METODY_REShENIYa_ZNLP

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y) 80 0,9x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

шаг 2. Для определения типа экстремума вычисляем матрицу Гессе и устанавливаем ее определенность в стационарной точке. Имеем

h11(z)

h21(z)

2 f (z)

h12(z)

h13(z)

x1 x1

x1 x2

x1 x3

2 f (z)

h12(z) 0;

h22(z)

2; h23(z)

x2 x2

x2 x3


h31(z) h13(z) 0;			h32(z) h23(z) 1;
Таким образом, матрица Гессе
Таким образом, матрица Гессе					H (z)
нарной точке		есть
нарной точке	z	есть

		h (z)	h (z) h (z)
		11	12	13
H (z) h21(z)			h22(z) h23(z)

		h31(z)	h32(z) h33		(z)


				2 f (z)
h33(z)						2 .
h33(z)				x3 x3		2 .
				x3 x3
функции						в стацио-
функции					f (x)	в стацио-
2		0			0
		2
	0	2			1
	0		1
	0		1		2 .

Установим тип определенности
Установим тип определенности									H (z) . Для главных ее миноров
имеем
						2	0				2	0	0


								4 0 ; M				2		6 0 .
M	2	0	;	M	2			4 0 ; M		3	0	2	1	6 0 .
1					2	0	2			3
						0	2				0	1	2
											0	1	2

По теореме об условиях определенности матрицы (критерию Сильвестра) найденная матрица Гессе является отрицательно опре-

деленной. Следовательно, стационарная точка z есть точка макси-

мума. Искомые	значения			x , x , x ,				обеспечивающие		максимум
				1	2	3
прибыли, равны	x 5;	x 2/ 3;				x	4/ 3 . Максимальная прибыль
	1	2				3
при этом оказывается равной
	10x x x 2x (x )2 (x )2								(x )2
f (x )	10x x x 2x (x )2 (x )2								(x )2
	1	2	3		3		1	2	3

10 5 (2 / 3) (4 / 3) 2 4 / 3 25 4 / 9 16 / 9 26 13 .

2.4. Задачи

Классическим методом исследовать на экстремум следующие функции и найти (если они есть) все их экстремальные точки:

49.								3x x					2x	x	. 50.					(x	1)2 .
49.	f (x) 5x2 4x2							3x x					2x	x	. 50.		f (x) x2			(x	1)2 .
		1				2					1	2	1	2					1	2
51.			(x				1)2				.				x2 x3		(6 x x ) .
51.	f (x) x2		(x			2	1)2				.		52. f (x)		x2 x3		(6 x x ) .
		1				2									1	2			1	2
53.
53.	f (x) exy ln(xy) .											54. f (x) x3 x3 3x x .
														1		2		1	2
					50				20
55.	f (x) x1x2											,	(x1 0, x2		0) .
55.	f (x) x1x2					x1				x2		,	(x1 0, x2		0) .
						x1				x2
56.			4 x4				x			2	2x2 .			57.		x x			ln(x2	x2 ) .
56.	f (x) 2x		4 x4				x			2	2x2 .			57.	f (x)	x x			ln(x2	x2 ) .
		1				2			1				2				1	2	1	2
58.		x2 x2				x x					4 ln x 10 ln x .
58.	f (x)	x2 x2				x x					4 ln x 10 ln x .
		1	2					1		2			1		2

59.				x	2	x2 .
59.	f (x) 1			x	2	x2 .
			1					2
60. Прибыль P фирмы определяется функцией
	P		f (x1, x2 , x3 ) 100ln x1x2 x3													x1		2x2 4x3,
	P	f (x)	f (x1, x2 , x3 ) 100ln x1x2 x3													x1		2x2 4x3,
где x1, x2 и		x3 значения факторов производства. Определить мак-

симальную прибыль, а также значения факторов производства, обеспечивающие этот максимум.

61. Прибыль P некоторой фирмы определяется функцией

P					4x	9x x2		x2	x2	,
	f (x) f (x , x , x ) x
	1	2	3	1	2	3	1	2	3
где x1, x2 и	x3 значения факторов производства. Определить мак-

симальную прибыль, а также значения факторов производства, обеспечивающие этот максимум.

62. Издержки y, приходящиеся на единицу выпускаемой продукции, выражается функцией:

y 2x2 10x 20,

где x – количество (объем выпуска) этой продукции. При каком объеме выпуска суммарные издержки будут минимальными?

63. Определите оптимальный для потребителя объем блага q,

если известно, что функция полезности индивида от обладания этим благом имеет вид:

1) U (q) 1 2q2 ; 2) U (q) 5 q q2 ; 3) U (q) q2 q3.

