3.3 Введение в математику, математика как язык и основа естественных наук.

Математика - наука исследующая количественные, логические, функциональные, геометрические (топологические) свойства окружающего мира.

Математика не придумывает законы, хитроумные формулы, функции и фигуры, их создает сама Природа! Математика только пытается их описать понятным для человека образом! Язык математики включает алфавит - буквы и цифры, орфографию и синтаксис построения выражений и команды или операторы в виде знаков математических действий. Кроме известных действий элементарной математики +,-,*,/, возведения в степень Х^а, логарифмирования log(X) в высшей математике есть такие операции как дифференцирование, интегрирование и др.

Алфавит математики включает некоторые латинские, греческие и русские буквы. Каждая буква может обозначать константу, переменную или функцию. Константы это любые фиксированные числа. Но они могут быть и мировыми константами, такими как скорость света, гравитационная постоянная, постоянная Планка, на которых покоится все наше мироздание. Или хорошо известными константами как число пи (3.142...), заряд и масса электрона и др. Переменные могут принимать любые значения, которые определяются исследуемым процессом. Функции принимают определенное, зависящее от аргумента значение и описывают какой-либо закономерный процесс. Так напряженность гравитационных и электромагнитных полей, плотность потока элементарных частиц, сила звука и освещенность уменьшаются пропорционально квадрату расстояния от источника. Записывается это формулой:

F(x)= Fo/x^2, где F(x) - воздействие поля на расстоянии х, Fo-воздействие на расстоянии х=1, x-расстояние от источника, x^2-квадрат расстояния. Только немногие функции и их формулы (например, которые мы изучали в школе) общеизвестны, остальные требуют пояснения, что есть что, как мы это написали выше. Вы вправе описывать процесс любыми буквами и символами, но извольте пояснить, что есть что.

Геометрические образы отражают пространственные характеристики реального мира и базируются в математике на нескольких аксиомах. На этом основан аксиоматический метод, разработанный более 2300 лет назад Евклидом. Если мы знаем (определили как аксиомы, не требующие доказательств) что такое точка, линия, угол, радиус кривизны, мы можем построить любое пространственное сооружение. Так плоскость есть геометрическое место точек лежащих на любой линии пересекающей две другие линии. Треугольник состоит из 3-х пересекающих линий, четырехугольник из 4-х. Из этих плоских фигур можно сделать любой объемный многоугольник, а вращением и перемещением окружностей и кривых получить любую округлую пространственную фигуру. Методом разбиения их на малые квадраты и кубы можно вычислить площади поверхности и объемы любых пространственных фигур. Задав систему координат и единицу измерения можно находить координаты любой точки в пространстве.

Аксиомы

Точка, линия, угол – а, радиус кривизны -R

Рис. 8 Аксиоматические элементы, точка, линия, угол – а, радиус кривизны –R и фигуры, полученные наложением, пересечением и вращением аксиоматических элементов.

Количественные характеристики объектов отражаются числовыми данными, представленными в какой либо системе счисления. Система счисления определяет форму записи количественной информации. Системы счисления бывают позиционными и не позиционными как римская система. В позиционной системе значение цифрового знака зависит от его положения в записи числа. Запись чисел ведется по разрядной сетке. Наиболее известна десятичная система с ее разрядами, единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Система счисления с разрядной сеткой может быть двоичной, троичной, четверичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной и с каким угодно основанием. Название системы счисления определяется ее основанием. Двоичная – 2, троичная – 3, десятичная – 10, шестнадцатеричная – 16 и т.д.

Во всех системах законы математики и результаты вычислений неизменны, меняется только вид записи чисел.

Согласно правилам построения разрядной сетки в первом разряде значение стоящей в нем цифры умножается на основание в нулевой степени, во втором разряде на основание в первой степени (это будет само основание), в третьем разряде на основание во второй степени и так далее. В таблице приведены эти цифры для трех разрядов нескольких систем счисления. Поскольку любое число в нулевой степени по определению равно единице, то это разряд единиц во всех системах. Однако в этом разряде может стоять только 0 или 1 в двоичной, 0,1,2 – в троичной, любая цифра от 0 до 9 в десятичной системе и от 0 до 15 (F) в шестнадцатеричной. Во втором разряде имеем те же числа как в 1-ом разряде умноженные на основание в первой степени. Это будет 2 в двоичной, 3 в троичной, 8 в восьмеричной, 10 в десятичной и 16 в шестнадцатеричной. В третьем разряде тоже умножается на вторую степень основания (см. таблицу 1).

