5. Квантовые уравнения движения

5.1. Уравнение Шредингера

Итак, состояние системы описывается волновой функцией Ψ, которая определяется конфигурацией системы и конкретным видом силового поля, в котором она находится. Найти волновую функцию частицы, движущейся в каком либо силовом поле, можно с помощью уравнения относительно этой функции:

(5.1)

где – оператор Лапласа,U– потенциальная энергия частицы в конкретном силовом поле (например, энергия электрона в поле притяжения ядра),мнимая единица,m– масса частицы.

Это уравнение (5.1) в 1926 г. получил Шредингер исходя из аналогии между уравнениями, описывающими ход световых лучей с уравнениями, определяющими траектории частиц в классической механике. Уравнение Шредингера постулируется.

5.2. Уравнение Шредингера для свободной частицы

Рассмотрим свободно движущуюся частицу. И если волновой функцией фотона является плоская световая волна, для частиц волновая функция является плоской волной де Бройля, (см. раздел 4).

Для простоты ограничимся одномерным случаем:

(5.2)

Запишем волну де Бройля в комплексной форме:

(5.3)

где частота , волновое число.

Продифференцировав Ψпо времениt, а также дважды по координатеx, получим:,(5.4)

Отсюда получаем:

,(5.5)

В нерелятивистской классической механике кинетическая энергия Eи импульсpсвязаны соотношением:(5.6)

Подставив в (5.6) выражения (5.5) и сократив на Ψ, получим уравнение

(5.7)

которое совпадает с (5.1), если в нем U = 0. Отсутствие внешнего силового поля означает, что частица является свободной. Частицу можно считать свободной, еслиU(x)=constили в общем случаеU(r)=const. В этом случае потенциальную энергию можно принять равной нулю.

5.3. Уравнение Шредингера для частицы в силовом поле

Если частица находится в каком-либо силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то:(5.8)

где Е– полная энергия частицы

В этом случае уравнение Шредингера будет иметь вид:

(5.9)

Уравнение (5.9) является частным случаем уравнения (5.1) для частицы, совершающей одномерное движение. Уравнение (5.1) называется общим уравнением Шредингера.

5.4. Стационарное уравнение Шредингера

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция Uне зависит явно отt. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:

(5.10)

Здесь E– полная энергия частицы, которая в случае стационарного внешнего поля остается постоянной. Подставим (5.10) в (5.1):

(5.11)

Сократив на общий множитель , придем к дифференциальному уравнению, определяющему функциюψ(x, y, z):

(5.12)

Уравнение (5.12) относительно координатной части волновой функции называется стационарным уравнением Шредингера. Далее мы будем иметь дело только с ним.

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений, однако при наложении граничных условий, а также упомянутых выше требований (ограниченность, однозначность и непрерывность волновых функций, а также непрерывность частных производных) остается ряд решений, который имеет физический смысл. Эти решения имеют место только при определенных значениях параметра E, которые называютсясобственными значениями энергии. Совокупность собственных значенийЕназываетсяэнергетическим спектром. Решения, соответствующие собственным значениям энергииЕ, называютсясобственными функциямизадачи.

Простейшей задачей на собственные функции и собственные значения является движение свободной частицы, упомянутой выше. Оно задается уравнением:

(5.13)

Его частным решением является функция , гдеA=const,ψ(x)является координатной частью волновой функцииΨ(x,t).

Функции ψ(x) соответствуют собственные значения энергии

(5.14)

где . Это выражение верно для нерелятивистской частицы. А поскольку волновое числоkможет принимать любые положительные значения, тоэнергетический спектр свободной частицы является непрерывным. Таким образом, свободная частица имеет непрерывный спектр. Для пояснения следует вспомнить спектр излучения электрона в атоме. В этом случае электрон находится в связанном состоянии, и спектр имеет дискретный характер. При отрыве электрона от атома он перестает чувствовать поле ядра, то есть дляU → 0, а излучение электрона становится непрерывным, как это предсказывает уравнение Шредингера (5.13).