Свойства вероятностей
Часть свойств вероятности случайного события была указана нами в предыдущем параграфе. Здесь мы остановимся на некоторых других свойствах, важных для дальнейшего изложения.
1. Сложение вероятностей. Рассмотрим некоторые несовместные события Бй, А2, ».., Ak. Событие, заключающееся в осуществлении одного из них, мы будем называть их суммой и обозначать через Вероятность этой суммы определяется равенством
Это утверждение непосредственно может быть доказано при условии справедливости схемы равновозможных случаев [6]. Если эта схема неприменима, то равенство (1.3.1) недоказуемо и является аксиомой.
В качестве примера используем рассмотренное выше вытягивание, карты из колоды в 36 карт. Пусть событием Бй является вытягивание туза, событием А2 -вытягивание «картинки» (короля, дамы или валета), а событием Бй + Бг - вытягивание туза или «картинки». Путем подсчета числа равновозможных случаев легко убедиться в том, что равенство (1.3.1) имеет место.
При пользовании равенством (1.3.1) следует обратить внимание на несовместность рассматриваемых событий. Если это условие не выполняется, то равенство (1.3.1) оказывается несправедливым. Так, например, в рассмотренной выше задаче обозначим через Ах вытягивание туза,· Л2 - вытягивание бубновой масти, а через А, + А2 --вытягивание туза или бубновой масти. Легко убедиться в том, что
Несправедливость равенства (1.3.1) объясняется в данном случае "тем, что события Л, и А2 не являются несовместными, так как можно вытащить бубновый туз.
Пусть события А и Д взаимно дополнительны, т. е. несовместны, и их сумма представляет событие, вероятность которого равна единице. Тогда равенства (1.3.1) принимает вид
2. Произведение вероятностей. Вероятность одновременного осуществления событий А и В*) (т. е. так называемого произведения АВ этих событий) равна произведе нию вероятности Р(А) события А на вероятность Р(В/А) события В при условии, что событие А имело место, т. е.
Остановимся несколько подробнее на так называемой условной вероятности Р(В/А). Введение этого понятия предполагает, что осуществление события Аменяет условия, при которых осуществляется событие В, так, что при этом изменяется его вероятность. В этбм случае говорят, что события А и В 'зависимы.
Рассмотрим в качестве примера вытаскивание шаров из урны, содержащей 2 белых и 2 черных шара. При этом вынутый шар в урну не возвращается. Требуется определить вероятность того, что в результате, двух вытаскиваний будут получены 2 белых шара. Это событие можно рассматривать как произведение двух следующих событий: .
А, при котором первый раз вынимается белый шар;
В - получение белого шара при втором вытаскивании.
Очевидно, что После осуществления собы-
тия А в урне остается 1 белый и 2 черных шара. Поэтому Отсюда, пользуясь равенством (1.3.3), находим Р(АВ) = 1/6.
Если вероятность события В не зависит от осуществления события А, эти события называются независимыми. Прц этом Р{В/А) = Р{В) и формула (1.3.3) принимает вид
Так, например, рассмотренную выше задачу можно решать в предположении, что вынутый первый раз шар возвращается в урну, которая встряхивается, и производится второе вытаскивание. При этом события А ж В становятся независимыми и их вероятности Отсюда, пользуясь формулой (1.3.4), находим
Формула (1.3.4) очень удобна и широко используется на практике. При этом часто забывают о необходимости достаточно аккуратного доказательства независимости рассматриваемых событий. Неучет реально существующих зависимостей между этими событиями может привести к грубым ошибкам. Так, в рассмотренном выше примере последовательного вытаскивания черных и белых шаров из урны (без возвращения их обратно) учет влияния осуществления события Л на вероятность события В сущёственным образом отражается на значений вероятности произведения А В этих событий (с учетом этого влиянияР(АВ) - 1/6, а без его учета Р(АВ) =* 1/4). В ряде прикладных задач неучет влияния реально существующих зависимостей между рассматриваемыми случайными событиями может изменить получаемое решение не только количественно, но и качественно. Так, при обработке измерительной информации предположение об отсутствии зависимости между вероятностями ошибок отдельных измерений приводит к выводу о том, что, неограниченно увеличивая число измерений, можно добиться сколь угодно высокой точности конечного результата обработки. Однако в действительности это невозможно из-за ^реально существующих - зависимостей между ошибками измерений (см. следующую главу). <· .