Совершенное множество является замкнутым и не имеет изолированных
точек.
Лемма. Для того чтобы точка x являлась изолированной точкой мно-
жества F необходимо и достаточно, чтобы она была общим кон-
цом двух соседних смежных интервалов.
Доказательство:
() Пусть x0 изолированная точка множества F. Тогда по определению V(x0,), в которой кроме x0 нет ни одной точки x. Рассмотрим (x0, x0), не содержащий ни одной точки из F он принадлежит некоторому смежному интервалу ( , ), = x0. Аналогично интервал (x0, x0+) не содержит точек из F содержится в смежном интервале (x0,). Итак, x0 является правым концом некоторого смежного интервала ( , x0) и левым концом интервала (x0,).
() Пусть x0конец двух соседних смежных интервалов, x0F.
Обозначим =min (x0-, x0-). Рассмотрим V(x0,). В ней нет ни
одной точки множества F, кроме точки x0. По определению x0изолиро-
ванная точка множества F.
Из теоремы 6, теоремы 7 и леммы следует утверждение о строении совер-
шенных множеств.
Теорема 8 (О строении совершенного ограниченного множества).
Для того чтобы ограниченное множество было совершенным
необходимо и достаточно, чтобы оно являлось либо отрезком,
либо получалось из некоторого отрезка удалением конечного
или счетного множества интервалов, не имеющих ни общих
концов друг с другом, ни с отрезком.
Теорема 8 (О строении совершенного множества).
Для того чтобы множество было совершенным необходимо и
достаточно, чтобы оно являлось или прямой R, или получа-
лось из R удалением конечного или счетного множества не-
пересекающихся интервалов, не имеющих общих концов
друг с другом.
Пример. Канторово множество.
Оно является ограниченным, замкнутым, совершенным. (Множество по-
лучено из [0,1] удалением из него счетного множества попарно не пе-
ресекающихся интервалов, не имеющих общих точек ни друг с другом,
ни с концами [0,1]. Значит, по теореме 8 множество является совершен-
ным).
Измеримые множества, измеримые функции.
Интеграл Лебега.
Опр.1. Мерой интервала (a,b),a<b называется его длина, т.е. число m=m(a , b)=b-a.
Очевидно, что m(a , b)>0.
Всякое открытое множество является объединением конечного или
счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, которые
называются составляющими интервалами открытого множества.
Пусть G открытое множество. Тогда G=, где .
Т.к. G ограничено, то оно содержится в некотором интервале (a , b), мера
которого определена m(a , b)=b-a.
Очевидно, что k k (a , b).
Итак, интервалы k не пересекаются попарно и содержатся в интервале
(a , b).
Рассмотрим два случая:
1.G конечное объединение интервалов k , т.е. G=.
Мера интервала k это 0m( k )<+.
0<+
положительное число, выражающее собой сумму мер непересе-
кающихся интервалов, входящих в состав множества G.
2.Пусть Gсчетное объединение интервалов k , т.е. G=
Рассмотрим ряд (1) положительный числовой ряд.
S n = n-ая частичная сумма ряда.
Если m k0, то последовательность {S n} будет не убывающая, возрас-
тающая и ограничена сверху (см. п.1.) lim S n=S по определению ряд (1) сходится и его сумма есть неотрицательное число, т.е.
0 (Ряд сходится, когда существует предел последовательности его частичных сумм).
Итак, если Gоткрытое ограниченное множество, то сумма мер его составляющих интервалов не отрицательное число, не большее, чем b-a.
Опр.2. Мерой ограниченного открытого множества G называется сумма
мер его составляющих интервалов, т.е. если G=, то
mG=. Ясно, что 0mG.
Свойства меры открытого ограниченного множества.
Теорема 1. Если ограниченное открытое множество G является объедине-
нием конечного числа или счетного множества попарно непе- ресекающихся открытых множеств G k, то мера множества G
равна сумме мер множеств, т.е. mG=.
Доказательство: возьмем G kоткрыто может быть представлено в
виде G k=, где =, ij.
G=.(2)
В правой части (2) не более чем счетное число интервалов. Т.к. G k не
пересекаются попарно, то и интервалы в (2) попарно не пересекаются.
Следовательно, они являются составляющими интервалами для множест-
ва G . По определению 2 mG=.
