- •«Национальный исследовательский
- •1. Цели и задачи учебной дисциплины
- •2. Содержание теоретического раздела дисциплины
- •2.1. Элементы линейной алгебры
- •2.2. Векторная алгебра
- •2.3. Аналитическая геометрия
- •4.2 Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 элементы линейной алгебры
- •Выберем в качестве базисного минора
- •4.3. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1 Элементы линейной алгебры
- •4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 2 элементы векторной алгебры Понятие вектора. Линейные операции над векторами
- •Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение прямых
- •Уравнение
- •4.5. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •130101 «Прикладная геология»,
- •130102 «Технология геологической разведки»,022000 «Экология и природопользование»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение прямых
Всякое уравнение первой степени относительно и, т. е. уравнение вида
, (6)
где ,и- постоянные коэффициенты, причем, определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называетсяобщим уравнением прямой.
Если в общем уравнении прямой , то разрешив его относительно, получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
, (7)
где - тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси;- ордината точки пересечения прямой с осью.
Уравнение (8)
является уравнением прямой, которая проходит через точку и имеет угловой коэффициент.
Если в общем уравнении прямой , то, разделив все члены на, получим уравнение прямой «в отрезках»
, (9)
где ,– величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на осях координати, соответственно.
Уравнение
, (10)
является уравнением прямой, проходящей через две точки и.
Обозначим ,координаты направляющего вектора прямой, тогда (10) примет вид
, (11)
где – точка на прямой. Уравнение (11) называетсяканоническим уравнением прямой. Введя параметр , из (10) получимпараметрические уравнения прямой
где (12)
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору, имеет вид
. (13)
Вектор – называетсянормальным вектором прямой. Раскрывая в (13) скобки, получим общее уравнение прямой
.
Таким образом, в общем уравнении прямой, коэффициенты при исуть координаты нормального вектора прямой.
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и. Возможны следующие случаи их взаимного расположения:
прямые параллельны (в частности совпадают) тогда и только тогда, когда выполняется условие ;
прямые пересекаются в некоторой точке, тогда угол между ними находится по формуле ;
прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
Пример. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны декартовы координаты вершины острого угла и уравнение противолежащего катета. Составить уравнения двух других сторон этого треугольника.
Решение.
.
Тогда уравнение имеет вид
.
Тогда уравнение
Ответ: ,
Прямая и плоскость в пространстве
Плоскость в декартовой системе координат может быть задана следующими уравнениями:
1. Общее уравнение плоскости
.
Кроме того,
уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно вектору.
2. Уравнение плоскости “в отрезках”
,
где – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях,и, соответственно.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,,
.
Прямая в пространстве задается:
общими уравнениями в пространстве в
где , таким образом, прямая задана как линия пересечения двух плоскостей.
каноническими уравнениями в
,
где – точка, принадлежащая прямой, а– направляющий вектор.
параметрическими уравнениями
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей координаты вектора нормали, имеет вид
.
Найдем координаты вектора нормали. – данная точка,– точка, лежащая на нашей прямой,– координаты направляющего вектора прямой. Тогда
.
Запишем уравнение искомой плоскости
,
,