Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

METODY_REShENIYa_ZNLP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Пусть некоторое фиксированное число. Множеством уровня

функции f (x) называется множество всех точек, удовлетворяю-
щих уравнению
щих уравнению		f (x) .
Пример 1.3. Для функции двух переменных								bx2
Пример 1.3. Для функции двух переменных						f (x) ax2		bx2
							1	2
при	a, b 0	множеством	уровня	0	является		эллипс
ax2	bx2 (рис. 1.1)
1	2
		x2

			n
		/b
		y .
		2	y	c1x1 c2x2 d
				c1x1 c2x2 d
			y	.			x
			y	/ a			x
			1	/ a			1

		Рис. 1.1. Нормаль n к эллипсу в точке			y


В плоском (двумерном) случае, когда x R2 , множество уровня
		является линией. В трехмерном – поверхностью.
функции f (x)		является линией. В трехмерном – поверхностью.
Касательной гиперплоскостью к множеству уровня				функции
		из этого множества называется множество всех то-
f (x)	в точке y	из этого множества называется множество всех то-
	Rn , удовлетворяющих уравнению
чек x	Rn , удовлетворяющих уравнению
				(1.16)
		T f ( y)(x	y) 0 .	(1.16)

В плоском случае касательная гиперплоскость является касательной прямой; в трехмерном случае – обычной касательной плоскостью.


Пример 1.4. Касательной гиперплоскостью для функции f (x)

	/(a b);	/(a b) яв-
из предыдущего примера в точке y	/(a b);	/(a b) яв-
ляется прямая
c1x1 c2 x2 d ,		(1.17)

где c1 2a /(a b) ; c2 2b /(a b) ; d 2 (см. рис.1.1).

Вектором нормали (нормалью)					к гиперплоскости, задаваемой
Вектором нормали (нормалью)				n	к гиперплоскости, задаваемой
уравнением
			c x	c x			,	(1.18)
	cT x c x		c x	c x			,	(1.18)
		1 1	2 2			n	n
называется вектор		, компоненты которого равны компонентам за-
называется вектор	n	, компоненты которого равны компонентам за-

данного в (1.18) вектора c , то есть					n	c . Вектор нормали ортого-

нален своей гиперплоскости. В плоском и трехмерном случаях ор-

тогональность означает перпендикулярность.
							функции
Из уравнения (1.16) следует, что градиент f ( y)							функции	f (x)
является нормалью гиперплоскости к множеству уровня
	T
	T		f ( y) y .
Пример 1.5. Нормалью		к касательной прямой (1.17) является
Пример 1.5. Нормалью	n	к касательной прямой (1.17) является
(см. рис.1.1) вектор
			2a
			2a		/(a b)

n f ( y		)	2b			.
n f ( y		)	2b	/(a b)		.

1.6. Разложение Тейлора

Пусть

k T (k , k

, , k , ) вектор с целочисленными неотрица-

тельными

компонентами. Обозначим через

[k ] k1

k2 kn

сумму его компонент. Говорят, что функция

1(x) есть «о малое»

по сравнению

с 2 (x) при x 0 (пишут 1(x) o(2 (x)) , если

справедливо условие

lim

(x)

0 .

(1.19)

x 0 2

(x)

Условие (1.19) означает, что 1 (x) пренебрежимо мала по срав-

нению с 2 (x)

при

0 . Если функция f (x ) дифференцируема

m 1 раз в некоторой окрестности O ( y) точки

y Rn , то для вся-

кой точки

O ( y)

справедлива формула Тейлора

[k ] m

[k ] f ( y)

f (x)

(x1 y1 ) 1 (x2 y2 )

2 (xn

yn )

n +

[k]!

1 x

[k ] 0

(1.20)

o(| x

y |m ) .

Величина o(| x

y |m ) называется остаточным членом в форме

Пеано и означает пренебрежимо малую величину по сравнению с


\| x	y \|m при	x	y .

Представление функции f (x) по формуле Тейлора (1.20) назы-

вается разложением Тейлора этой функции в точке y с точностью

до производных m-го порядка.