Теорема 2. Пусть G 1, G 2 открытые ограниченные множества, т.ч.G 1G 2.
Тогда m G 1 mG 2.
Доказательство:.
Возьмем любой составляющий интервал k(1) множества G 1.
Для любого k(1) существует составляющий интервал m(2): k(1) m(2)
m k(1)m m(2).
Просуммируем по k и получим неравенство: .
mG 1mG 2.
Мера ограниченного замкнутого множества.
Опр.1. Мерой пустого множества называется число ноль.
Пусть F ограниченное замкнутое множество. Тогда существует отрезок
=[a , b] , содержащий множество F. Рассмотрим множество C∆F=\F.
C∆Fоткрытое ограниченное множество (показано ранее) существует мера этого множества. Т.к. C∆F(a , b), то 0m(C∆F)<b-a
0(b-a)-m(C∆F)<+.
Опр.2. Мерой ограниченного замкнутого множества F называется число,
обозначаемое mF и определяемое по формуле: mF=(b-a)-m(C∆F),
где наименьший отрезок, содержащий множество F.
Ранее было показано, что mFнеотрицательное число.
Свойства меры ограниченного замкнутого множества.
Теорема 3. m[a , b]=b-a.
Доказательство: в данном случае =[a , b], C∆[a , b]=.
m[a, b]=(b-a)-m(C∆[a , b])=b-a.
Теорема 4. Пусть [a , b], [c , d] непересекающиеся отрезки. Тогда мера
их объединения равна сумме мер отрезков, т.е.
m([a , b] [c , d])=m[a , b]+m[c , d].
Доказательство: =[a , d] C∆([a , b][c , d])=(b , c) m([a , b] [c , d])=
m-m(C∆([a , b][c, d])=m[a, d]-m (b, c)=d-a-(c-b)=d-a-c + b=(b-a)+(d-c)=
m[a, b]+m[c, d].
Теорема 5. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся
в интервале G=(c , d). Тогда mF=mG-m(C GF).
Доказательство: Пусть =[a , b]наименьший отрезок, содержащий мно-
жество F. Тогда по определению mF=(b-a)-m(C∆F)=((d-b)+(b-a)+(a-c))-
-(m(C∆F)+(d-b)+(a-c))=(d-c)- m(C GF)=mG- m(C GF).
Теорема 6. Если F1,F2 ограниченные замкнутые множества и F1 F2 ,то
m F1m F2.
Доказательство: Пусть G открытое множество, т.ч. F2G F1G.
(это, возможно, сделать, т.к. F2 ограничено). Рассмотрим множества
C GF1 и C GF2. Имеем C GF1 C GF2открытые множества. Действительно,
пусть x C GF2 xG, xF2, но F1F2xG,xF1x C GF1. По т.2.
m (C GF1)m(C GF2)- m (C GF1)- m (C GF2)mG- m (C GF1)- m (C GF2)+mG
mF1m F2.
Лемма Гейне-Бореля.
Пусть F, Mметрическое пространство.
Лемма. Пусть F замкнутое ограниченное множество,{( k, k)}k=1систе-
ма интервалов, покрывающих множество F, т.е. F .
Тогда существует конечное число интервалов ( k1, k1) ,…,( kn, kn)
покрывающих множество F, т.е. т.ч. F ( ki, ki), i=1,…,n.
Опр.1. Fкомпактно F замкнуто и ограничено.
Опр.2. F компактно, если из любого бесконечного множества покрытий
множества F можно выделить конечное число подпокрытий мно-
жества F.
Доказательство леммы: Пусть F замкнутое ограниченное множество,
F[a, b]. [a , b]наименьший отрезок, содержащий множество F. Докажем
от противного. Предположим, что из бесконечной системы интервалов
нельзя выбрать конечную систему, покрывающую F.
Делим отрезок [a , b] на два равных отрезка [a ,], [,b]. Хотя бы один из них нельзя покрыть конечным числом интервалов. Обозначим его u1. Далее u1 делим на два равных отрезка, и за u2 обоз-
начаем тот из них, который нельзя покрыть конечным числом интерва-
лов. Процесс продолжим до бесконечности. Получим последовательность
отрезков u1 u2 u3… u n…
Для последовательности {u n} имеем:
u n nN нельзя покрыть конечным числом интервалов по построению и
предположению в u n содержится бесконечное число точек множества F.
u nпоследовательность вложенных отрезков, u n=.
