Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

METODY_REShENIYa_ZNLP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

																			0		0	1	1		1

											R					)			0		0	0,9	0,7		0,5
	B							O			R		(x			)
Q	B	(x	, y		)			2 2				g								1	0,9	2	0		0
Q		(x	, y		)			T												1	0,9	2	0		0
							R (x			) H (x					, y		)			1	0,7	0	4		0
								g												1	0,7	0	4		0

																				1	0,5	0	0		6	.
		В нашем случае									n 3,				m 2 .				Следовательно, надо проверить
n m 1 главный минор окаймленной матрицы Гессе,																										начиная с
минора				порядка					2m 1 5,							то		есть			определитель				полученной
окаймленной матрицы Гессе.
		Имеем:
																	0			1	1	1
														0			0			1	1	1
														0			0		0,9		0,7	0,5
			M											1		0,9				2	0	0		0,96 0.

						5		Q B (x , y )
						5
														1		0,7				0	4	0
														1		0,5				0	0	6
		Таким					образом,				знак					минора					M 5	определяются					знаком
( 1)m ( 1)2 0 .									Следовательно,									целевая функция									имеет в
( 1)m ( 1)2 0 .									Следовательно,									целевая функция							f (x)		имеет в

стационарной точке x минимум, причем
														2 (25)2						3 (12,5)2			5625 .
							f (x ) (62,5)2							2 (25)2						3 (12,5)2			5625 .

Теперь можно сформулировать ответ: компания минимизирует свои издержки при условии использовании ресурсов видов 1, 2 и 3 в количестве 62,5; 25 и 12,5 у.е. соответственно.

Пример 3.2. Функция полезности набора из трех товаров в количестве x1, x2 и x3 единиц соответственно, определяется как

	x	x2 .
u g(x) x	x	x2 .
1	2	3

Требуется найти стоимость наиболее дешевого набора товаров с заданным значением полезности u 10000, если цены товаров равны соответственно 4, 25 и 20 у.е.

Решение. Требуется решить ЗНЛП

f (x) 4x1 25x2 20x3 min;

	x	x2	10000 .
g(x) x
1	2	3

Реализуем метод множителей Лагранжа.

Шаг 1. Поскольку имеется всего одно ограничение, то вектор множителей Лагранжа вырождается в скаляр y R1 .

Шаг 2. Определяем функцию Лагранжа
				25x		20x y(10000 x x x2 ).
L(x, y) 4x				25x		20x y(10000 x x x2 ).
	1				2	3			1	2	3
Шаг 3. Ищем стационарную точку, решая систему уравнений

			L(x, y)			4 y x x2 0,
				x			2	3
							2	3
				1
			L(x, y)					2
				x2		25 y x1 x3 0,					(3.11)
											(3.11)
	L(x, y)
					20 2 y x1 x2 x3				0,
			x		20 2 y x1 x2 x3				0,
			x
				3
		L(x, y)			10000 x1 x2 x32				0.

			y
			y
Умножая 1-е уравнение (3.11) на x1 ,								2-е – на		x2 ,	3-е – на x3 ,

получаем, с учетом 4-го уравнения той же системы, эквивалентную систему уравнений

		4x1 10000 y,
	25x2				10000 y,
	25x2				10000 y,	(3.12)
	10x				10000 y,	(3.12)
	10x				10000 y,
			3
x		x	2	x2 10000.
	1		2		3

Из 1-го и 3-го уравнений (3.12) имеем x1 (10 / 4)x3 ; из 2-го и 3- го – x2 (10 / 25)x3 . Подстановка этих выражений в 4-е уравнение

(3.12) дает x34 10000 , откуда x3 10 и далее простыми подстанов-

ками в последние соотношения находим искомые значения компонент единственной стационарной точки:

x 25;	x 4;	x 10;	y 0,01.
1	2	3

Шаг 4. Для определения типа экстремума функции f (x) в точке

xнужно исследовать окаймленную матрицу Гессе

R (x )

, y

)

m m

)

H (x

, y

)

