§3. Основные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда

Теорема 1. Если члены функциональной последовательности (1) непрерывны наЕ и последовательность (1) равномерно сходится на Е, то её предельная функция непрерывна на Е.

Доказательство.

Пусть S(x) - предельная функция последовательности (1). Докажем, что S(x) непрерывна на Е. Зафиксируем . Из равномерной сходимости последовательностикS(x) на Е следует, что :n>N xE выполнено . Возьмем. Тогда

. (2)

Зафиксируем произвольную точку из Е- х₀ , тогда

. (3)

Рассмотрим функцию . Согласно условию, она непрерывна в точкех₀. Значит, по определению непрерывности, ::

. (4)

Тогда, используя соотношения (2) – (4), :получим:

.

Итак, ::выполнено. Следовательно, функцияS(x) непрерывна в точке х₀. Т.к. х₀ – произвольная точка множества Е, то S(x) непрерывна на Е.

Теорема 2. Если члены функционального ряда (5) непрерывны на множествеЕ, и ряд (5) равномерно сходится на Е, то его сумма непрерывна на множестве Е.

Доказательство (следует из теоремы 1).

Равномерная сходимость ряда (5) согласно определению означает, что последовательность его частичных сумм равномерно сходится наЕ. Так как функции непрерывны на множествеЕ , то функциинепрерывны на множествеЕ . Тогда, согласно теореме 1, предельная функция этой последовательностиS(x) непрерывна на множестве Е.

Замечание. Если предельная функция последовательности разрывна, то сходимость – неравномерная. Это иллюстрирует пример 2 из §2:на.

2. Интегрирование и дифференцирование

функциональных последовательностей и рядов

Теорема 3. Если члены последовательности (1) непрерывны на отрезке [a;b] , и (1) равномерно сходится к функцииS(x) на [a;b], то с[a;b] последовательность интегралов равномерно сходится кна отрезке [a;b]. В частности имеет место обычная сходимость:

=x [a;b].

Доказательство.

Так как члены последовательности (1) непрерывны на отрезке [a;b] и

[a;b]

, то её предельная функция S(x) непрерывна на [a;b] (по т.1).

Зафиксируем с[a;b] и x[a;b]. Рассмотрим (или). На нем функциииS(x) непрерывны . Поэтому существуюти. Зафиксируем. Т. к.на [a;b], то для числа :x[a;b]  Тогда

.

Итак, получили, что :.

Значит, на [a;b].

Теорема 4. Если члены ряда (5) непрерывны на [a;b] и ряд (5) равномерно сходится на [a;b] к S(x), то ряд(6) равномерно сходится на [a;b] к . В частности, имеет место обычная сходимость:

=.

Доказательство.

Составим последовательность частичных сумм ряда (6)

.

Так как- частичная сумма ряда (5), то получаем

. (7)

Так как ряд (5) равномерно сходится к S(x) на [a;b], то по определению это означает, что последовательность его частичных сумм равномерно сходится кS(x) на [a;b]. Функции S_n(x) n непрерывны. Тогда по теореме 3:

. (8)

Из (7) и (8) следует, что на [a;b]. По определению это значит, что ряд равномерно сходится кна [a;b].

Следствие. Если члены ряда (5) непрерывны на [a;b], и ряд (5) равномерно сходятся к на [a;b], то ряд (5) можно почленно интегрировать на [a;b], то есть .

Пример 1. Δ Рассмотрим ряд (),.

Найдем область сходимости. Ряд является положительным для каждого фиксированного . Используем признак Даламбера

.

1. x>0   ряд сходится;

2. x<0   ряд сходится;

3. x=0  получаем ряд - расходится.

Итак, область сходимости ряда .

Возьмем . На отрезке [a;b] ряд () сходится. Докажем, что на отрезке [a;b] ряд () сходится равномерно, пользуясь признаком Вейерштрасса.

и имеет место неравенство:.

Рассмотрим ряд - положительный.

, т. к. .

Значит, ряд сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на кS(x)=. Так как члены этого ряда непрерывны на [a;b], и он равномерно сходится на [a;b], то его можно почленно интегрировать на отрезке [a;b], то есть:

. 

Теорема 5. Пусть функциональная последовательность (1) удовлетворяет следующим условиям:

1. члены последовательности непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b];

2. последовательность (1) сходится хотя бы в одной из точек ;

3. последовательность (9) равномерно сходится кна.

Тогда

[a;b]

1. , где - предельная функция последовательности (1);

2. непрерывно дифференцируема на отрезке [a;b];

3. (т. е. на).

Доказательство.

I. Сначала докажем сходимость последовательности на отрезке [a;b], то есть существование предельной функции S(x).

по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

. (10)

По условию члены последовательности (9) непрерывны на отрезке [a;b] и на [a;b]. Следовательно, по теореме 3 .

По условию последовательность сходится, то есть существует. Тогда существуети левой части равенства (10):

.

Обозначим предельную функцию последовательности

. (11)

Итак, .

II. Докажем условия 2) и 3).

Для последовательности выполнены условия теоремы 5: её

[a;b]

члены непрерывны на отрезке [a;b] и . Значит, по теореме 1непрерывна на отрезке [a;b], а, следовательно,

.

- число, поэтому правая часть равенства (11) имеет производную , значит, и левая часть имеет производную

.

Таким образом, мы доказали, что предельная функция последовательности (1) непрерывно дифференцируема на отрезке [a;b], и имеет место условие 3) .

III. Докажем теперь условие 1), то есть что последовательность (1) сходится к S(x) на [a;b].

Рассмотрим . Согласно формулам (10) и (11) имеем:

=. (12)

Зафиксируем . Так каксходится кS(c), то

. (13)

Так как члены последовательности непрерывны ина [a;b], то по теореме 3 на [a;b]. По определению равномерной сходимости это означает, что

:  . (14)

Пусть Тогда для выбранного числавыполнены (13) и (14). Следовательно, из (12) получаем

.

[a;b]

То есть .

Теорема 6. Пусть ряд (5) удовлетворяет условиям:

1. члены ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b] ();

2. ряд (5) сходится хотя бы в одной точке ;

3. ряд (15) равномерно сходится кна отрезке [a;b]: .

Тогда

1. на [a;b], где - сумма ряда (5);

2. ;

3. (или .)

Доказательство.

Составим последовательность частичных сумм ряда (5).

1) Так как , то и.

2) Сходимость ряда (5) в точке означает, что.

3) Равномерная сходимость ряда (15) кна [a;b] по определению означает, что последовательность частичных сумм этого ряда равномерно сходится кна отрезке [a;b]. Но

.

[a;b]

То есть .

Итак, для последовательности выполнены условия теоремы 5, следовательно:

1. на [a;b]. Это по определению означает, что равномерно сходится кS(x) на [a;b];

2. ;

3. , то есть

Пример. Δ Рассмотрим ряд (),.

1. Члены ряда () непрерывно дифференцируемы на [a;b]: ;

2. Ряд () сходится, более того, он сходится равномерно на(см. пример 4 из §2).

3. Ряд сходится равномерно на:сходится, следовательно, ряд () можно почленно дифференцировать на любом отрезке, причем

. Δ