§5. Ряд Тейлора

1. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда

Теорема 1. Сумма степенного ряда (1)сбесконечно дифференцируема в (a-R; a+R). При этом коэффициенты ряда (1) однозначно определяются значением суммы ряда и её производныхв точке. А именно

при этом

. (2)

Доказательство.

На основании теорем 6 и 7 §4 степенной ряд (1) в интервале (a-R; a+R) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. Причём, каждый раз получится степенной ряд с тем же , что и у ряда (1). Таким образом, на интервалеимеем

Полагая в этих равенствах , получим

Отсюда

(3)

Из (3) следует, что коэффициенты ряда (1) однозначно определены (в интервале сходимости) значениями суммы и её производных в точке.

Подставляя (3) в (1), получим (2).

2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора

Определение. Если функция f(x) на каком-либо промежутке является суммой какого-либо степенного ряда, то говорят, что функция на этом промежутке разлагается в степенной ряд.

Теорема 2. Если функция f(x) на (a-R; a+R) разлагается в степенной ряд (1) , то она на (a-R; a+R) имеет непрерывные производные любого порядка.

Доказательство.

Т. к. функция f(x) является суммой ряда (1) на (a-R; a+R) то по т.1 f(x) бесконечно дифференцируема на (a-R; a+R). Очевидно, что на этом промежутке все производныенепрерывны.

Теорема 3. Если f(x) на (a-R; a+R) разлагается в степенной ряд (1) то это разложение единственно.

Доказательство.

Пусть . По т.1 коэффициенты в этом разложении определяются единственным образом черезпо формулам. Тогда

, (4)

и это разложение единственно.

Ряд (4) называется рядом Тейлора функции f(x), .

Т. о., если функция f(x) разлагается в степенной ряд на то этот ряд единственен, а именно, является рядом Тейлора функцииf(x).

Если a=0, то

-

ряд Маклорена функции .

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема на (a–R, a+R). Для неё можно составить ряд Тейлора

.

Если ряд Тейлора сходится в окрестности точки a, то имеем 2 возможности:

1. сумма этого ряда S(x) совпадает с f(x);

2. сумма ряда S(x) не совпадает с f(x).

Найдём условия, при которых S(x)=f(x) в окрестности точки а. Для этого вспомним формулу Тейлора.

Пусть функция f(x)определена и исправна вместе со всеми своими производными до (n+1)-го порядка включительно на (a–R, a+R). Тогда справедливо:

,

где - остаточный член формулы Тейлора.

-

форма Лагранжа.

Сравнивая формулу Тейлора и ряд Тейлора для функции f(x), заключаем следующее: коэффициенты многочленов в формуле Тейлора и коэффициенты ряда Тейлора строится по одному правилу. Но в формуле Тейлора конечное число слагаемых, и последнее слагаемое резко отличается от всех предыдущих (в нем два переменных множителя: и). В ряде Тейлора все слагаемые однотипные, но их бесконечное множество.

Теорема 4 (необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора). Для того, чтобы дифференцируемая на (a–R, a+R) функция f(х) разлагалась в ряд Тейлора на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора для функции f стремился к 0 при на этом интервале, т.е.

х(a–R, a+R).

Доказательство.

По условию функция f(x) бесконечно дифференцируема на (a–R, a+R),

(5)

И одновременно х(a–R, a+R) имеет место формула Тейлора

. (6)

1) Необходимость. Пусть f(x) разлагается в ряд Тейлора на (a–R, a+R). Обозначим .

Тогда формула (6) запишется виде

f(x)=S_n(x)+R_n(x), (7)

где S_n(x) - n-я частичная сумма ряда Тейлора.

Т.к. f(x) разлагается в ряд Тейлора на (a–R;a+R), то . Тогда из (7) .

2) Достаточность. Пусть х(a–R, a+R).Тогда из (7) х(a–R, a+R).А это означает, что функция f разлагается в ряд Тейлора на (a–R, a+R).

Этим необходимым и достаточным условием не всегда удобно пользоваться (громоздкое выражение для R_n(x), трудно определить стремится к 0 или нет). Сформулируем достаточный признак, в некоторых случаях более лёгкий для применения на практике.

Теорема 5 (достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора). Пусть функция f(x) и все её производные f⁽ⁿ⁾ ограничены в своей совокупности на (a–R, a+R), т.е. :х(a–R, a+R),выполнено

. (8)

Тогда функция f(x) на (a–R, a+R)разлагается в ряд Тейлора:

. (4)

Доказательство.

Для доказательства (4) достаточно показать, что остаточный член формулы Тейлора для f(x) на (а–R, а+R) стремится к 0. Возьмем остаточный член в форме Лагранжа и оценим его по модулю для |x–a|<R:

. (9)

Рассмотрим ряд - положительный ряд. По признаку Даламбера

.

Следовательно, ряд сходится. Отсюда=0.Тогда из неравенства (9) следует х(a–R, a+R). Следовательно,f(x) (по т.4) разлагается в ряд Тейлора на (a–R, a+R).