Поскольку матрица Якоби

вектор-строка

		g(x)		g(x)
R	(x)		;		;
R	(x)		;		;
g		x1		x2
		x1		x2

R
R	(x)
g

g(x)
x3
x3

в произвольной точке x есть

(x	2	x2	; x x2		; 2x x	2	x ) ,
	2	3	1	3	1	2	3

то подстановка значений компонент стационарной точки дает

						2000) .
	R (x ) (400; 2500;					2000) .
	g
Матрица Гессе функции Лагранжа в произвольной точке:
	2 L(x, y)	0				yx 2		2 yx	x
	2 L(x, y)					3		2		3
						3		2		3
H (x, y)		yx 2				0		2 yx x
H (x, y)		yx 2				0		2 yx x
	xi x j	2 yx	3			2 yx x		1		3	,
		2 yx	2	x		2 yx x		2 yx x		2	,
			2		3	1	3	1		2

откуда после подстановки значений компонент стационарной точки

		0	1	0,8
		1
H (x	, y )	1	0	5
		0,8	5	2
		0,8	5	2	.

Таким образом, окаймленная матрица Гессе в найденной стационарной точке принимает вид:

													0	400	2500	2000

	B				Om m			Rg (x )				400		0	1	0,8
Q		(x	, y	)	T		)						2500	1	0	5
				R		(x	)	H (x		, y	)		2500	1	0	5
					g
													2000	0,8	5	2
													2000	0,8	5	2	.
В нашем случае n 3,									m 1 .			Следовательно,			надо проверить

n m 2 главных минора окаймленной матрицы Гессе, начиная с

минора порядка 2m 1 3.
Имеем:
							400		2500
						0	400		2500
		M		3		400		0	1		2 106 0;
						2500		1	0
					0		400	2500		2000
					0		400	2500		2000
M	4		400				0		1	0,8		8 106 0.
	4		2500				1		0		5
			2500				1		0		5
			2000				0,8		5		2

Таким образом, знаки миноров определяются знаком ( 1)m 1.

Следовательно, найденная стационарная точка		определяет набор
	x

товаров, обладающий полезностью 1000 и минимальной стоимо-

стью в размере f 4x 25x 20x 100 100 200 400 у.е.
1	2	3

Чувствительность достигнутого значения f к изменению полезно-

сти набора товаров при этом равна y f 0,01 .u

3.2. Метод подстановки

Метод подстановки применяется для решения ЗНЛП с ограниче- ниями-равенствами:

f (x) max(min),

, j

(x) b

1, m; x

при условии, что система ограничений g

(x) b

, j 1, m; x

этой задачи может быть приведена к виду

xi i (xm 1, xm 2 , , xn ),

i 1, m .

(3.13)

Подстановка выражений (3.13) на место аргументов x1, x2 , , xm

f (x1, x2 , , xm , xm 1, xm 2 , , xn )

целевой

функции

f (x)

дает

функцию, зависящую только от xm 1, xm 2, , xn :

(xm 1, xm 2 , , xn ), , m

(xm 1, xm 2 , , xn ), xm 1, xm 2 , , xn )

f (x) f (1

(xm 1, xm 2 , , xn ) .

(3.14)

В итоге исходная задача поиска условного экстремума сводится

задаче

поиска безусловного

экстремума

целевой

функции

(xm 1, xm 2 , , xn ) . Решая эту задачу классическим методом, нахо-

дят экстремальные точки x	, x	, , x , после чего простыми
m 1	m 2	n

подстановками в (3.13) получают значения m первых переменных

	x		(x	, x	, , x ), i		.
исходной задачи:						1, m
	i	i	m 1	m 2	n

Пример 3.3. Получим решение задачи примера 3.1 методом подстановки. Имеем

f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 min;x1 x2 x3 100,

0,9x1 0,7x2 0,5x3 80.

Преобразуя систему уравнений-ограничений, приводим ее к ви-

ду

x2 150 2x1,x3 50 x1.

Подстановка полученных выражений для x2 и x3 в целевую

функцию дает
		2 (150 2x )2	3 ( 50 x )2.
f (x) (x ) x2		2 (150 2x )2	3 ( 50 x )2.
1	1	1	1

После проведения упрощающих преобразований получаем ЗНЛП без ограничений

(x1) 12x12 1500x1 52500 min.

