плоскости Оху, в которых	,х		y
функция z = f (х,у) сохраняет постоянное значение h: f		Рис.9

(х,у) = h называется линией уровня функции.

Например, для функции z x 2 y 2 линиями уровня являются окружности

сцентром в начале координат

x2 y 2 h, R h .

Вкаждой точке линии уровня значения функции постоянны и равны h. Выбираем разные h, получим разные линии уровня. Геометрически линии уровня получаются, если пересекать поверхность z = f (х,у) плоскостями, параллельными плоскости Оху: z = h и проектировать линии пересечения на плоскость Оху (рис. 9). В результате в области определения D получается своеобразная ”геодезическая карта” поверхности z = f (х, у), которая дает представление об изменении функции f (х, у). В той части области D, где линии уровня сгущаются, функция z быстро возрастает или убывает. Там, где линии уровня разрежены, f (х, у) изменяется медленно. В точках экстремума функции z = f (х, у) линии уровня вырождаются в точку.

3.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Определение. Число А называется пределом функции двух переменных f

(х, у) при х х0, y у0 ( или при М М0), если для >0 > 0 такое, что для всех точек -окрестности точки М0 ( х0, у0) выполняется неравенство

		f (x, y) A		,		(3.1)
		f (x, y) A		,		(3.1)
В этом случае пишут:
lim f ( x, y) A			, или		lim f (M ) A .	(3.2)
x	x0				M M 0

y y0

Определение предела для функции f (х, у) логически совпадает с определением предела для функции одной переменной, поэтому остаются в силе все теоремы о пределе функции и правила их вычисления.

Функция f (х,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если точка М0 принадлежит области определения функции и если

lim f (x, y) f (x0 , y0 )

(3.3)

x x0 y y0

Функция f (х, у) называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Для выполнения условия непрерывности (3.3) необходимо, чтобы: 1) функция f (х, у) была определена в точке М0(х0, у0);

2) существовал предел	lim f (M ) A ;
	M M 0

3) f (М0) = А.

Точка М1(х1, у1) называется точкой разрыва функции f (х, у), если функция определена в окрестности этой точки, но в самой точке М1 не выполнено хотя бы одно из указанных условий непрерывности.

Непрерывность функции f (х, у) по совокупности аргументов не сводится к непрерывности по каждому аргументу в отдельности.

Все свойства, установленные для непрерывных функций одной переменной, остаются в силе для непрерывных функций нескольких переменных.

1.Все элементарные функции нескольких переменных непрерывны в области определения.

2.Если функция f (М) непрерывна в замкнутой области D , то она ограничена в ней ( достигает наибольшего и наименьшего значения ).

3.Непрерывная в D функция, непрерывно переходя от одного своего значения к другому, необходимо проходит через каждое промежуточное значение.

3.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка

Пусть функция z =f (х, у) определена и непрерывна в точке М0 (х0, у0) и некоторой ее окрестности. Фиксируем значение у = у0, а изменять будем х. Получим функцию одной переменной z =f (х, у0). Пусть М1( х + х, у0). Рас-

смотрим разность х z = f (М1) - f ( М0)= f ( х + х, у0) - f (х0,у0).Эта разность называется частным приращением функции z по переменной х и обозначается

х z.

Определение. Если существует предел отношения x z при х 0, то

этот предел называется частной производной функции z по переменной х в точке М0 (х0, у0).

Обозначается z

x ,

f x (x0

f ( x

, y

)

, y0 ) ,

. Таким образом, по опреде-

лению

lim

x z

f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )

, y

)

lim

f (x

x 0

В определении частной производной не все координаты равноправны: переменная у фиксирована, а х изменяется. Точно так же при перемещении из точки М0(х0, у0) в точку М2(х0, у0 + у) получим частное приращение функции z по переменной у (фиксирована х = х0, а у изменяется: z= f(х0, у))

y z = f (М2) - f ( М0)= f ( х0 ,y0+ у) - f (х0,у0).

Определение. Предел отношения y z

при у 0, если он существует,

называется частной производной функции z по переменной у.

Обозначается

f (x

, y

)

f ( x0 , y0 )

y ,

По определению

= lim

y z

lim

f (x0 , y0

y) f (x0

, y0 )

(x0 , y0 ) .

= f y

y 0

x 0

Частные

производные

характеризуют скорость изменения

функции z в точке М0 (х0, у0) в направлении координатных осей Ох и Оу.

Из определения частных производных следует и правило их вычисления: например, частная производная функции z =f (х, у) по переменной х находится так же, как и обыкновенная производная, считая у =const. Наоборот, частная производная функции z =f (х, у) по переменной у находится так же, как и обыкновенная производная, считая х =const.

