- •II. Функциональные последовательности и ряды
- •§1. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости
- •§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •1. Равномерная сходимость функциональной последовательности
- •2. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
- •3. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •4. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости
- •§3. Основные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
- •1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда
- •2. Интегрирование и дифференцирование
- •§4. Степенные ряды
- •1.Степенной ряд и область его сходимости
- •2. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда
- •3. Равномерная сходимость степенного ряда
- •4. Непрерывность суммы степенного ряда
- •5. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •§5. Ряд Тейлора
- •1. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда
- •2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
3. Равномерная сходимость степенного ряда
Теорема 3. Степенной ряд (1) с радиусом сходимости сходится равномерно и абсолютно на любом отрезкепринадлежащем интервалу сходимостиряда (1).
Доказательство.
Рассмотрим произвольный отрезок Ясно, чтоОбозначим черезТогдаТо естьвыполнено неравенствоТак както в точкеряд (1) сходится абсолютно, то есть сходится числовой рядТак какна отрезкето. Тогда по признаку Вейерштрасса ряд (1) сходится наабсолютно и равномерно.
4. Непрерывность суммы степенного ряда
Теорема 4. Сумма степенного ряда (1) непрерывна во всех точках интервала сходимости .
Доказательство.
Выберем произвольную точку из интервала сходимости (х0:). Докажем, что сумма ряда (1) непрерывна в точкех0.
Можно подобрать число так, чтобы, то есть. Так как, то по теореме 3 ряд (1) равномерно сходится на. Члены ряда (1) являются непрерывными функциями на. Следовательно, выполнены условия теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда (теорема 2 §3). Значит, сумма ряда (1) непрерывна на отрезке. Поэтому, она непрерывна в любой внутренней точке этого интервала. Следовательно, непрерывна и в точкех0. Так как х0 - произвольная точка из этого интервала сходимости, то теорема доказана.
5. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
Теорема 5. Степенной ряд (1) с можно почленно интегрировать по любому отрезку, принадлежащему.
Доказательство.
Возьмём произвольный отрезок По теореме 3 ряд (1) равномерно сходится на отрезке. Функциинепрерывны на. Следовательно, ряд (1) можно почленно интегрировать на отрезке(теорема 4 §3.).
Замечание. Если степенной ряд (1) почленно проинтегрировать по какому – либо фиксированному промежутку , то получим числовой ряд:
(определенный интеграл по отрезку - это число).
Иногда представляет интерес интегрировать по отрезку с фиксированным началом и переменным концом. Например, по [0;x], где |x|<R. Тогда х: выполнено. Следовательно,
. (4)
Ряд (4) тоже является степенным. Его сумма равна интегралу от суммыряда (1). Так какнепрерывна на интервале, то существуетна, то есть существует сумма ряда (4)х: . Значит, ряд (4) сходитсях: .
Рассмотрим теперь ряд, составленный из производных ряда (1).
. (5)
Теорема 6. Степенной ряд (1) с можно почленно дифференцировать в любой точкеиз интервала сходимости.
Доказательство.
Докажем, что ряд (5) сходится в и что
, где . (6)
Возьмём . Для того чтобы доказать соотношение (6) будем пользоваться теоремой 6 из §3 о почленном дифференцировании функционального ряда. Докажем возможность её применения.
члены ряда (1) непрерывно дифференцируемы на ;
ряд (1) сходится абсолютно на , поэтому он сходится.
Проверим выполнение третьего условия теоремы.
По взятому х0 подберём два положительных числа r1 и r2 так, чтобы . Покажем, что ряд (5) равномерно сходится на отрезке. Так как значениевходит в интервал сходимости, то ряд (1) абсолютно сходится в точке. То есть сходится ряд. Тогда по необходимому условию сходимости:. Следовательно, последовательностьограничена, то есть:выполнено неравенство.
Оценим общий член ряда (5) для :
.
Обозначим через . Тогда:выполнено
. (7)
Рассмотрим ряд положительный ряд. По признаку Даламбера
, значит, ряд сходится. Тогда из неравенства (7) по признаку Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (5) на отрезке .
Итак, для ряда (1) выполнены все условия теоремы 6 §3 о дифференцировании функционального ряда. Следовательно, ряд (1) можно почленно дифференцировать и
.
Так как х0 - произвольная точка из , то ряд (1) можно почленно дифференцировать на. Дифференцируя, получим:
Остаётся выяснить вопрос о том, каковы радиусы сходимости рядов (4) и (5).
Теорема 7. Радиусы сходимости рядов, полученных из степенного ряда (1) почленным интегрированием или дифференцированием совпадают с радиусом сходимости исходного ряда.
Доказательство.
Пусть соответственно радиусы сходимости рядов (1), (4) и (5). Из теорем 5 и 6 следует, что ряды (4) и (5) сходятся наи их суммы соответственно равны:
, , где.
То есть почленное интегрирование, и дифференцирование степенного ряда не уменьшает его радиуса сходимости:
Но ряд (1) можно получить почленным дифференцированием ряда (4), значит, , или почленным интегрированием ряда (5) и, поэтому,.
Следовательно, .
Пример 1. Найти сумму степенного ряда
. (*)
Δ Легко заметить, что члены ряда, являются производными от ,. Поэтому, рассмотрим ряд. (**) (геометрический ряд с первым членом 1 и знаменателем). Геометрический ряд сходится только при. Поэтому, радиус сходимости рядаравен 1.
Продифференцируем ряд :
;
Итак, сумма ряда равна, радиус сходимости его тоже равен 1. Δ
Пример 2. Найти сумму степенного ряда
. (*)
Δ Заметим, что в знаменателе каждого члена ряда есть множитель, совпадающий с показателем степени у . Значит, рядможет быть получен интегрированием какого – либо ряда (т.к.). Очевидно, это был ряд
Этот ряд является суммой геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Он абсолютно сходится при |x|<2 и
. (**)
Поэтому, радиус сходимости ряда .
Проинтегрируем почленно на отрезке, где:
;
.
Итак, радиус сходимости ряда и его сумма равна.Δ