В частности, разложение Тейлора с точностью до производных второго порядка есть

			1
f (x)	f ( y) T f ( y)(x	y)		(x	y)T H ( y)(x	y) o(\| x	y \|2 ),
f (x)	f ( y) T f ( y)(x	y)	2	(x	y)T H ( y)(x	y) o(\| x	y \|2 ),
			2

							(1.21)

где H ( y) матрица Гессе функции				f (x)		в точке y .
В одномерном случае,		когда			R1		является
В одномерном случае,		когда		x	R1	и функция f (x)	является
функцией одной переменной, формула Тейлора принимает вид

	m 1 k f ( y)				y)k o(\| x y \|m )
f (x)			(x				(1.22)
f (x)		xk	(x				(1.22)
	k 0 k!	xk

Если функция f (x) является аналитической функцией, то есть

дифференцируемой в точке y бесконечное число раз, то она может быть разложена в степенной ряд (ряд Тейлора):

[k ] f ( y)

f (x)

(x1

y1 )

1 (x2

y2 )

2 (xn yn )

n .

(1.23)

[k]! x

1 x

2 x

[k ] 0

R1 , из (1.22) и (1.23) следует

В одномерном случае, когда x

1 k f ( y)

(x y)k

f (x)

(1.24)

k 0 k!

Пример 1.6. Из (1.24) следует, в частности,

ex 1

;

sin(x) x

1.7. Достаточные условия существования решения ЗНЛП

Рассмотрим ЗНЛП общего вида

		max(min);
f (x)		max(min);
g

	(x) b , i 1, m,
i		i


h j	(x) j , j 1, k.

В зависимости от вида целевой функции

(1.25)

(1.26)

f (x) и системы огра-

ничений (1.26), для решения ЗНЛП применяются различные методы. Перед началом поиска решения задачи желательно знать ответ на принципиальный вопрос о его существовании. Достаточные условия существования решения ЗНЛП с ограничениями даются следующей теоремой.

Теорема Вейерштрасса. Пусть допустимое множество

	Rn : g
			h			, j 1, k}	задачи (1.25)-
D {x		(x) b , i 1, m;		(x)	j
	i	i	j

(1.26) является непустым и компактным. Тогда непрерывная целе-

вая функция f (x) , определенная на этом множестве, достигает

глобального максимума (минимума) на внутренней или граничной точке множества D .

На рис. 1.2 показаны различные варианты экстремумов функции на компактном одномерном множестве – отрезке

f (x)	max f (x)
	max f (x)
	min f (x)
	D	x
	D
Внутренний максимум;
граничный минимум

f (x)
max f (x)
min f (x)
D	x
D
Внутренний минимум;
граничный максимум

Рис. 1.2. Графическая иллюстрация условных экстремумов

Условия теоремы Вейерштрасса нетрудно проверить, когда решается ЗНЛП с ограничениями. Если же задача не имеет ограничений, то тогда для ее решения применяют классический метод.

1.8. Задачи

Для указанных ниже функций найти все частные производные первого и второго порядка:

1. f (x)

3. f (x)

5. f (x)

x13 x1x22 5x1x23

13 (x12 x22 )3 .

x1 x2 . x1 x2

x25 .

4. f (x)

6. f (x)

2.
2.	f (x) xx2 .
	1

ln(x	x2 ) .
1		2

		2		2
ln x1			(x1	x2 ) .

Для указанных ниже матриц определить, используя критерий Сильвестра, являются ли они положительно или отрицательно определенными:

	1		1		5						1 4		0

7.	A	1	2		100	.			8.	A	4	20	2	.
		5	100		5						0	2	1
		5	100		5						0	2	1
	1		1	0			1		10	0

9.	A	1	10	0	.	10.	A	10	200	0	.
		0	0 50					0	0
		0	0 50					0	0	5

			1		2	3	4	5
1 1	1			2	3	4	5	4
1 1	1			2	3	4	5	4
			A						.
11. A 1 2	2 .	12.	A	3	4	5	4	3	.

			4		5	4	3	2
1 2	3		4		5	4	3	2
				5	4	3	2	1
				5	4	3	2	1

Для указанных ниже функций определить, являются ли они вы-

пуклыми или вогнутыми:
13.	x ln x .		14. e x .			15. ex1 ex2			16.	x ln x x			2	ln x
										1	1		2		2
17.	xa , если 0 a 1 .					18.	xa	xa	, если 0 a 1 .
							1	2
19.	xa , если a 1 .					20.	xa	xa	, если a 1 .
							1	2
21.	xa1 xa2 xa3 , если			a , a , a 0,			a	a	a	1.
	1	2	3	1	2	3	1	2	3
22.												3x x2			1 в
22.	Найти производную функции f (x) x3 3x2 x											3x x2			1 в
									1	1	2		1	2
точке M1(3;1)			по направлению к точке M 2 (6;5) .
23.	Найти производную функции								x2 x2 x x3 3x						1 в
23.	Найти производную функции							f (x)	x2 x2 x x3 3x						1 в
									1	2	1	2		2
точке M1(2;1)			по направлению к началу координат.
24.	Найти производную функции												в начале
24.	Найти производную функции							f (x) ln(ex1 ex2 )					в начале

координат в направлении луча, образующего угол с осью Ox1 .