Поэтому при вычислении частных производных сохраняют силу правила и формулы дифференцирования для функции одной переменной.

Пример			3.1.	Найти			частные		производные	функции
z x 3 3x 2 y 16xy 3 y 4 x 16.
Решение.
	z	= 3x2	6xy 16y 3	1,	z	= 3x2	48xy2 4 y3 .
		= 3x2	6xy 16y 3	1,		= 3x2	48xy2 4 y3 .
	x				y
Пример 3.2. z ln(x				2 y 2 ) . Найти z				и z в точке М(1,-1).
							x	y

Решение.	z	M0			2x		x 1
	z				2x
	x		x	2	y	2
				2		2	y 1

	2	1,	z	M0			2 y		x 1	2	1 .
	2		z				2 y			2
	1		y			2	y	2		1 1
1	1		y		x		y			1 1

									y 1

Таким образом, в точке М0 данная функция возрастает в направлении оси Ох и убывает в направлении оси Оу.

Замечание. Для функции у = f(x) существование производной f (x0) гарантирует непрерывность функции f(x) в точке х =х0. Для функции n 2 переменных из существования частных производных по всем переменным в точке М0 не следует непрерывность функции u= f(М) в этой точке.

3.4. Полное приращение функции и полный дифференциал

Рассмотрим функцию двух переменных f (x,у). Пусть она определена и непрерывна в точке М0(х0 ,у0) и некоторой ее окрестности. Перемещению из

точки М0(х0 ,у0) в точку М(х ,у) х = x0+ x,	у = у0+ у соответствует полное
приращение функции: z = f (М) - f (М0) = f	(x0+ x, у0+ у) - f (x0, у0),

т.к. здесь, вообще говоря, все переменные получают приращения, отличные от нуля.

Обозначим через расстояние между точками М0 и М:= x2 y 2 . Очевидно, что 0 х 0 и у 0.

Функция z = f (x, у) называется дифференцируемой в точке М0 (х0,у0), ес-

ли существуют числа А и В такие, что полное приращение функции предста-

вимо в виде:
z = А x + В y + , где	0 при 0	(3.4)
Определение. Линейная функция А x + В y	переменных x и y назы-
вается полным дифференциалом функции f (x, у) в точке М0 (х0,у0)		и обозна-
чается

dz = А x + В y.

Следовательно, формулу (3.4) можно записать z = dz + .

Замечание. Формулу (3.4) можно записать в другом виде: z = А x + В

y + x + y, где 0 и 0 при х 0 и у 0.

Установим связь между дифференцируемостью функции и существованием у нее частных производных.

Теорема 1. (Необходимое условие). Если функция z = f (x, у) дифференцируема в точке М0 (х0,у0), то эта функция имеет в точке М0 частные производные, причем

f (x

, y

)

=А,

, y

)

=В.

Следовательно, полный дифференциал можно записать в виде:

dz =

x +

y. Но x =d х и y= dу.

Поэтому полный дифференциал функции в произвольной точке М(х, у)

dz =

(x, y) dx +

(x, y) dy.

(3.5)

Таким образом, dz =

dx z +

d y z

- полный дифференциал равен сумме

частных дифференциалов.

Теорема 2. (Достаточное условие). Если функция z = f (x, у) имеет частные производные в точке М0 (х0, у0) и в некоторой ее окрестности, и эти частные производные являются непрерывными функциями, то эта функция диф-

ференцируема в точке М0 , причем	f y (x0 , y0 ) у.
dz = f x (x0 , y0 ) х +	f y (x0 , y0 ) у.

Теорема 3. Если функция f (x, у) дифференцируема в точке М0, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка мало-

сти по сравнению с х и у. Поэтому дифференциал – главная линейная часть приращения функции.

3.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция z = f (x,y). Найдем ее частные производные:

z	f ( x, y)	и	z	f ( x, y)	.

x	x		y	y

Частные производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных: х и у. Их можно снова дифференцировать по этим переменным. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются следующим образом:

2 z

( x, y)

2 z

( x, y)

;

x 2

x y

2 z		z	f


y x			yx
	x	y

Производные

		2 z			z
(x, y)	;		2			f		(x, y)	.
(x, y)						f		(x, y)
		y					yy
		y		y	y
f yx (x, y) , f xy (x, y)					, отличающиеся порядком дифференциро-

вания называются смешанными производными второго порядка.

Пример 3.3. Найти производные второго порядка функции

z x4 x5 y3 y3 16.