64.Краткосрочные общие затраты (издержки) ТС конкурентной фирмы описываются формулой TC Q3 8Q2 20Q 50. При каком уровне рыночной цены Q эти издержки будут минимальными?

65.Автомобиль расходует

Q(a,b, c, k, v) 0,2 (a v b c / v) exp(k v)

бензина на 100 км	пути, где v – скорость автомобиля	(км/час);
a,b,c, k заданные	коэффициенты, зависящие от его	ходовых

свойств. Определить крейсерские2 скорости автомобилей приведенных в таблице марок.

Марка ав-		Значения ходовых коэффициентов
томобиля	a		b	c	k
ГАЗ 31010	0,142		12	2000	0,0052
BMW	0,112		11	2100	0,0042
Volvo	0,121		10	2056	0,0047

66. Две деревни А и В расположены на берегу реки на расстоянии l 12 км друг от друга, третья деревня С находится на той же стороне реки и удалена от деревень А, В на расстояния соответственно a 6 и b 12 км. Русло реки в окрестностях деревень прямолинейно. В каком месте следует построить пристань, чтобы сумма расстояний от пристани до деревень была бы наименьшей?

67. В городе должен быть построен депозитарий крови. Потребителями крови являются три госпиталя, расположенные в точках с координатами, указанными в таблице:

Госпитали	Расстояние от базовой точки (км)
Госпитали	На восток	На север
	На восток	На север
Госпиталь №1	1	6
Госпиталь №2	7	2
Госпиталь №3	3	4

Частота обращений за кровью для всех госпиталей одинакова. Определить точку расположения депозитария из критерия минимизации суммарной длины пути по доставке крови в госпитали города.

68. Добываемая в карьере руда автотранспортом поставляется на металлургический комбинат. В 30 км от карьера проходит железная дорога, ведущая (по прямой) на металлургический комбинат. Стоимость перевозки 1 т. руды на 1 км для автотранспорта 5 руб., для железнодорожного транспорта 2 руб. В каком месте на железной

2 Крейсерской скоростью называется скорость, при которой расход топлива на единицу пути минимален.

дороге следует построить станцию для перегрузки руды и отправки далее на комбинат по железной дороге? Расстояние от ближайшей к карьеру точки железной дороги до комбината равно 300 км.

69. Берега некоторого морского пролива описывается параболой

x2 2xy y2 4y 0

и прямой 3x 6y 4 0. Определить коор-

динаты точек на берегах, для которых мост, связывающий эти точки, будет иметь наименьшую длину. Какова будет длина такого моста?

70. Автомобильная горная дорога между пунктами А и В описывает траекторию 2x2 4xy 2y2 x y 0, а другая дорога между пунктами С и D проходит по прямой 9x 7 y 16 0. Требуется по-

строить связывающий указанные дороги путепровод, по возможности наиболее короткий. Таким образом, задача состоит в определении точек на дорогах, для которых отрезок, связывающий эти две точки, имеет наименьшую длину.

71. Морская береговая линия описывается кривой y ln x, а судоходный канал проходит по прямой y x. Определить кратчайшее

расстояние между морем и каналом, а также координаты точки на морском берегу и на канале, определяющие это кратчайшее расстояние.

72.Расходы топлива теплоходом пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?

73.Функция выручки фирмы квадратично зависит от объема продукции Q :

TR 100Q 2Q2.

Функция издержек имеет кубическую зависимость от Q :

TÑ Q3 77Q2 1300Q 7400.

Определить максимальную прибыль фирмы, а также объем выпуска продукции, обеспечивающий эту прибыль.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ-РАВЕНСТВАХ

В данном разделе рассматривается оптимизационная ЗНЛП вида

max (min);

(3.1)

f (x)

, j 1,m ;

(3.2)

(x) b

x Rn ,

которая в более компактной векторной форме записи имеет вид

max (min);

f (x)

(3.3)

g(x)

, , x

) Rn – ее вектор-

Здесь: f (x) – целевая функция; xT (x , x

ный аргумент (вектор неизвестных); gT

(x)

(x), g

(x)) –

вектор-функция ограничений;

bT (b , b , , b

) – заданный вектор

правой части ограничений.