Необходимым условием существования экстремума этой функции одной переменной является условие равенства нулю ее производной в точке экстремума:

(x1) 24x1 1500 0.x1

Единственная стационарная точка, являющаяся решением данного уравнения, есть x1 1500 / 24 62,5 . Значение второй произ-

водной в стационарной точке больше нуля: 2 (x1 ) 24 0 , сле-

x12

довательно, эта точка есть точка минимума. Подстановка x			в си-
		1
стему ограничений дает
x 150 2x 150 125 25,
2	1
		50 62,5 12,5.
x 50 x		50 62,5 12,5.
3	1

3.3. Задачи

Выписать (в произвольной точке) функцию Лагранжа L(x, ) ,

матрицу			Якоби										R			вектор-функции		ограничений и
матрицу			Якоби										R		(x)	вектор-функции	g(x)	ограничений и
														g

окаймленную матрицу Гессе QB (x; ) для следующих ЗНЛП:
									2		x 2				x 2	min;
	f (x) x								2		x 2				x 2	min;
								1					2		3
74.					2		x2						1,
					x1		x2						1,
				x				x				x			2.
	x			x		2		x		3		x		3	2.
		1				2				3				3
									2 x			2	x2 max;
	f (x) x								2 x			2	x2 max;
								1			2				3
75.					2
					x1 x2 1,
					x			x					0.
	x x				x			x					0.
		1			2 3							3
					ln x							x2		min;
	f (x)				ln x						2	x2		min;
											2		3
76.			2				2			1,
		x1			x2					1,
				1)x							1.
	(x		2	1)x							1.
			2						3

Методом Лагранжа и методом подстановки найти точки услов-

ного экстремума следующих функций:
										x1 x2 1.
77.	f (x) x1x2 , если									x1 x2 1.
		x			x	2			если x2			x2
78.	f (x)	1				2		,							1.
78.	f (x)							,							1.
		a			b						1			2
		a			b
											x		x	2
79.	f (x) x2		x2				, если				1			2	1.
79.	f (x) x2		x2				, если								1.
		1		2							a		b
											a		b
80.				2Bx x Cx2									, если			x2		x			1.
80.	f (x) Ax2			2Bx x Cx2									, если			x2		x		2	1.
			1						1	2		2				1				2
81.			12x x							2x2		, если 4x2						x2			25.
81.	f (x) x2		12x x							2x2		, если 4x2						x2			25.
		1						1	2		2					1			2
82.							cos2 x ,					если x				x			/ 4.
82.	f (x) cos2 x						cos2 x ,					если x				x		2	/ 4.
				1							2				1			2
83.			2x					2x ,			если			x2 x2			x2			1.
83.	f (x) x		2x					2x ,			если			x2 x2			x2			1.
		1				2				3				1		2			3

m n p

84.f (x) x1 x2 x3 , если

x1 x2 x3 a (m 0, n 0, p 0, a 0).

x2 , если

85.

f (x)

(a b c 0).

86.

x x2 x3,

f (x)

если x1 2x2

3x3 a (x 0, y 0, z 0,a 0).

87.

x x x ,

если x2

x2 x2 1, x

f (x)

x1x2

x2 x3, если

88.

f (x)

x2 2, x x 2.

(x 0, y 0, z 0).

89.

, если

f (x)

1 (a 0; i 1, n).

90.

x p x p

x p ( p 0),

если

f (x)

x1 x2 xn a (a 0) .

91.

f (x)

, если

b1x1 b2 x2 bn xn 1, (ai

0, bi 0, xi 0; i 1, n).

92.

x 1 x 2 x n ,

если

f (x)

x1 x2 xn a (a 0, i 1, i 1, n).

n n

93.

Найти экстремум квадратичной формы

f (x) aij xi x j

i 1 j 1

при условии xi2

i 1

x y n

если n 1 и x 0,

94. Доказать неравенство

y 0.

(xn y n )

при условии x y s.

Указание. Искать минимум функции

f (x)

95. Доказать неравенство Гельдера

ai xi

i 1


		1
n	p		p
ai
i 1


		1
n	q		q
ai
i 1

p 1,

(a 0, x 0, i 1, n;

1).

Указание. Искать

минимум функции

n q

при условии

f (x) ai

i 1

ai xi A.

i 1

Сформулировать следующие задачи в виде задач нелинейного программирования и решить их:

96. Имеется цемент в количестве M ; щебень и вода в неограниченном количестве. Требуется построить прямоугольный бассейн наибольшей вместимости. Расход цемента k на единицу площади дна и стенок бассейна величина постоянная. Найти длину, высоту и глубину нужного бассейна.