Решение.

4x3

5x 4 y 3

;

3x5 y 2

3y 2 ;

2 z

12x 2

20x

3 y 3 ;

2 z

6x5 y

6 y ;

x 2

y 2

2 z

15x 4 y 2

;

2 z

15x 4 y 2 .

y x

x y

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны в той облас-

ти, где они непрерывны 2 z = 2 z .

y x x y

3.6. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию z= f(x,y), непрерывную в точке М0(x0,y0) и некоторой ее окрестности.

Точка М0(x0,y0)) называется точкой максимума функции z = f(М)

(рис. 10), если всюду в некоторой окрестности точки М0 (0< d (M0 M) < ) выполняется неравенство

f (М) <f (М0) или z = f (М) – f (М0) <0.

Точка М0 (x0,y0) называется точкой минимума функции z=f(М) (рис.11),

		z		z
	f(M)	f(M0)	f(M)
	f(M)		f(M)
				f(M0)
		y0		y0
x0		y	x0	y
x0		M0	x0	M0
	x	M0	x	M0
	x		x
		.13.		Рис. 11
		Рис. 10

если всюду в некоторой окрестности точки М0 (0< d (M0M) < ) выполняется неравенство

f (М) f (М0) или z = f (М) – f (М0) 0.

Точки максимума и точки минимума – точки экстремума. Понятие экстремума носит локальный характер: в определении рассматриваются лишь точки М1 достаточно близкие к точке М0.

Теорема. (Необходимое условие). Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то

	(x0 , y0 ) 0	;	f (x	0	, y	0	) 0	.
f x			y

Следствие. В тех точках, в которых существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.

Значит, экстремум следует искать только в тех точках, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует.

Такие точки называются критическими (стационарными). В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. В общем случае о наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточных признаков экстремума.

3.7. Достаточный признак экстремума

Теорема. Пусть функция z= f(х, у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а в самой точке М0

(x0 , y0 ) 0 ;

(x0

, y0 ) 0

(т.е. точка М0 является критической). Обозна-

f x

f y

чим:

, y0 ) A ,

, y

) B

(x0

, y0 ) C .

f xx (x0

f yy

Тогда:

1.Если число = AC B2 >0, то точке М0 (х0 ,у0) функция f(х, у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

2.Если число = AC B2 <0, то точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число = AC B2 =0, то признак не применим.

Пример 3.4. Найти экстремум функции

z x3 y 3 9xy 27 .

Решение. Найдем частные производные и приравняем их нулю.

z		2
	3x		9 y 3x 2		9 y 0
x	3x		9 y 3x 2		9 y 0	.
z	3y 2			3y 2	9x 0	.
z			9x
y			9x
y

Решая систему уравнений, получим критические точки

х1=0; у1 =0; х2= 3;	у2= 3;	М1(0,0); М2(3,3).
Найдем вторые производные:
	2 z	= 6х,	2 z	= 9,	2 z	= 6у.
	x 2		x y		y 2
В точке М1: А=0, В= 9,		С =0. AC B2 < 0. Экстремума нет.
В точке М2: А=18,	В = 9, С = 18.			AC B2 >0. Следовательно, в точке М2

функция имеем минимум, так как А 0.

zmin 27 27 81 27 0.

3.8. Производная по направлению

Пусть дана дифференцируемая функция трёх независимых переменных: u=f(x, y, z).

Частные производные	u	,	u	,	u	характеризуют скорость изменения
	x		y		z

функции в направлении координатных осей. Можно рассматривать более общую задачу: найти скорость изменения функции в произвольном направлении l0, не совпадающем с направлением координатной оси.

Возьмём в пространстве некоторую точку М0(x0,y0,z0) и через неё прове-

дём прямую параллельную l0 . Возьмём на прямой другую точку М1(х0+ x, y0+ y, z0+ z) на расстоянии

x2 y 2 z 2

(3.6)

от точки М0 (рис. 12).

При переходе из точки М0 в точку М1 функция u=f(M) получит полное приращение u= f(M1) f(M0). Отношение

	u		f (x0 x, y0 y, z0 z) f (x0 , y0 , z0 )

есть средняя скорость изменения функции u= f(M) в направлении, указанным

вектором l0 .

Определение. Предел этого выражения, ес-								z
ли он существует, называется производной функ-									M1
										l
ции u = f(M) в точке М0 по направлению l .								y M0
			u			u		y M0	l0
									l0
Обозначается: u ;				;	u ;		k			z
Обозначается: u ;			l	;	u ;	.		x		z
		l	l		l	l		x
		l			l
								j
Таким образом, по определению:							i	j		y
Таким образом, по определению:							i			y
u	lim	u	или			(3.7)	x	Рис. 12
l	0							Рис. 12

u	lim	u(x0 x, y0 y, z0 z) f (x0 , y0 , z0 )
l
	0

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении.