3.1. Метод множителей Лагранжа

3.1.1. Назначение и обоснование метода

Метод множителей Лагранжа предназначен для решения ЗНЛП типа (3.1)-(3.2), которая в развернутой форме записи имеет вид

f (x) max (min);


g (x) b ,
1			1
g	2 (x) b2 ,



g
g	m	(x) b .
	m		m

(3.4)

(3.5)

Для безусловного экстремума, когда ограничений нет, и экстре-

мум ищется на всем пространстве,			необходимым условием суще-

ствования экстремума является условие f (x) 0 . В случае одного
условия область		ограничений	состоит из поверхности

D {x Rn :	g (x) b }; градиент		f (x) целевой функции в точке
1	1	1
	должен быть ортогонален к этой поверхности. В про-
экстремума z	должен быть ортогонален к этой поверхности. В про-

тивном случае в касательной плоскости существует направление,

вдоль которого производная от функции f (x) отлична от нуля (то-

гда и производная вдоль кривой на поверхности, касающейся этого направления, отлична от нуля). Поэтому, вследствие ортогонально-


сти градиента f (z)	в точке экстремума к поверхности D1 , при не-
котором 1 должно выполняться

	f (z) 1 g1(z) ,
иначе говоря, при некотором 1

	( f (z) 1(b1	g1(z)))	0 .

В случае нескольких ограничений в виде системы уравнений, когда допустимое множество представляет собой поверхность


D {x	Rn : g (x) b , , g		m	(x) b } ,
	1	1	m	m

градиент должен лежать в нормальной плоскости к поверхности, то есть в плоскости, «натянутой» на векторы


(b1 g1(z)), (b2 g2 (z)), , (bm gm			(z)) .
Следовательно, при некоторых 1, , m Имеем,

( f (x) 1(b1 g1	(z)) m (bm gm (z))) 0 ,
то есть

( f (x)	T (b	g(x))) 0 ,

что является необходимым условием существования экстремума. Это условие и ложится в основу метода множителей Лагранжа.

3.1.2. Схема реализации метода множителей Лагранжа

Метод реализуется выполнением следующих шагов.

		) Rm , компоненты
Шаг 1. Вводится вектор yT ( y , y , , y
1 2	m
которого называются множителями Лагранжа.
Шаг 2. Определяется функция Лагранжа			в виде суммы
	L(x, y)

целевой функции и скалярного произведения вектора множителей Лагранжа на вектор разности между правой и левой частями ограничений:

						(3.6)
L(x, y) f (x) yT (b				g	(x)) ,	(3.6)

которая в развернутой форме записи имеет вид

	m
L(x, y) f (x) yi (bi gi (x)) .		(3.7)
	i 1

Здесь			) вектор инструментальных переменных
	xT (x , x , , x	n
	1 2

функции Лагранжа.

Шаг 3. Производится отыскание стационарных точек функции Лагранжа. Для этого в соответствии с необходимыми условиями существования безусловного экстремума решается система уравнений

g(x)

L(x, y) f (x) y

f (x) y R (x) 0,

(3.8)

L(x, y) (b

g(x)) 0.

g1 (x)

g2 (x)

g(x)

Здесь Rg (x)

– матри-

gm (x)

ца Якоби вектор-функции

g(x) .

Систему уравнений (3.8) нетрудно представить в развернутом

виде:

f (x)		m	gi (x)
		yi		0,	j 1, n,
	x j	yi	x j	0,	j 1, n,
	x j	i 1	x j		(3.9)


bi gi (x) 0, i 1, m.

Шаг 4. Каждая из найденных стационарных точек проверяется на экстремум. Для этого в рассмотрение вводится так называемая

окаймленная матрица Гессе Q			B			определяемая следующим
окаймленная матрица Гессе Q				(z, y) ,		определяемая следующим
образом:
		O
	B	O			R (z)
	B					g
			m m			g
Q (z, y)			T				,
		R		(z) H (z, y)
			g

где O	– нулевая матрица; R
где O	– нулевая матрица; R			(z) - матрица Якоби вектор-функции
m m			g

			2 L(x, y)
ограничений;		H (z, y)			матрица Гессе функции Ла-
ограничений;		H (z, y)			матрица Гессе функции Ла-
			xi x j
					n n

гранжа (составлена из производных второго порядка функции Лагранжа по инструментальным переменным).

Достаточными условиями, определяющими тип условного экс-

тремума функции		при ограничениях
	f (x)		g	(x) b в стационарной

точке, являются следующие:

1) точка z является точкой максимума, если все главные мино-

ры окаймленной матрицы Гессе B начиная с главного мино-

Q (z, y),

ра порядка 2m 1, образуют знакопеременный ряд, знак первого члена которого определяет множитель ( 1)m 1 .

2) точка z является точкой минимума, если знаки всех главных

миноров окаймленной матрицы Гессе B начиная с главного

Q (z, y),

минора порядка 2m 1, определяются множителем ( 1)m .