			в точке
25. Найти производную функции f (x) x2 x2 x2			в точке
1	2	3

M1(2; 1; 3) по направлению к точке M2 (0;1;1) .

Для указанных ниже функций найти их стационарные точки:

26. f (x)

28. f (x)

30. f (x)

2x2 x2		x x			2 .	27.			bx2		cx x			d .
2x2 x2		x x		2	2 .	27.	f (x) ax2		bx2		cx x		2	d .
1	2		1	2				1		2		1	2
e2x1 (x x2			2x ) .			29.				x		x ) .
e2x1 (x x2			2x ) .			29.	f (x) x x (a			x		x ) .
	1	2			2		1	2			1	2
(2ax	x2 )(2bx				x2 ) .	31. f (x) x x .
1		1		2	2

32.		x2	2x	x x		x x .
	f (x) 2x2				2
	1	2	3	1		1	3
				5x3	ln(22 x1
33.	f (x) 3ln x1 2 ln x2

Найти градиент и матрицу Гессе

)

(

ций:
34.		2x x		3x	1
34.	f (x) x2	2x x		3x	1	в точке zT
	1	1	2	2
35.		x2	в точке			(3; 2) .
35.	f (x) x2	x2	в точке		zT	(3; 2) .
	1	2

x2 x3 ) .

H (z) следующих функ-

(1; 2) .

4 x2

в точке

36. f (x)

zT (2; 1) .

x2 x2

37. f (x)

в точке zT (1; 1; 1) .

38.

x x

в точке

(0;

1) .

f (x) 2x e 1

Разложить по формуле Тейлора следующие функции в заданной

точке с точностью до производных второго порядка:

39.

5x2

4x2

3x x

в точке

0) .

f (x)

zT (0;

40.

5x2

4x2

3x x

в точке

1) .

f (x)

zT (1;

41.

(1;

1) .

f (x) xx2

в точке zT

42.

x )

в точке

f (x) ln(1 x

zT (0; 0) .

43.

в точке

f (x) ln(1 x ) ln(1 x )

zT (0; 0) .

44. Найти матрицу Якоби

вектор-функции

(z)

ln(x x

)

(x)

(1; 1) .

g(x)

в точке z T

(x)

tg(x1 / x2 )

45. Найти матрицу Якоби

вектор-функции

(z)

x2 x

g1(x)

g(x)

в точке zT (1; 2; 3) .

(x)

x2 x3 x3

46. Найти матрицу Якоби

вектор-функции

(z)

x2 x

g1(x)

в точке

g(x)

zT (1; 2; 3) .

(x)

x1x2 x3

123

47.

Найти

вектор

нормали

к гиперплоскости,

задаваемой

уравнением 2x1 3x2

7 .

48.

Найти

вектор

нормали n к гиперплоскости, задаваемой

уравнением x1 2x2

3x3

5x5 4 .

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ

Решается задача

		Rn .	(2.1)
f (x) max(min);	x

Необходимо найти либо все максимумы, либо все минимумы це-

левой функции f (x) , либо и то и другое. Ограничений на аргумент

xR целевой функции нет.

2.1. Необходимые условия существования безусловного экстремума функции

Необходимые условия существования безусловного экстремума дифференцируемой функции даются в следующей теореме.

Теорема о необходимых условиях экстремума. Пусть диффе-

			экстремум. Тогда все
ренцируемая функция f (x) имеет в точке		z	экстремум. Тогда все
ее частные производные первого порядка в точке					равны нулю:
ее частные производные первого порядка в точке				z	равны нулю:

f (x) 0,
f (x) 0,	j 1, n .				(2.2)
x j

Условие (2.2) эквивалентно условию

	(2.3)
f (z) 0 .

Следствие. Необходимым условием существования экстремума дифференцируемой функции в некоторой точке является условие стационарности этой точки. Градиент дифференцируемой функции в точке экстремума равен нулю.

Замечание 2.1. Если функция не является дифференцируемой, то необходимыми и достаточными условиями существования безусловного экстремума являются условия определения безусловного экстремума.

2.2. Достаточные условия существования безусловного экстремума функции

Достаточные условия существования экстремума дважды дифференцируемой функции даются в следующей теореме.