Установим связь между производной по направлению и частными про-

изводными.						cos , cos , cos .

Пусть вектор l0 задан координатами: l0
Из рисунка видно, что cos					x ; cos	y ; cos z - направляющие

косинусы.
Запишем полное приращение функции u в виде
u f (M1 ) f (M 0 )			u x	u y u z 1 x 2 y 3 z ,
			x	y	z
где 1 , 2 , 3 0		при	x 0, y 0, z 0			(свойство	дифференцируемости
функции).
Разделим обе части равенства на
u	u x	u y	u z	x	y	z
	x	y	z	1	2	3 .
Если 0		то x 0, y 0, z 0 , т.е. 1 , 2 , 3					0 . Перейдём в обеих

частях равенства к пределу при 0 . Правая часть равенства имеет предел и этот предел равен:

lim	u	u cos	u cos	u cos .
0		x	y	z
Значит, существует и предел левой части				lim	u	u	. Таким образом,
				0		l

получим следующую формулу

u cos u cos

u cos .

(3.8)

Данная формула выражает производную функции u=f(x,y,z) по любому

через производные этой функции по трём

направлению

l0 cos , cos

, cos

взаимно перпендикулярным направлениям i , j, k .

В случае функции двух переменных u = f (x,y) имеем: l0 cos , cos и

u cos

u cos или

(т.к. 2 ).

x cos y sin

(3.9)

Пример 3.5. Найти производную функции f(x,y)=x y2 в точке М0 (5;1) по

направлению к точке М1 (9;4).

Решение. Направляющие косинусы вектора M 0 M 1

M 0 M1 = 4,3 ;

16 9 5 ,

M 0 M1

cos

;sin

Найдем значения частных производных в точке

1; f

y 2

2xy

M 0

10.

M 0

По формуле (3.8) получим:

3.9. Градиент функции. Свойства градиента

Пусть в пространстве задана функция трёх переменных u=f(x,y,z). Тогда в некоторой точке M0(x0,y0,z0) имеется бесчисленное множество различных направлений и дифференцируемая в точке М0 функция в этой точке имеет бесчисленное множество производных, соответствующих различным направлениям.

Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.

Пусть функция u=f(x,y,z) имеет в точке M0(x0,y0,z0) непрерывные частные производные. Тогда в точке М0 можно построить вектор с координатами:

f (x , y		, z )	;	f (x , y		, z )	;	f (x , y		, z		)
0	0	0	;	0	0	0	;	0	0		0	.
x				y				z

Началом этого вектора служит точка М0, в которой вычислены частные производные. Этот вектор называется градиентом скалярной функции в дан-

ной точке и обозначается grad u(M 0 ) или grad f (x0 , y0 , z0 )

(рис. 13).

Таким образом,

gradu(M )

k .

(3.10)

Аналогично определяется градиент функции двух

переменных u=f(x,y). Это – вектор на плоскости Oxy:

grad u(M )

gradU

j .

(3.11)

Пример

3.6.

Найти

градиент функции

Рис. 13

u x2 y 2 z 2

в точке М1 (2,1).

Решение. grad u(M ) 2xi

2 yj ; grad u(M1 ) 4i

2 j .

Возьмём в

точке

М0(x0,y0,z0)

единичный

вектор

cos , cos , cos

(рис. 13) и запишем производную от функции u=f(x,y,z) по направлению l0

u cos

u cos .

Видим, что производную по

направлению можно записать в виде:

, gradu(M 0 ) или u

gradu(M 0 )

cos или

u пр

gradu(M

)

(3.12)

Таким образом, производная скалярной функции u= f (M) в точке М0 в
направлении		равна проекции вектора	gradu(M 0 ) на направление вектора
направлении	l0	равна проекции вектора	gradu(M 0 ) на направление вектора

l0 .

Из формулы (3.12) следует, что производная скалярной функции в точке М0 имеет наибольшее значение в направлении градиента функции в той же точке, т.к. в этом случае 0 и cos 0 1.

В этом случае формула (3.12) будет иметь вид:

u		0 )	u 2

	grad u(M
l			x

u 2

-y

это наибольшая скорость возрастания функции.

Следовательно, модуль градиента равен наибольшей скорости возрас-

тания функции в данной точке.