Тогда по принципу вложенных отрезков .
Покажем, что x0F.
Из п.1. следует, что (x n): x n u nF, a n x nb n nN.
lim x n=x0 по теореме о пределе промежуточной последовательности.
x0 предельная точка множества F, но F замкнутоx 0Fk0: x0(k0,k0).
b n-a n0, n N: n>N: u n(k0,k0).
Итак, все отрезки последовательности u n, начиная с номера N+1 содер-
жатся в фиксированном интервале (k0,k0), т.е. покрываются одним ин-
тервалом из данной системы. Противоречие с предположением, следова-
тельно предположение не верно.
Внешняя мера.
Пусть ограниченное множество, (a , b). Возьмем всевозможные от-
крытые множества G, покрывающие множество . Мера множества G
определена в предыдущих пунктах: 0mG<+.
Опр.1. Пусть множество всевозможных множеств, которые покрыва-
ют множество . Внешней мерой множества называется число, обозначаемое m*E и определяемое по формуле:
m*E={mG}.
Свойства внешней меры множества.
Свойство 1. m*E0
Доказательство: m*E = {mG}.
0mG<+ GA(E) m*E = inf{mG}0.
Свойство 2. E1E2 m*E1 m*E2.
Доказательство: Рассмотрим A(E1) и A(E2). A(E1) A(E2).
Если множество расширяется, то его inf может только уменьшится.
GA(E2) {mG} {mG},GA(E1) m*E1 m*E2.
Лемма 1. Пусть {O k}k=1 система открытых множеств. O=.
Тогда m(O)=, если последний ряд сходится.
Доказательство: т.к. Oоткрытое множество, то O=(A k,B k), (A k,B k)
непересекающиеся попарно интервалы.
m(O)=(Bk-A k)=.
O n=(a nm , b nm)объединение попарно непересекающихся интервалов n.
m(O n)=(bnm- a nm).
Возьмем интервал (A k,B k).
O=(a nm , b nm).
Выберем >0: k=.Получим
[A k + k , B k- k](A k, B k)O=(a nm, b nm).
Система интервалов (a nm, b nm)система, покрывающая [A k + k , B k- k].
По лемме Гейне-Бореля из нее можно выбрать конечную систему интер-
валов, покрывающих данный отрезок: [A k + k , B k- k] (k)(a nm, b nm).
Тогда B k-A k-2 k(k) (b nm-anm) B k-A k(k) (b nm-anm)+ 2 k.
Просуммируем по k: .
m(O) (k) (b nm-anm)+ . (1)
.
Из (1) m(O) при0.
Свойство 3. Пусть E=m*E m*E n.
Доказательство: возьмем nN и рассмотрим множество E n. По опре-
делению m*E n={mO} O n: m(O n) m*E n+.
Просуммируем по n все такие неравенства:
.
EO, O=On (E nO n nN, ).
По свойству 2 m*Em(O)m*(O n) m*E n+.
Переходим к пределу при 0 и получаем: m*E m*E n.
Внутренняя мера.
Пусть =(0,1),. РассмотримC∆E=\E. Величинаm*(C∆E) определена в предыдущем пункте.
Опр. Внутренней мерой множества E называется число, обозначаемое
m*E и определяемое по формуле: m*E=1- m* (C∆E).
Свойства внутренней меры.
1.а) m *E m*E
Доказательство: рассмотрим отрезок [ , 1-], E(0,1)=.C∆E=\E (0,1),
т.е. E C∆E=(0,1).
Пусть G1 покрывает E, G1открытое множество, G2 покрывает C∆E,
G2 открытое множество. Для выбранного отрезка [ , 1-], G1A(E),
G2A(C∆E). Т.к. G1 и G2 открыты, то G1=( k, k), G2=( m, m), где
( i, i)( j, j)=, i j, ( s, s)( p, p)=, sp.
