Для того чтобы ограниченное множество Gбыло открытым

необходимо и достаточно, чтобы оно являлось объединением

конечного или счетного множества попарно не пересекаю-

щихся интервалов концы, которых не принадлежат G (сос-

тавляющих интервалов).

Доказательство:

() Пусть Gограниченное открытое множество. Докажем, что G- объединение конечного или счетного множества попарно не пересекаю-

щихся интервалов, концы которых не принадлежат G.

По теореме 3 любая точка xG принадлежит одному из составляющих

интервалов. Различные составляющие интервалы не пересекаются, т.к. их

концы не принадлежат G. Т.к. G содержится в R, то по лемме 1 мно-

жество всех составляющих интервалов конечно или счетно.

() Пусть G- объединение конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G. По

теореме G открыто, как объединение конечного или счетного числа от-

крытых множеств.

Теорема 5 (о строении открытого множества). Для того чтобы

непустое множество G было открытым необходимо и

достаточно, чтобы оно являлось объединением конечного или

счетного множества попарно не пересекающихся интервалов

концы, которых не принадлежат G.

Доказательство отличается от доказательства теоремы 4 тем, что здесь в

состав составляющих интервалов входят промежутки (  и   .

Теорема 4 и теорема 5 определяют структуру линейных открытых мно-

жеств: любое открытое множество есть объединение конечного или

счетного множества его составляющих интервалов.

Структура замкнутых линейных множеств.

Теорема 6. Для того чтобы непустое ограниченное множество F было

замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось

или отрезком, или получалось из некоторого отрезка удале-

нием из него конечного или счетного множества попарно не

пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат F.

Доказательство:

() Пусть F ограниченное замкнутое множество. Тогда по следствию 2 существует наименьший отрезок , содержащий F.

Возможны 2 случая:

1.= Fочевидно.

2. F\ F; \ F=C_F.

Возьмем x ₀ C_F. x ₀F и не является предельной точкой для F (т.к. F

замкнуто)  V(x₀): V(x₀)F=; V(x₀) C_F, т.е. x ₀внутренняя точка C_F.

Т.к. x ₀произвольная точка C_F, то это множество открыто. По теореме 4

C_Fобъединение конечного или счетного множества его составляющих

интервалов. Удаляя их из  получим замкнутое множество F.

() Если F=, то Fзамкнутое множество, т.к. замкнутое множество.

Пусть F получено из  удалением конечного или счетного множества его

составляющих интервалов. Докажем, что F замкнутое множество.

Обозначим через G объединение удаленных интервалов. G=\F, G открыто

(показано в необходимости). Возьмем xG. Она не может быть предель-

ной для F, т.к. она принадлежит G вместе с некоторой окрестностью.

Следовательно, F содержит все свои предельные точки, т.е. является

замкнутым множеством.

Теорема 7. Для того чтобы непустое множество F было замкнутым

необходимо и достаточно, чтобы оно являлось либо число-

вой прямой, либо было получено удалением из R конечного

или счетного множества попарно не пересекающихся интер-

валов, концы которых не принадлежат R.

Строение совершенных множеств.