Из формулы (3.12) следует, что производная по направлению, перпендикулярному градиенту ( 2 ) равна нулю, т.е. в этом направлении функция не

изменяется.

Пользуясь рассмотренным свойством, можно дать другое определение градиента, не связанное с выбором системы координат.

Определение. Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке М0(x0,y0,z0) называется вектор, в направлении которого производная имеет наибольшее значение. Длина вектора градиента равна максимальному значению производной в данной точке.

Рассмотрим функцию двух переменных u= u(x,y)

grad u u , u .

x y

Линии в плоскости аргументов Оху, для которых функция u(x,y) сохраняет постоянные значения, называется линией уровня. Её уравнение: u(x, y) = c.

Градиент функции u(x,y) в любой точке М, перпендикулярен к линии уровня функции, проходящей через данную точку. В пространстве градиент направлен по нормали к поверхности уровня функции u=f(x,y,z), проходящей через данную точку.

3.10. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов

Пусть на основании эксперимента требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х:

у = (х).

Пусть в результате эксперимента получено n значений функции у при соответствующих значениях аргумента. Результаты записаны в таблицу:

Таблица 1

х	х1	х2	. . .	хn
у	у1	у2	. . .	уn

Вид функции у = (х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 14. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естественно предположить, что искомую функцию у = (х) можно искать в виде линейной функции y = ax + b. Если экспериментальные точки расположены так, как указано на рис. 15, то естественно искать функцию у = (х) в виде у=а x b и т.д.

0	х1	х2	х3	х	x		x
	х1	х2	х3	х		0	x
				n		0
		Рис. 14					Рис. 15
							Рис. 15
							28

При выбранном виде функции у = (х,a,b,c,...) остается подобрать входящие в нее параметры a, b, c, ... так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.

Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в следующем.

Рассмотрим сумму квадратов разностей значений уi, даваемых экспериментом, и функции (х,a,b,c,...) в соответствующих точках:

n
S(a,b, c,...) [ yi (xi , a,b, c,...)]2 .	(3.13)
i 1

Подбираем параметры a, b, c, ... так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение

n
S(a, b, c,...) [ yi (xi , a, b, c,...)]2	min .
i 1

Итак, задача свелась к нахождению значений параметров a, b, c, ..., при которых функция S(a, b, c,...) имеет минимум. Эти значения a, b, c, ... удовлетворяют системе уравнений

S	0,	S	0,	S	0, ...
a		b		c

или в развернутом виде:

[ yi

i 1

[ yi

i 1

[ yi

i 1

(xi , a,b, c,...)]	(xi , a,b, c,...)		0 ,
		a

(xi , a,b, c,...)]	(xi , a,b, c,...)		0 ,	(3.14)
		b

(xi , a,b, c,...)]		(xi , a,b, c,...)		0 .
		c

Здесь имеется столько уравнений, сколько и неизвестных. В каждом конкретном случае исследуется вопрос о существовании решения системы уравнений (3.14) и о существовании минимума функции S(a, b, c,...).

Рассмотрим один из случаев определения функции у= (х,a,b,c,...). Пусть y=ax+b. Функция S (a, b ) в этом случае имеет вид

n
S(a, b) [ yi (axi b)]2 .	(3.15)
i 1

Это функция с двумя переменными a и b (хi , y i – заданные числа). Следовательно,

S 2 [ y (ax b)]x 0,
	n
a	i 1	i	i	i
a	i 1
S	n
S	2 [ yi (axi b)]			0,
b	i 1
b	i 1

т.е. система уравнений в этом случае принимает вид

n		n	2	n
yi xi a xi				b xi 0,
i 1		i 1		i 1	(3.16)
	n	n			(3.16)
	yi a xi			bn 0.
	yi a xi			bn 0.
	i 1	i 1
		29

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20151.02 Mб15Лабораторные работы по дисциплине.doc
#
31.05.2015774.99 Кб244Лабораторные работы №3-7.docx
#
31.05.20154.62 Mб66ЛабТЦ 2013_1.doc
#
31.05.2015473.09 Кб31Лексикология(лекции).doc
#
31.05.20151.02 Mб78лекции анатомия 2курс 1семестр.doc
#
31.05.20151.16 Mб86лекции матан.pdf
#
26.03.2016309.62 Кб25лекции по БЖД.docx
#
31.05.2015254.89 Кб24Лекции по курсу введение в специальность 1.pdf
#
26.03.2016245.76 Кб30Лекции САПР.doc
#
31.05.2015310.78 Кб10Лекция 10 Введение в конфликтологию.doc
#
31.05.2015157.18 Кб5Лекция 10.doc