Рассмотрим G=G1G2открытое множество. Очевидно, что G покрывает
отрезок [ , 1-] (ограниченное замкнутое множество)по лемме Гейне-
Бореля из нее можно выделить конечную систему интервалов, покрыва-
ющих отрезок [ , 1-]. Выпишем ее: ( 1, 1),…, ( n, n) (1)
( 1, 1),…, ( m, m) (2)
Интервалы систем (1) и (2) между собой могут пересекаться.
1--1-2 (3)
Т.к. G1 и G2 любые открытые множества из A(E) и A(C∆E), то по оп-
ределению нижней грани можно подобрать точку, чтобы выполнялись
следующие условия:
(4)
Тогда из (3) и (4) m*E+ m*C∆E+21-2.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при ,0, получим:
m*E1- m*C∆E m*E m*E.
б) m*E0.
Доказательство: (0,1)= . 1- m*C∆E0 m*C∆E1.
Возьмем (0,1). Возьмем любое открытое множество G, содержащее E,
т.ч. mG<1+.
EG m*E m*G.
m*G={mG0}=mG m*G=mG
m*E<1+.
Переходя к пределу при 0, получим: m*E1т.к. C∆E(0,1), то m*C∆E1.
Лемма 1. Пусть O и O ограниченные открытые множества, покрываю-
щие интервал (0,1). Тогда m(O O)m(O)+m(O)-1.()
Доказательство: По условию O и O ограниченные открытые мно- жестваO=( k, k), ( i, i)( j, j)=, i j.
O=( m, m), ( s, s)( p, p)=, sp.
Возьмем и рассмотрим отрезок [,1-]. Т.к. OO(0,1) [,1-] , то по лемме Гейне-Бореля из этих интервалов можно выделить конечное число интервалов, покрывающих [,1-]: ( k1, k1),…,( kn, kn)
( m1, m1),…, ( mp, mp).
[, 1-]{( kj, kj)}{( mj, mj)}. Обозначим через N1=kj,
N2=mj ,
N=max{N1, N2}.
Т.к. O и Oограничены, то сходятся ряды ( k- k)мера ,
( m- m)мера . Для N0N ;
{т.к. Q n абсолютно сходится lim R n=0}
Обозначим через =max {N,N0}, Q=( k, k), Q=( k, k),
R=( k, k), R=( k, k).
O=QR, O= QR, RQ будет покрывать [,1-].
Рассмотрим QQ)(RR)=X. Пусть xxO,xO
а) xQ,xQxQQxX
б) xQ, xQxR или x RxRRxX
m()m(QQRR)m(QQ)+m(R)+m(R)<m(QQ)+=
=m(QQ)+ (1)
1--m(Q)+m(Q)-m(QQ)m(QQ)m(Q)+2-1 (2)
Из (1), (2), (3) m()-m(O)+m(O)+2-1, т.е. m()m(O)+m(O)+3-1. Переходим к пределу при 0, получим (*).
Лемма 2. Пусть {E k}k=1 система попарно непересекающихся
множеств, т.е. E k E m=, km. Пусть E=E k . Тогда
m*Em*E k. (**)
Доказательство:
Пусть k=2. Даны множества E1, E2: E1E2=. Докажем:
m*E= m*(E1E2) m*E1+ m*E2. (4)
Докажем вспомогательные утверждения:
1)Если E1, E2 (0,1)= ,E1E2=Y= C∆E1 C∆E2(0,1).
Пусть x(0,1)а) xE1xE2x C∆E2xY.
б) xE1x C∆E1xY.
2)C∆E1 C∆E2 = C∆E=C∆(E1E2)
Пусть x C∆E1 C∆E2x C∆Ei, i=1,2xE1,xE2xE1E2x C∆(E1E2)
Пусть x C∆(E1E2) xE1E2 xE1,xE2 x C∆E1 C∆E2
По определению внешней меры (4) перепишем в виде:
1-m*(C∆(E1E2))1-m*(C∆E1)+1- m*(C∆E2)
m*(C∆E1)+ m*(C∆E2)= {m(Oj)}, j=1,2. Ojоткрытое множество, покрывающее множество C∆Ej.
>0 O1, O2: O1 C∆E1, O2 C∆E2
а) m(O1)< m*(C∆E1)+, m(O2)< m*(C∆E2)+
б) C∆E1 C∆E2O1O2
в) C∆E1C∆ E2) O1O2
O1O2(0,1) по лемме 1 m (O1O2)m (O1) + m (O2)-1
m*(C∆(E1E2))=m*(C∆E1 C∆E2)m*(O1O2)=m (O1O2) m (O1) + m (O2)-1<
< m*(C∆E1)+ m*(C∆E2)+2-1.