3.1.3. Интерпретация множителей Лагранжа

Анализируя значения множителей Лагранжа, можно получить дополнительную ценную информацию. С этим связано широкое распространение метода множителей Лагранжа. Множители Лагранжа измеряют чувствительность оптимального значения

f f (x ) к изменениям констант ограничений b . Это следует из

утверждений следующей теоремы.

Теорема Лагранжа.

Пусть

решение задачи (3.4)-(3.5), а

), определяющие строки мат-

вектора g (x ),

(x ), , g

являются линейно независимыми. Тогда суще-

рицы Якоби R (x

ствует единственный вектор множителей Лагранжа

y , удовле-

системе условий (3.9), причем

творяющий вместе с x

)

f (x

i 1, m .

(3.10)

Во многих экономических задачах целевая функция имеет размерность стоимости (цены, умноженной на объем продукции) (прибыль, выручка, издержки), а с помощью ограничений вида (3.5) устанавливаются определенные значения затрат ресурсов. По-сути, в таких задачах множители Лагранжа измеряют чувствительность

оптимального значения величины , имеющей размер- f f (x )

ность стоимости, к изменениям некоторого количества затрачиваемых ресурсов. В результате эти множители имеют размерность цены и по этой причине множители Лагранжа часто называют теневыми ценами (данного вида ресурсов).

Пример 3.1. Производственные издержки S компании определяются формулой

				2x2	3x2	,
S f (x) f (x , x , x ) x2				2x2	3x2	,
1	2	3	1	2	3

где x1, x2 , x3 – количества (у.е.) расходуемых ресурсов вида 1, 2 и 3

соответственно. Технология производства такова, что требует выполнения следующих условий:

x1 x2 x3 100,

0,9x1 0,7x2 0,5x3 80.

Требуется решить задачу минимизации издержек S и определить значения x1 , x2 , x3 , обеспечивающие минимальные издержки.

Решение. Исходная задача сводится к следующей ЗНЛП:

			2x2	3x2	min;
f (x) x2			2x2	3x2	min;
		1	2	3
x	x		x 100,
1		2	3
0,9x1 0,7x2				0,5x3 80.

Целевая функция и функции ограничений являются дифференцируемыми, поэтому в данном случае применим метод множителей Лагранжа.

Шаг 1.
Шаг 1.	Вводим вектор множителей Лагранжа yT ( y , y ) .
							1	2
Шаг 2.	Определяем функцию Лагранжа
		2x2	3x2	y (100 x		x	x )
	L(x, y) x2	2x2	3x2	y (100 x		x	x )
	1	2	3	1	1	2	3
	y2 (80 0,9x1 0,7x2				0,5x3 ) .

Шаг 3. Ищем стационарную точку, решая систему уравнений

L(x, y)

L(x,

2x1 y1 0,9 y2 0,

4x2 y1 0,7 y2 0,

6x3 y1 0,5 y2 0,

Система имеет единственное решение. Соответствующая стационарная точка, подозрительная на экстремум, есть

	x ,	x ,	y ,	y ) (62,5; 25; 12,5; 12,5; 125) .
x (x ,
1	2	3	1	2

Шаг 4. Определяем тип экстремума в стационарной точке. Для этого нужно исследовать окаймленную матрицу Гессе

R (x )

, y

)

m m

) H (x

, y

)

Матрица Якоби Rg (x)

в произвольной точке x имеет вид

g1(x)

(x)

g2 (x)

0,7

0,9

0,5

Матрица Гессе функции Лагранжа в произвольной точке:

		2	0	0
	2 L(x, y)
H (x, y)		0	4	0

	xi x j
			0	6
		0			.

Таким образом, окаймленная матрица Гессе в произвольной, в том числе и в найденной стационарной точке имеет вид:

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.20195.83 Mб6Material.doc
#
30.05.20151.46 Mб9math_2012_abiturienti-i_varianti_rus.pdf
#
26.11.2019358.4 Кб2metodichka ХИСТОРИ.doc
#
30.05.2015427.01 Кб126metodichka1.doc
#
08.05.2019171.52 Кб4metodizka po praktike.doc
#
30.05.20151.12 Mб15METODY_REShENIYa_ZNLP.pdf
#
24.12.2018192.82 Кб3Mezhdunarodnoe_chastnoe_pravo.docx
#
31.07.201943.16 Кб2Mezhdunarodnoe_pravo.docx
#
15.11.2019253.6 Кб9Mezhdunarodnoe_publichnoe_pravo_Barnashov_Alexa...docx
#
09.09.201969.63 Кб1MEZhDUNARODN_J_KODEKS.doc
#
30.05.2015494.08 Кб12MIKROSOTsIOLOGIYa_-_2009_Kurs_lektsy_doc.doc