97.Имеется цемент в количестве M ; щебень и вода в неограниченном количестве. Требуется построить цилиндрический бассейн наибольшей вместимости. Расход цемента k на единицу площади дна и стенок бассейна величина постоянная. Найти высоту и диаметр нужного бассейна.

98.Производственная функция определяется как

1/ 3 1/ 3 1/ 3

f (x) 3x y z ,

где x, y, z значения факторов производства, себестоимости едини-

цы которых равны соответственно, 20, 5 и 10 у.е. Найти максимальное значение выхода готовой продукции при условии, что ее себестоимость будет равна 6000.

99. Гражданин свой совокупный доход в размере 240 руб. тратит на приобретение картофеля и других продуктов питания. Определите оптимальный набор гражданина, если цена картофеля pêàð 2 руб. за 1 кг, а стоимость условной единицы других благ – 6

руб. за единицу. Функция полезности гражданина имеет вид

1) U(xкар , xдр ) xкар xдр ; 2) U(xкар , xдр ) x1кар/ 2 x1др/ 4.

100. Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. блага x1 и 8 ед. блага x2 . Определите цены потребляемых благ, если известно,

что доход потребителя равен 240 руб. функция полезности потребителя имеет вид:

									3) U (x , x ) x1/ 2 x3 / 2.
1) U (x , x ) x x ;				2)	U (x , x ) x x ;				3) U (x , x ) x1/ 2 x3 / 2.
1	2	1	2		1	2	1	2	1	2	1	2

101. Рациональный потребитель из всех имеющихся вариантов выбрал набор, состоящий из 20 ед. блага x1 и 25 ед. блага x2 .

Функция полезности индивида имеет вид: U (x1, x2 ) x12 x2 ; располагаемый доход равен 100 руб. в месяц. Определите, как изменится доход потребителя, если новый набор содержит 10 ед. блага x1 и 15 ед. блага x2 , уровень цен не менялся.

102.Консервные банки, изготовляемые из жести, имеют цилиндрическую форму. Радиус основания цилиндра банки равен R см, высота банки – H см. Определить, при каких значениях R и H расход жести на изготовление консервных банок емкостью в 1 литр будет наименьшим.

103.Производственная функция Q(x1, x2 ) фирмы (производ-

ственная функция выражает объем выпускаемой фирмой продукции) имеет следующий вид:

Q(x1 , x2 ) 10x11/ 3 x22 / 3 ,

где x1 , x2 затраты ресурсов. Цена покупки фирмой единицы ресурсов x1 , x2 равна 5 и 10 у.е. соответственно. Каков наибольший выпуск при общих издержках C 100 ?

104. Производственная функция Q(x1 , x2 , x3 ) фирмы имеет следующий вид:

Q(x1 , x2 , x3 ) 5x11/ 3 x12/ 3 x13/ 3 ,

где x1, x2 , x3 затраты ресурсов. Определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов при условии, что x1 x2 x3 9 .

105. Производственная функция Q(x, y) фирмы описывается

функцией Кобба-Дугласа:

Q(x, y) Ax y1 ,

где А=0,75 – технологический коэффициент, x– затраты капитала, y

– суммарные затраты ресурсов. Найти значения величин x и y при ценах используемых ресурсов соответственно P1 50 è P2 100 ,

чтобы при фиксированном объеме выпускаемой продукции Q0 обеспечивался минимум затрат Ñ , выражаемых формулой

Ñ P1 x P2 y .

При поиске решения принять 0,5 ; Q0 1000.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.20195.83 Mб5Material.doc
#
30.05.20151.46 Mб9math_2012_abiturienti-i_varianti_rus.pdf
#
26.11.2019358.4 Кб2metodichka ХИСТОРИ.doc
#
30.05.2015427.01 Кб126metodichka1.doc
#
08.05.2019171.52 Кб4metodizka po praktike.doc
#
30.05.20151.12 Mб15METODY_REShENIYa_ZNLP.pdf
#
24.12.2018192.82 Кб3Mezhdunarodnoe_chastnoe_pravo.docx
#
31.07.201943.16 Кб2Mezhdunarodnoe_pravo.docx
#
15.11.2019253.6 Кб9Mezhdunarodnoe_publichnoe_pravo_Barnashov_Alexa...docx
#
09.09.201969.63 Кб1MEZhDUNARODN_J_KODEKS.doc
#
30.05.2015494.08 Кб12MIKROSOTsIOLOGIYa_-_2009_Kurs_lektsy_doc.doc