Перейдем к пределу при 0:
m*(C∆(E1E2))+1 m*(C∆E1)+ m*(C∆E2)
k. Пусть S n=.
По 1. m*S nm G n-1+m*E n, S nE. Если E1E2, то m*E1 m*E2
Т.к. S nE C∆S n C∆E m*(C∆S n) m*(C∆E), 1- m*(C∆S n)1- m*(C∆E)
m*S n m*E, m*E m*G n-1+ m*E n
Продолжим этот процесс: G n-1=. По 1.
m*E m*E k. Перейдем к пределу при n, получим (**).
Измеримые множества. Мера Лебега.
Опр. Пусть E задано на ∆=(0,1). Множество E измеримо по Лебегу, если
m*E=m*E.
Это общее значение обозначается mE и называется мерой множества E.
Свойства:
3.Если измеримо, то C∆E также измеримо.
Доказательство: измеримо m*E=m*E=mE.
Докажем, что C∆E измеримо, т.е. что m* C∆E=m* C∆E.
m* C∆E=1- m*E=1-mE
m* C∆E=1- m*E=1-mE
m* C∆E=m* C∆E.
Лемма 3. Пусть G=(), EG. Множество E измеримо
m*E+ m*(CGE)= -. (1)
Доказательство:
() Пусть E измеримо. Докажем (1). m*E=m*E=mE.
m*E=(-)- m*(CGE) m*(CGE)= (-)-m*E=(-)- mE
m*E+ m*(CGE)= mE+(-)-mE=-.
() Из (1) m*E=(-)- m*(CGE).
По определению m*E=(-)- m*(CGE).
Т.о. m*E=m*E=mEизмеримо.
Основные теоремы об измеримых множествах.
Теорема 1. Пусть E1,E2,…E n,…измеримые множества. Тогда
а) E=E k измеримо, mE mEk.
б) E k E m=,km. Тогда mE=mEk.
Доказательство теоремы 1б):
Докажем, что измеримо, т.е. что m*E=m*E.
Т.к. E k E m=,km, то по л.2. m*Em*E k, но все Ek измеримы
m*E mEk
Из свойства 3 внешней меры m*E m *E k =mE k, т.е.
mE k m*E m*E mEk m*E=m*E=mEk.
Доказательство теоремы 2 а):
1.Пусть F=()(0,1) измеримое множество. Eпроизвольное измеримое
множество.
Докажем, что EF измеримое множество.
E1=E(), E2=E\E1, E1E2=, E1E2=E.
Пусть открытое множество, содержащее множество , т.е. EO.
O1=O(), O2=O\O1, O1O2=, O1O2=O.
По т.1б) m(O)=m(O1)+m(O2) (1)
Докажем, что m*E=m*E1+m*E2 (2)
E m*E m*O
По определению inf: m*EmO-.
Покажем, что E1O1: xE1xE, x() xO, x() xO1.
Покажем, что E2O2: xE2xE, xE1 xE, x() xO, x O1
xO2.
E1O1 m*E1 m*O1
E2O2 m*E2 m*O2
Складывая два последних неравенства, получим:
m*E1+ m*E2m(O1)+m(O2)=m(O)
m*E m*E1+ m*E2-
E=E1E2 m*E m*E1+ m*E2
m*E1+ m*E2- m*E m*E1+ m*E2
Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим равенство (2) m*E=m*E1+m*E2
Пусть C∆E=\E(0,1).
Аналогично доказывается равенство:
m* C∆E= m*e1+ m*e2, где e1= C∆E(), e2= C∆E\e1.
Т.к. E измеримо, то m*E=mE, m* C∆E= m C∆E.
Складывая два последних равенства, получим:
m*E+ m* C∆E=mE+ m C∆E=1 (по л.1.).