Т А Б Л И Ц А 1

Название системы	Знаки 1-го разряда	Значение чисел 2-го разряда	Значение чисел 3-го разряда		Запись числа 21
Двоичная	0,1	(0,1)*2^1	(0,1)*2^2		10101
Троичная	0,1,2	(0..2)*3^1	(0..2)*3^2	210=2*3^2+1*3^1+0*3^0
Восьмеричная	0,1,2,3,4,5,6,7	(0..7)*8^1	(0..7)*8^2		25=2*8^1+5*8^0
Десятичная	0,1..9	(0..9)*10^1	(0..9)*10^2		21=2*10^1+1*10^0
Шестнадцатеричная	0..9,A,B,C,D,E,F	(0..F)*16^1	(0..F)*16^2		15=1*16^1+5*16^0

Отметим, что в таблице 1 мы отмечали умножение звездочкой, а возведение в степень стрелкой вверх. В последнем столбце дана запись числа 21 в каждой системе. Причем она развернута начиная с троичной системы. Развернем для примера число 234 в привычной нам десятичной системе.

234= 2*10^2+3*10^1+4*10^0 = 2*100 + 3*10 + 4*1 = 200+30+4 = 234;

Развернем теперь двоичное число 10101 и убедимся, что это 21.

10101=1*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0= 1*16+0*8+1*4+0*2+1*1=16+4+1=21

После этих примеров посмотрите запись числа 21 во всех системах, и станет понятно, как записать любое число в любой системе, подбирая цифры в каждом разряде. Конечно, для преобразования чисел из одной системы в другую есть более удобные алгоритмы. Для нас важно понять принципы этого преобразования.

На ЭВМ используется двоичная система, которая более удобна для вычислений в электронных схемах. Требуется всего один сигнал для представления 1, а цифру 0 можно представить отсутствием сигнала. В привычной нам, десятичной системе требуется девять сигналов для представления цифр от 1 до 9, что снижает надежность ЭВМ, работающей в десятичной системе, и усложняет вычисления, с таким большим набором сигналов.

Одно из величайших достижений человека 20-го века состоит в том, что он сумел описать весь многообразный, красочный, шумящий и быстроменяющийся мир с помощью простейшего алфавита из 2-х символов, 0 и 1 в двоичной системе. В этой системе на ЭВМ обрабатываются тексты, изображения, звуки, создаются красочные виртуальные миры, Решаются разнообразные задачи и проблемы Человечества.

Развитие математики часто определяется потребностями других наук и технологий в количественном, кратком и четком описании. Так потребности физики заставили Ньютона, а позднее Лейбница разработать дифференциальное и интегральное исчисление, описанное ниже. Теперь оно получило дальнейшее развитие и используется во всех естественных и гуманитарных науках. Появление ЭВМ вызвало быстрое развитие новых разделов математики, таких как дискретная математика, алгоритмизация, программирование, теория автоматов и других. Решение задач в математике сводится к преобразованию информации из одной формы представления в другую, по строго определенным правилам и алгоритмам. С развитием ЭВМ средства представления и преобразования информации получили большое развитие. ЭВМ решает многие задачи и обрабатывает информацию в миллионы раз быстрее, чем человек. Одна из проблем завтрашнего дня состоит в том, что ЭВМ становится умнее человека и может управлять им, что смертельно опасно для Человечества.

Дифференциальная форма формул Ньютона

Мгновенные значения. V =lim S /t ( при t0) = dS/dt;

a = dV/dt = dS/dt; F = m *dV/dt

Интегральные формулы для пути –S, скорости-V, импульса –P, работы -A.

S =V dt; V =a dt; P =F dt; A =F ds;

Формулы для дифференцирования и интегрирования.

Производная суммы разности двух функций (f1(x) +-f2(x))’ = f1’(x) +-f2’(x)

• произведения (f1(x) * f2(x))’ = f1’(x) * f2(x) + f1(x) * f2’(x))

• деления (f1(x) / f2(x))’ = (f1’(x) * f2(x) - f1(x) * f2’(x))/ f2(x)

Интеграл суммы и разности двух функций f1(x) +-f2(x) dx =

=f1(x) dx+-f2(x) dx +c.Интеграл произведения и частного двух функций не равен произведению или частному их интегралов. Это следует из вышеприведенных формул для производной и самого определения интеграла и производной, согласно которому:

df(x) dx = f(x) Дифференциал интеграла равен под интегральной функции или операции дифференцирования и интегрирования взаимно сокращаются,

df(x) = f(x) +c Здесь тоже взаимно сокращение, с точностью до константы с.

Ниже приведена таблица производных и интегралов часто используемых функций.

Таблица 2 Часто используемые в физике производные и интегралы.

ФУНКЦИЯ	ПРОИЗВОДНАЯ	ИНТЕГРАЛ
а (константа)	0	ах
х	1	х/2
х	nx	x/(n+1)
1/x	-1/x	ln IxI
1/x	-n/x	-1/(-n+1)(x)
	-1/	n /(n+1)
e	e	e
a	aln a	aln a
ln x	1/x	x ln x -x
logx	1/x ln a	(x ln x –x) ln a
sin x	cos x	-cos x
cos x	-sin x	Sin x
Tg x	1/cosx	-ln Icos xI
Ctg x	-1/sinx	ln Isin xI

Дальнейшее развитие всех наук ведет к более полному применению в них математических методов и ЭВМ, что в свою очередь приводит к появлению новых разделов математики и развитию вычислительной техники.