-
Уравнение вида
,
. (12)
Частное решение
этого уравнения будем искать в виде
,
где
- функция от х,
которая должна быть определена из
условия
. (13)
Тогда имеем:
,
,
….,
,
….,
.
Умножим функции
,
,
…,
соответственно на
и полученные результаты сложим, группируя
слагаемые по столбцам:
.
Здесь
- результат подстановки в характеристический
многочлен
значения
.
Отсюда следует, что для получения
тождества (13) надо функцию
определить как решение уравнения
.
Это уравнение
линейное неоднородное с постоянными
коэффициентами, правая часть его –
многочлен. Поэтому частное решение
этого уравнения надо искать в виде
многочлена
степени m,
если
,
т.е. когда число
не является корнем характеристического
уравнения
.
Если же число
окажется корнем характеристического
уравнения кратности
,
то
,
и решение последнего
уравнения надо искать в виде
.
Поэтому частное
решение
исходного уравнения надо искать в виде
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения
,
и в виде
,
если число
является корнем характеристического
уравнения кратности
.
Здесь
- многочлен степени m
с неопределенными коэффициентами,
.
3. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и при комплексном . Поэтому, если правая часть линейного дифференциального уравнения
имеет вид
,
где
- многочлены степеней m
и s
соответственно.
Преобразуем тригонометрические функции по формулам Эйлера к показательным:
,
,
тогда
.
В скобках стоят
многочлены, имеющие степень, равную
наивысшей степени многочленов
.
Обозначив эти многочлены через
и
,
получим в правой части дифференциального
уравнения выражение вида
. (14)
Для каждого
слагаемого правой части можно применить
указанное правило: если
не являются корнями характеристического
уравнения, то частное решение
дифференциального уравнения можно
искать в виде (14);
если же числа
являются корнями характеристического
уравнения кратности
,
то частное решение приобретает еще
множитель
.
Если опять вернуться к тригонометрическим функциям, то это правило можно сформулировать так:
а) если числа
не являются корнями характеристического
уравнения, то частное решение
исходного дифференциального уравнения
надо искать в виде
, (15)
где
- многочлены с неопределенными
коэффициентами, степень каждого из
которых равна наивысшей из степеней
многочленов
.
Чтобы найти
коэффициенты этих многочленов, надо
подставить функцию
в дифференциальное уравнение и приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях
х
в левых и правых частях. При этом надо
приравнивать друг к другу соответствующие
коэффициенты тех многочленов, которые
стоят при
,
и отдельно – коэффициенты при
.
б) если числа
являются r-кратными
корнями характеристического уравнения,
то частное решение
надо искать в виде
. (16)
Замечание.
Указанные виды частных решений (15) и
(16) сохраняются и в том случае, когда в
правой части уравнения один из многочленов
тождественно равен нулю, т.е. когда
правая часть имеет вид
или
.
Пример. Рассмотрим уравнение
.
Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение
,
имеем
,
,
,
.
Так как в правой
части исходного уравнения аргумент
косинуса тот же, что и синуса, то это
уравнение вида 3. где
,
,
.
Составим число
,
получим
.
Это число не совпадает ни с одним из
корней характеристического многочлена,
т.е. не является характеристическим
числом, следовательно, частное решение
будем искать в виде
,
где А и В – неопределенные коэффициенты. Подставляя это решение в исходное уравнение, имеем
.
Сокращая на
и приравнивая коэффициенты при
и
,
получим систему:
откуда А=2, В=1. Следовательно,
и общим решением исходного уравнения будет
.