Докажем, что e1=C FE1, т.е. докажем, что C∆E()= C FE1
1.Пусть x C∆E() x C∆E, x() x, xE, x() xE1,xF
x C FE1
2.Пусть x C FE1 xF, xE1 x=, xE, x() x C∆E, x()
x C∆E()
E1 C FE1=(), E1e1=()- m*E1+ m*e1 (4)
Складывая (2) и (3), получим:
mE + m(C∆E)= m*E1+ m*E2+ m*e1+ m*e2=1 m*E1+ m*e1=1- m*E2- m*e2=.
E2e2\F. Докажем это.
x\F x, xF.
Возможны два случая:
а) xExE1xE2x E2e2
б) xEx C∆E, xe1x2 x E2e2
Из а) и б) следует, что x E2e2
m (\F) m*E2+ m*e21-() m*E2+ m*e21- m*E2- m*e2
Тогда m*E1+ m*e1 (5)
Из (4) и (5) m*E1+ m*e1= m*E1+ m* C FE1=E1измеримо.
2.Пусть Fпроизвольное открытое множество,
Eпроизвольное измеримое множество, E(0,1), F(0,1).
Докажем, что EF измеримо.
F=Fk, F iF j=, ij.
EF=E(Fk) ==(EF k)
EF kизмеримо (по 1.), попарно не пересекаются EF измеримо по т.1б).
(EF i)(EF j)=, ij, m(EF)=m(EF k).
3.Пусть Fпроизвольное измеримое множество. Т.к. Fизмеримо, то C∆F
измеримо.
Пусть O, Oоткрытые множества, т.ч.:
FO: m(O)m*(F)=m(F)m(O)-
C∆FO: m(O)m*( C∆F)m(O)-.
Чтобы показать, что EF измеримо, покажем, что
m*(EF)+m*( C∆(EF))=1 (8)
EOEFm*(EF) m*(EO)
C∆(EF) C∆F(F C∆E)=(C∆FF)(C∆F C∆E)
Проверим последнее включение:
1)xC∆(EF) x и (xE или xF)
x и xE xC∆E x и x C∆F C∆E
б) x E1и xF xC∆F x и x C∆F C∆E
m*(C∆(EF))m*(C∆F)+m*(FC∆E) m*(C∆F)+m*(OC∆E), т.к. FC∆EOC∆E
m*(EF)+m*( C∆(EF)) m*(EO)+ m*(C∆F)+m*(OC∆E)m(O)+ m*(C∆F)=
m(O)+ m(C∆F)m(O)+m(O)m(F)+m(C∆F)+2.
Т.к. Fизмеримо, то m(F)+m(C∆F)=1 по л.3.
m*(EF)+m*( C∆(EF))1+2.
Переходя к пределу при , получим, что m*(EF)+m*(C∆(EF))1 (6)
=(EF)(C∆(EF))m()=1 m*(EF)+m*(C∆(EF)) (7)
Из (6) и (7)(8).
По лемме 3 множество EF измеримо.
Следствие из т.2а). Пусть E1, E2 измеримые множества, т.ч. E2 E1.
Тогда множество E=E1\E2измеримо и его мера
mE=m E1-m E2.
Доказательство: докажем, что измеримо. Не ограничивая общности
можем считать, что E2=(0,1), C∆E2.
Покажем, что E=E1 C∆E2.
xE1\E2xE1, xE2xE1, x, xE2 xE1, xC∆E2x E1 C∆E2
xE1 C∆E2 xE1, xC∆E2 xE1, x, xE2 xE1\E2xE
Из 1.-2. следует, что равенство верно.
Т.к. E2 измеримо, то C∆E2 измеримо E1 C∆E2 измеримо по т.2а), т.е. E измеримо.
Докажем, что mE=m E1-m E2.
E1=EE2, EE2=.
По т.1б) mE1=mE+mE2 mE=m E1-m E2.
Доказательство теоремы 1 а):
E=Ek, E k.
Пусть E1, E2 C∆E1=E2
E3=E3 C∆(E1E2)
E4=E4 C∆(E1E2 E3)
…………………………
E k=E k C∆(E1E2… E k-1)
Докажем:
а) E k E m=, km
б) E=EkE1=A
а) Пусть m>k. E k=E k C∆(E1E2… E k-1)
E m=E m C∆(E1E2… E m-1)
x0E m x0E m, x0 C∆(E1E2… E m-1)x0 E1E2… E m-1
x0 E k E k E m=, km
б) A=E. Докажем, что AE.
xAxEkE1
1.xE1xE
2.xEkk02: xE k0=Ek0 C∆(E1E2… E k0-1) xE k0 xE
Докажем, что EA.
xEk0: xE k0 E k0=Ek0 C∆(E1E2… E k0-1):
1.xC∆(E1E2… E k0-1) xE k0 xA
2.x C∆(E1E2… E k0-1)x E1E2… E k0-1A xA.