Теорема о достаточных условиях экстремума. Пусть функ-


ция f (x) имеет непрерывные производные второго порядка в ста-

ционарной точке z . Тогда точка	z является точкой безусловного

максимума, если матрица Гессе H (z) функции		f (x) в этой точке

отрицательно определена и точкой безусловного минимума, если

матрица Гессе		функции		в этой точке положительно
матрица Гессе	H (z)	функции	f (x)	в этой точке положительно
определена.

2.3. Классический метод поиска безусловного экстремума

Классический метод поиска безусловного экстремума функции является методом решения ЗНЛП простейшего класса – ЗНЛП без ограничений:

		Rn .
f (x) max(min);	x	Rn .

В основе метода лежат сформулированные выше теоремы о необходимых и достаточных условиях существования безусловного экстремума. Метод применим только для "достаточно гладких" (дважды непрерывно дифференцируемых функций). Метод состоит в выполнении следующих шагов.

Шаг 1.
Шаг 1.	Решить уравнение f (x) 0 (или систему уравнений

f (x) 0,
f (x) 0,	j 1, n ) и найти множество ее решений – стационарных
x j

точек (подозрительных на экстремум).

Шаг 2. Установить, пользуясь теоремой об условиях определенности матрицы (критерием Сильвестра), тип определенности матри-

цы Гессе в каждой стационарной точке функции f (x) , и на основе этого сделать вывод о существовании и типе экстремума.


	f (x) 0,
Замечание 2.2. Решение системы уравнений	f (x) 0,	j 1, n
	x j

на первом шаге представляет собой отдельную, во многих случаях достаточно сложную задачу. Производные целевой функции нередко оказываются нелинейными функциями, а решение системы не-

линейных уравнений аналитическими методами возможно не всегда. Поэтому иногда для выявления стационарных точек на первом шаге приходится применять так называемые численные методы (см., например, метод Ньютона-Рафсона, описанный ниже).

Замечание 2.3. Если при реализации классического метода матрица Гессе в стационарной точке не является ни положительно, ни отрицательно определенной, то тогда необходимо более детальное исследование поведения функции в этой точке (например, разложение по формуле Тейлора и анализ этого разложения).

Пример 2.2. Прибыль P некоторой фирмы определяется как

		, x ) 10x		x		x 2x x2			x2	x2	,
P f (x) f (x , x	2				2
1		3	1			3	3	1	2	3
где x1 расходы на производство;				x2 и x3 расходы на рекламу по

радио и телевидению соответственно. Требуется в условиях отсутствия ограничений на производственные и рекламные затраты определить максимально возможную прибыль, а также значения ар-

гументов x1 , x2 , x3 , обеспечивающие этот максимум. Решение. Необходимо решить ЗНЛП без ограничений:

		, x ) 10x		x x		2x	x2	x2	x2	max .
P f (x) f (x , x	2
1		3	1	2	3	3	1	2	3

Целевая функция является дифференцируемой, поэтому в данном случае применим классический метод решения. Реализуя этот метод, имеем:

шаг 1. Из условия f (x) 0 получаем систему линейных урав-

нений

f (x)

10 2x1 0,

2x1 10,

f (x)

x 2x

x 0,

2x 2.

f (x)

x2 2 2x3 0.

По теореме

Крамера

система

имеет

единственное

решение

–

единственную

(5; 2 / 3; 4 / 3) .

Только

стационарную точку z

этой точке может быть экстремум.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.20195.83 Mб6Material.doc
#
30.05.20151.46 Mб9math_2012_abiturienti-i_varianti_rus.pdf
#
26.11.2019358.4 Кб2metodichka ХИСТОРИ.doc
#
30.05.2015427.01 Кб126metodichka1.doc
#
08.05.2019171.52 Кб4metodizka po praktike.doc
#
30.05.20151.12 Mб15METODY_REShENIYa_ZNLP.pdf
#
24.12.2018192.82 Кб3Mezhdunarodnoe_chastnoe_pravo.docx
#
31.07.201943.16 Кб2Mezhdunarodnoe_pravo.docx
#
15.11.2019253.6 Кб9Mezhdunarodnoe_publichnoe_pravo_Barnashov_Alexa...docx
#
09.09.201969.63 Кб1MEZhDUNARODN_J_KODEKS.doc
#
30.05.2015494.08 Кб12MIKROSOTsIOLOGIYa_-_2009_Kurs_lektsy_doc.doc