k  l; p  l, k и p – несравнимы. J

Пусть M1; M2; : : : ; Mn множества, каждое из которых вполне упорядочено отношением Á. Декартово произведение M1 £ M2 £ ¢ ¢ ¢ £ Mn упорядочено и образует решетку, которая называется векторной решеткой. Отношение порядка на ней – это отношение доминирования.

З а м е ч а н и е. За исключением булевой векторной решетки, каждая векторная решетка дистрибутивна, но не имеет дополнений. I

2.5.13 Нормированные булевы решетки

Булева решетка называется нормированной, если каждому элементу a 2 B сопоставляется неотрицательное число kak – норма элемента a, причем:

Теперь обозначим нормированную булеву решетку

hB; +; ¢; ¹; 4; kk; 0; 1i,

в которой к уже введенным ранее операциям добавляется унарная операция нормировки kk, j ak 2 R, где R – можество действительных чисел.

2.5.14Модели нормированной булевой решетки

1.Пусть булева решетка – это алгебра множеств и пусть U – конечное универсальное множество, jUj = n. Будем считать, что норма каждого A µ U задается числом элементов, входящих в A. Для выполнения первой аксиомы нормировки

kUk = 1 будем делить jAj=jUj. Так, если jAj = k, то норма будет

kAk = nk .

Аксиома Н2 имеет совершенно ясный смысл: если можества A и B не пересекаются, т.е. A \ B = ?, то

kUk = 1:

Такое определение нормы kAk; A µ U обобщается следующим образом. Пусть элементы a1; a2; : : : ; an 2 U имеют разные “веса’ или “стоимости"и “вес"(“цена") задается неотрицательными числами w1; w2; : : : ; wn. Веса выбираются таким образом, чтобы

w1 + w2 + ¢ ¢ ¢ + wn = 1

Тогда, для A = fai1 ; ai2 ; : : : ; aik g

kAk = kfai1 ; ai2 ; : : : ; aik gk = wi1 + wi2 + ¢ ¢ ¢ + wik .

Если положить w1 = w2 = ¢ ¢ ¢ = wn = n1 , то получим предыдущее определение нормы.

2. Элементы 0; 1 решетки

hf0, 1}; +; ¢; ¹; 4; kk; 0; 1i

уже как обычные числа можно принять за нормы соответствующих элементов:

k0k = 0; k1k = 1.

При этом первая аксиома нормы выполняется. Так как

0 ¢ 0 = 0 и k0+0k = 0 = k0k + k0k; 0 ¢ 1=0 и k0+1k = 1 = k0k + k1k,

то выполнена и вторая аксиома нормы.

Такое определение нормы превращает двухэлементную булеву решетку в нормированную.

Эта модель нормированной решетки используется, в частности, в исчислении высказываний и алгебре контактных схем.

3. Вероятности. Пусть U – некоторое конечное множество элементарных событий. Например, A – событие типа: монета упала гербом вверх, завтра пойдет дождь, эта деталь бракованная.

Определим операции над событиями:

объединение событий A [B – произошло хотя бы одно из событий A или B;

пересечение A \ B событий – произошли оба события; дополнение A события A – произошло событие “не A". Особые элементы алгебры событий: достоверное событие

U и невозможное событие -. Примеры: U – монета упала кверху “орлом"или кверху “решкой"; - – монета упала кверху “орлом"и кверху “решкой".

Предположим, что алгебра событий нормирована с соблюдением аксиом нормировки (алгебра событий – булева).

Норму kAk элемента A рассмтриваемой булевой решетки обозначим через p(A), а аксиомы нормы запишем в виде:

B1: 0 · p(A) · 1; p(U) = 1; p(-) = 0;

B2: если A \ B = -, то p(A [ B) = p(A) + p(B)

(основные аксиомы теории вероятностей).

p(A) = 1, если событие A достоверно и p(A) = 0, если событие A невозможно. Число p(A) характеризует вероятность того, что событие A произойдет. Таким образом, объектом теории вероятностей является совокупность элементов, образующих нормированную булеву решетку.