Докажем, что E k измеримо k.
По условию E k измеримопо свойству 2 C∆E k измеримо.
По т.2а) E2 измеримо.
Предположим, что E2, E3, …, E k-1 измеримы.
Докажем, что E k измеримо.
E k=E k C∆(E1E2… E k-1)
По т.1б) E1E2… E k-1 измеримы C∆(E1E2… E k-1) измеримо.
По т.2а) E k измеримо.
Из а), б) и с учетом измеримости E k по т1б)измеримо.
Докажем, что mEmE k.
mE=m*E m*E k= mEk.
Доказательство теоремы 2 б):
E=Ek, E k(0,1), kN, C∆E k(0,1). A= C∆E= C∆(Ek).
Покажем, что A= C∆(E k) = (C∆E k).
1) xA x, xEk x, xE k0x C∆E k0x ( C∆E k).
2) x ( C∆E k) x C∆E k0 x, xE k0 x C∆E k0 , x∆, xEk
x C∆(Ek) xA.
Т.к. E k измеримо, то C∆E k измеримопо т.1а) измеримо измеримо.
Следствие: Если F замкнуто, то оно измеримо.
Доказательство: Пусть Fограниченное замкнутое множество.
=inf F, =sup F.
Т.к. Fзамкнуто, то E, E, причем xF: xF[]=.
Рассмотрим C∆F:
F= C∆F=измеримо F измеримо.
FG= C∆Fоткрытое множество.
Если x0G x0F x0 не является предельной для F(x0-, x0+)G
x0внутренняя для G Gоткрыто Gизмеримо C∆Gизмеримо.
Т.о. C∆Gизмеримо, но C∆G= F Fизмеримо.
Теоремы о расширении и о сгущении множества.
Теорема 1. (о расширении множества) Пусть заданы множества
E1,…, E n,…: E1… E n…. Если E k измеримо, то kN
E= Ek mE = m Ek,.
Доказательство:
1. Пусть A1=E1, A2=E2\E1, A3=E3\E2,…, A k=E k\E k-1. Покажем, что Ak=E.
A=Ak=E
A kA m=, k m
1) a) AE. A k=E k\E k-1 A k E k kNAk Ek AE
б) EA. xE xA1 xE1 xA1 xA xE k, k2, E kмножество
с наименьшим номером, которому принадлежит x, т.е. xE1,…,E k-1
x E k\ E k-1=A kxA.
Из а), б) A=E
2) mkkm-1E kE m-1. Т.к. A k=E k\E k-1A kE k A kE m-1
A m=E k\E m-1A m и A k не имеют общих элементов, т.е. A kA m=, k m.
2. A kизмеримоk (по следствию 1) по т.1.б) E измеримо и mE=mAk=
=m(Ek\E k-1)+mE1=(mEk-mE k-1)+ mE1=lim ((mEk-mE k-1)+mE1=
=.
m (E k\E k-1)?
E k=A kE k-1, A kE k-1=. mE k=mA k+ mE k-1 mA k= mE k- mE k-1.
Теорема 2. (о сгущении множества) Пусть множества E1,…, E n ,…
измеримы: E1… E n…, E=EnmE= .
Доказательство: Пусть E k()= kN. Рассмотрим C∆E k.
Покажем, что C∆E k=C∆( E n)=C∆E n.
x C∆( E n)x, xE n x , x E k0 x, x C∆E k
xC∆E n.
б) xC∆E n x C∆E k0 (k0N) x , x E k0 x ∆, xEn
x C∆( En).
Т.к. E1… E n… C∆E 1… C∆E n. Т.к. E k измеримо, то C∆E k измеримо.
По т.1. можем утверждать:
C∆E измеримо
mC∆E=mC∆E n
По лемме 3 E измеримо mE + m(C∆E)=-=
--mE=((-)-mE k)
mE= mE k.