Дробный факторный эксперимент_с46-49

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)

Полный факторный эксперимент позволяет оптимально использовать пространство независимых переменных:

- снизить погрешность определения коэффициентов

- получить элементарно простые формулы для их вы­числения.

Однако число опытов, необходимое для реализации ПФЭ, в ряде случаев может все же оказаться неприемлемо большим. Так, если число факторов равно 10, то необходимое число опытов N = 2¹⁰ = 1024. Поэтому желательно сократить число опытов, но так, чтобы матрица не потеряла своих оптимальных свойств.

Рассмотрим простейший случай — матрицу ПФЭ для двух факторов. Пользуясь ПФЭ, можно получить модель

Если есть основание предполагать, что а₁₂ → 0, т. е. эффект взаимо­действия мал, в матрицу ПФЭ вместо х₁х₂ можно включить третий фактор х₃, который в опытах будет принимать значения, соответствующие столбцу х₁х₂. Запишем новую таблицу (табл. 4.2) и подсчитаем столбцы для всех взаимодействий.

Можно видеть, что в этой таблице совпадают столбцы для х_о и х₁х₂х₃, для х₁ и х₂х₃, для х₂ и х₁х₃, для х₃ и х₁х₂, т. е. рассчитанные коэффициенты будут смешанными оценками

а₀ → а₀+а₁₂₃ ; а₁ → а₁+а₂₃ ; а₂ → а₂+а₁₃ ; а₃ → а₃+а₁₂ ;

Это значит, что найти истинное значение а₀ , а₁, а₂ и а₃ из такого эксперимента нельзя, но предполагая, что все эффекты взаимодействий стремятся к нулю, считаем, что

Иначе говоря, возможность сокращения числа опытов появляется при введении неко-торых допущений о свойствах функции отклика, а риск ошибочно оценить линейные эффек-ты за счет влияния взаимодействия является платой за это сокращение.

Факторный план может быть уменьшен в кратное двум количество раз без нарушения ортогональности. Матрица дробного факторного эксперимента представляет собой 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. реплику, в которой столбец одного из эффектов получается перемножением столб-цов других эффектов. Это произведение, взятое со знаком + или —, называется генерирую-щим соотношением. В приведенном примере генерирующее соотношение для х₃—х₁х₂.

Рассмотренный пример использования четырех опытов для трех факторов вместо вось-ми опытов, необходимых для ПФЭ, является дробным факторным экспериментом (ДФЭ) от ПФЭ 2^3–1 половиной ПФЭ (полу­реплика).

Обозначим ДФЭ 2^k–p, где k — общее число факторов, р — число эффектов взаимодей-ствия, замененных новыми факторами. Если полный факторный эксперимент для пяти факторов содержит 32 опыта, а жела­тельно поставить лишь одну четвертую часть (четверть-реплику), то ДФЭ будет 2^5–2. Необходимо только, чтобы остающееся число опытов было больше числа факторов, иначе будут смешаны и линейные эффекты.

В общем случае определить, какие эффекты смешаны, можно, пользуясь определяю-щим контрастом, представляющим собою произведение генерирующего соотношения на генерируемый фактор. Определяющий контраст всегда равен +1 или —1. Для того чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить определяющий контраст на фактор. Так, если для трех факторов х₁х₂х₃ = 1, то х₁ будет смешан­ным с х₂х₃:

так как х₁∙х₁=1.

Для реплик большой дробности имеется лишь одна четкая рекомендация: если известно, что какое-либо взаимодействие существенно, его по возможности не следует заменять фактором и наиболее важный фактор следует ставить на место наиболее слабого взаимодействия. Пусть необходимо выбрать 1/8 реплики для ПФЭ 2⁶ , т.е. 2^6–3 , причем известно, что сильным является взаимодействие х₂х₃ , а из вводимых факторов х_{4 ,} х₅ и х₆

наиболее сильный х₄ . Тогда следует выбрать генерирующие соотношения

х₄ = х₁х₂х₃ ; х₅ = х₁х₂ ; х₆ = х₁х₃ .

Определяющие контрасты будут

1= х₁х₂х₃х₄ = х₁х₂х₅ = х₁х₃х₆ .

В табл. 4.3 приведена матрица планирования для этого случая. Чтобы исключить влияние систематических ошибок, рекомендуется случайная последовательность опытов матрицы, например 7, 6, 3, 8, 2, 5, 4, 1.

N

x0

x1

x2

x3

x5

x6

x4

N

x0

x1

x2

x3

x5

x6

x4

x1x2

x1x3

x1x2x3

x1x2

x1x3

x1x2x3

1

+

+

+

+

+

+

+

5

+

+

+

–

+

–

–

2

+

–

+

+

–

–

–

6

+

–

+

–

–

+

+

3

+

+

–

+

–

+

–

7

+

+

–

–

–

–

+

4

+

–

–

+

+

–

+

8

+

–

–

–

+

+

–

Анализ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Определение ошибок эксперимента

Для оценки получаемых при планировании результатов эксперимента необходимо определить ошибку воспроизводимости опытов s_в.

Ошибку опытов определяют по n специально поставленным параллельным опытам на основном уровне. Тогда дисперсия ошибку воспроизводимости будет равна

Анализ адекватности модели

Проведя эксперимент, можно воспользоваться отдельными результатами для выводов. Однако всегда представляют результаты в виде модели процесса. Опыты выполнены с ошиб-ками, и, как бы хорошо не были подобраны коэффициенты модели, всегда будут существо-вать μ_i, невязка — предсказанного по модели, и экспериментального результата

Полученное уравнение является наилучшим среди всех линейных уравнений в смысле минимума квадратов невязок. Хотя сумма квадратов невязок и минимальна, она существует и называется остаточной суммой квадратов.

Под адекватностью понимают пригодность модели. Смысл пригодности формулирует-

ся экспериментатором. Вычислим, например, остаточную дисперсию, равную остаточной сумме квадратов, деленной на число степеней свободы;

Число степеней свободы равно числу данных (опытов) за вычетом числа коэффициен-тов, которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга,

f = N–k–1

Здесь k соответствует числу коэффициентов в уравнении.

Параллельные реализации одного опыта соответствуют в этом случае одному опыту. Если поставлены пулевые опыты для оценки дисперсии воспроизводимости, но результат этих опытов не используется при подсчете коэффициентов модели, то нулевые опыты не участвуют и при расчете степеней свободы.

После определения s²_ост и дисперсии воспроизводимости эксперимента s²_В по крите-рию Фишера проверяют адекватность модели.

Проверка значимости коэффициентов

Дисперсия коэффициента регрессии a_j определяется по формуле

Например, для ПФЭ двух факторов

Доверительный интервал для a_j строится обычным образом с использованием

t-критерия.

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного

интервала.

49