3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

1. f(x)=e^x, , .

Функция f(x)=e^x определена и бесконечно дифференцируема на , причёмf⁽ⁿ⁾(x)=e^x. На отрезке показательная функция и все её производные ограничены одним и тем же числом: . На основании теоремы 5f(x)=e^x разлагается в ряд Маклорена на .Но т.к.h – произвольное число, то разложение имеет место на . Т.к. приx=0 f⁽ⁿ⁾(0)=e⁰=1, то

, .

Аналогично

, .

2. .

.

Используем разложение е^х:

, ;

, .

Тогда

, ;

, .

3. , .

Функции определены и имеют производные всех порядков :

т.к. ,, , , то на основании т.5 sinx, cosx разлагаются в ряд Маклорена на



Числа приn=0,1,2,3… образуют последовательность: 0,1,0,-1,0,1,0,-1…

,

, .

Аналогично, для . (0)=1,



,

, .

4. f(x)=ln(1+x)

Для разложения в ряд Маклорена мы не можем взять функцию f(x)=lnx, т.к. f(0) и f⁽ⁿ⁾(0) не имеют смысла. Поэтому рассмотрим функцию f(x)=ln(1+x). Она определена для x>-1. Разложим функцию в ряд, используя почленное интегрирование степенных рядов.

Функцию можно разложить в ряд Тейлора, т.к. при |t|<1

(1)

Проинтегрируем (1) почленно в [0;x], |x|<1:

;

(2)

Ряд (2) имеет R=1. т.е. сходится в |x|<1.

Для x=-1 функция ln(1+x) не имеет смысла. Рассмотрим x=1.

Докажем, что

(3)

Обозначим . По формуле суммыn первых членов геометрической прогрессии

.

Отсюда

.

Проинтегрируем это равенство в промежутке

;

или

. (4)

Т.к. ряд сходится условно, то .

.

Т.к. то и=0.

Тогда переходя к в (4), получим

Итак, разложение (2) имеет место и при x=1. Значит,

, .

Логарифмическая функция ln(1+x) имеет смысл при x>1, но при таких х ряд . расходится т.к.

5. f(x)=arctgx- определена и бесконечно дифференцируема на .

Аналогично предыдущему случаю доказывается, что

arctg x=x-,.

6. ,любое не натуральное вещественное число.

Рассмотрим функцию , а не, чтобы в точкех=0 существовала функция и её производные любого порядка. Число считается не натуральным, т.к.если =n, тоf(x)- многочлен и он совпадает со своим рядом Тейлора.

При

(5)

Этот ряд называется биномиальным рядом. Сходимость ряда (5) при должна изучаться отдельно для каждого конкретного.

Частные случаи биномиального ряда

1)

. (6)

2)

. (7)

3) Заменим в формуле (6) х на –х, получим

.

4) Заменим в формуле (7) х на –х, получим

.

5)

.

6) Заменим в последней формуле х на –х:

.

30